В математике понятие сократимости (или сокращаемости ) является обобщением понятия обратимости .
Элемент a в магме ( M , ∗) обладает свойством левого сокращения (или является левосокращаемым ), если для всех b и c в M a ∗ b = a ∗ c всегда подразумевает, что b = c .
Элемент a в магме ( M , ∗) обладает свойством правого сокращения (или является правосократимым ), если для всех b и c в M из b ∗ a = c ∗ a всегда следует, что b = c .
Элемент a в магме ( M , ∗) обладает свойством двустороннего сокращения (или является сокращаемым ), если он является как лево-, так и правосокращаемым.
Магма ( M , ∗) обладает свойством левого сокращения (или является левосократительной), если все a в магме являются левосократительными, и аналогичные определения применяются для свойств правого сокращения или двустороннего сокращения.
В полугруппе обратимый слева элемент является левосократимым, и аналогично для правого и двустороннего. Если a⁻¹ — левый обратный элемент a, то a ∗ b = a ∗ c влечет a⁻¹ ∗ ( a ∗ b ) = a⁻¹ ∗ ( a ∗ c), что влечет b = c по ассоциативности.
Например, каждая квазигруппа , а значит и каждая группа , является сокращаемой.
Сказать, что элемент a в магме ( M , ∗) является левосократимым, значит сказать, что функция g : x ↦ a ∗ x является инъективной . [1] То, что функция g является инъективной, подразумевает, что при некотором равенстве вида a ∗ x = b , где единственным неизвестным является x , существует только одно возможное значение x, удовлетворяющее равенству. Точнее, мы можем определить некоторую функцию f , обратную g , такую, что для всех x f ( g ( x )) = f ( a ∗ x ) = x . Другими словами, для всех x и y в M , если a * x = a * y , то x = y . [2]
Аналогично, сказать, что элемент a является правосократимым, значит сказать, что функция h : x ↦ x ∗ a является инъективной и что для всех x и y из M , если x * a = y * a , то x = y .
Положительные (одинаково неотрицательные) целые числа образуют сокращаемую полугруппу при сложении. Неотрицательные целые числа образуют сокращаемый моноид при сложении. Каждый из них является примером сокращаемой магмы, которая не является квазигруппой.
Фактически, любая свободная полугруппа или моноид подчиняются закону сокращения, и, в общем случае, любая полугруппа или моноид, вложенные в группу (как это явно показывают приведенные выше примеры), будут подчиняться закону сокращения.
В другом ключе (подполугруппа) мультипликативной полугруппы элементов кольца , которые не являются делителями нуля (что является просто множеством всех ненулевых элементов, если рассматриваемое кольцо является доменом , как и целые числа) имеет свойство сокращения. Обратите внимание, что это остается в силе, даже если рассматриваемое кольцо некоммутативно и/или неунитально.
Хотя закон сокращения справедлив для сложения, вычитания, умножения и деления действительных и комплексных чисел (за единственным исключением умножения на ноль и деления нуля на другое число), существует ряд алгебраических структур, где закон сокращения недействителен.
Перекрестное произведение двух векторов не подчиняется закону сокращения. Если a × b = a × c , то из этого не следует, что b = c, даже если a ≠ 0 (возьмем для примера c = b + a )
Матричное умножение также не обязательно подчиняется закону сокращения. Если AB = AC и A ≠ 0 , то нужно показать, что матрица A обратима ( т.е. имеет det ( A ) ≠ 0 ), прежде чем можно будет заключить, что B = C . Если det( A ) = 0 , то B может не равняться C , поскольку матричное уравнение AX = B не будет иметь единственного решения для необратимой матрицы A .
Также обратите внимание, что если AB = CA и A ≠ 0 , а матрица A обратима (т.е. имеет det ( A ) ≠ 0 ), то не обязательно, что B = C. Сокращения работают только для AB = AC и BA = CA (при условии, что матрица A обратима ), но не для AB = CA и BA = AC .