Центральная линия (геометрия)

Геометрическое свойство некоторых прямых относительно данного треугольника

В геометрии центральными линиями называются некоторые особые прямые линии , лежащие в плоскости треугольника . Особое свойство, отличающее прямую как центральную, проявляется через уравнение прямой в трилинейных координатах . Это особое свойство также связано с концепцией центра треугольника . Понятие центральной линии было введено Кларком Кимберлингом в статье, опубликованной в 1994 году. ^{[1] [2]}

Определение

Пусть △ ABC — плоский треугольник и пусть x  : y  : z — трилинейные координаты произвольной точки в плоскости треугольника △ ABC .

Прямая в плоскости △ ABC , уравнение которой в трилинейных координатах имеет вид

$${\displaystyle f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0}$$

$${\displaystyle f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)}$$

△ ABC△ ABC^{[2] [3] [4]}

Центральные линии как трилинейные поляры

Геометрическая связь между центральной линией и связанным с ней центром треугольника может быть выражена с использованием понятий трилинейных поляр и изогональных сопряжений .

Пусть – центр треугольника. Линия, уравнение которой ${\displaystyle X=u(a,b,c):v(a,b,c):w(a,b,c)}$

$${\displaystyle {\frac {x}{u(a,b,c)}}+{\frac {y}{v(a,b,c)}}+{\frac {z}{w(a,b,c)}}=0}$$

трилинейная поляраX. ^{[2] [5]}

$${\displaystyle Y={\frac {1}{u(a,b,c)}}:{\frac {1}{v(a,b,c)}}:{\frac {1}{w(a,b,c)}}}$$

изогонально-сопряженнымX

Таким образом, центральная линия, заданная уравнением

$${\displaystyle f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0}$$

${\displaystyle f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c).}$

Строительство центральных линий

Пусть X — любой центр треугольника △ ABC .

• Проведите линии AX, BX, CX и их отражения во внутренних биссектрисах углов при вершинах A, B, C соответственно.
• Отраженные линии совпадают, а точка совпадения является изогонально сопряженной Y с X .
• Пусть чевианы AY, BY, CY пересекают противоположные стороны △ ABC в точках A', B', C' соответственно. Треугольник △ A'B'C' является чевианским треугольником Y .
• △ ABC и чевианский треугольник △ A'B'C' находятся в перспективе, и пусть DEF будет осью перспективы двух треугольников. Линия DEF является трилинейной полярой точки Y. DEF — центральная линия, связанная с центром треугольника X.

Некоторые названные центральные линии

Пусть X _n будет n- м центром треугольника в Энциклопедии центров треугольников Кларка Кимберлинга . Центральная линия, связанная с X _n , обозначается L _n . Некоторые из названных центральных линий приведены ниже.

Антиортическая ось как ось перспективы △ ABC и ее внешнего треугольника.

Центральная линия, связанная с X 1 , центр: антиортическая ось.

Центральная линия, связанная с центром X ₁ = 1 : 1 : 1 (также обозначается I ), равна

$${\displaystyle x+y+z=0.}$$

осью △ ABC^[6]

• Изогональное сопряжение вписанного центра △ ABC является самим вписанным центром. Таким образом, антиортическая ось, которая является центральной линией, связанной с инцентром, является осью перспективы △ ABC и ее центральным треугольником (чевианский треугольник инцентра △ ABC ).
• Антиортическая ось △ ABC является осью перспективы △ ABC и эксцентральным треугольником △ I ₁ I ₂ I ₃ из △ ABC . ^[7]
• Треугольник, боковые линии которого касаются внешними окружностями △ ABC , является треугольником , отходящим от △ ABC . △ ABC и прилегающий к нему треугольник находятся в перспективе, а ось перспективы является антиортической осью △ ABC .

Центральная линия, связанная с X 2 , центр тяжести: ось Лемуана.

Трилинейные координаты центроида X 2 ₍ также обозначаемого G ) △ ABC :

$${\displaystyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}}$$

$${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=0.}$$

осью Лемуаналинией Лемуана△ ABC

• Изогонально-сопряженным центроиду X ₂ является точка симмедианы X ₆ (также обозначаемая K ), имеющая трилинейные координаты a  : b  : c . Таким образом, ось Лемуана △ ABC является трилинейной полярной точкой симмедианы △ ABC .
• Касательный треугольник к △ ABC — это треугольник △ T _A T _B T _C , образованный касательными к описанной окружности △ ABC в ее вершинах. △ ABC и его касательный треугольник находятся в перспективе, а ось перспективы — это ось Лемуана △ ABC .

Центральная линия, связанная с X 3 , центром описанной окружности: ортическая ось.

Трилинейные координаты центра описанной окружности X ₃ (также обозначаемого O ) △ ABC :

$${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$$

$${\displaystyle x\cos A+y\cos B+z\cos C=0.}$$

осью △ ABC^[8]

• Изогонально сопряженным центру описанной окружности X ₆ является ортоцентр X ₄ (также обозначаемый H ), имеющий трилинейные координаты sec A  : sec B  : sec C . Таким образом, ортическая ось △ ABC является трилинейной полярной ортоцентром △ ABC . Ортическая ось △ ABC является осью перспективы △ ABC и его ортического треугольника △ H _A H _B H _C .

Центральная линия, связанная с X 4 , ортоцентром

Трилинейные координаты ортоцентра X 4 ₍ также обозначаемого H ) △ ABC :

$${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C}$$

$${\displaystyle x\sec A+y\sec B+z\sec C=0.}$$

• Изогонально сопряженный ортоцентру треугольника является центром описанной окружности треугольника. Таким образом, центральная линия, связанная с ортоцентром, является трилинейной полярой описанного центра.

Центральная линия, связанная с X 5 , девятиточечным центром.

Трилинейные координаты девятиточечного центра X ₅ (также обозначаемого N ) △ ABC : ^[9]

$${\displaystyle \cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B).}$$

$${\displaystyle x\cos(B-C)+y\cos(C-A)+z\cos(A-B)=0.}$$

• Изогонально-сопряженным девятиточечному центру △ ABC является точка Косницы X ₅₄ △ ABC . ^{[10] [11]} Таким образом, центральная линия, связанная с центром девяти точек, является трилинейной полярой точки Кошнита.
• Точка Кошницы строится следующим образом. Пусть O — центр описанной окружности △ ABC . Пусть O _A , _OB , OC _— центры описанных окружностей треугольников △ BOC , △ COA , △ AOB соответственно. Прямые AO _A , BO _B , CO _C совпадают, а точка совпадения — это точка Кошницы △ ABC . Название происходит от Дж. Ригби. ^[12]

Центральная линия, связанная с X 6 , симмедианная точка: Бесконечная линия.

Трилинейные координаты симмедианной точки X ₆ (также обозначаемой K ) △ ABC :

$${\displaystyle a:b:c}$$

$${\displaystyle ax+by+cz=0.}$$

• Эта линия является бесконечной линией в плоскости △ ABC .
• Изогонально сопряженная симедиана точки △ ABC является центроидом △ ABC . Следовательно, центральная линия, связанная с симмедианной точкой, является трилинейной полярой центроида. Это ось перспективы △ ABC и ее медиального треугольника .

Еще несколько названных центральных линий

линия Эйлера

Линия Эйлера △ ABC — это линия, проходящая через центр тяжести, центр описанной окружности , ортоцентр и девятиточечный центр △ ABC . Трилинейное уравнение линии Эйлера имеет вид

$${\displaystyle x\sin 2A\sin(B-C)+y\sin 2B\sin(C-A)+z\sin 2C\sin(A-B)=0.}$$

X ₆₄₇

Линия Нагеля

Линия Нагеля △ ABC — это линия , проходящая через центроид, центр тяжести, центр Шпикера и точку Нагеля △ ABC . Трилинейное уравнение линии Нагеля имеет вид

$${\displaystyle xa(b-c)+yb(c-a)+zc(a-b)=0.}$$

X ₆₄₉

Ось Брокара

Ось Брокара △ ABC — это линия, проходящая через центр описанной окружности и симмедианную точку △ ABC . Его трилинейное уравнение:

$${\displaystyle x\sin(B-C)+y\sin(C-A)+z\sin(A-B)=0.}$$

X ₅₂₃

Смотрите также

• Трилинейная полярность
• Треугольник конический
• Современная геометрия треугольника

Рекомендации

1. Кимберлинг, Кларк (июнь 1994 г.). «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника». Журнал «Математика» . 67 (3): 163–187. дои : 10.2307/2690608.
2. Кимберлинг, Кларк (1998). Центры треугольников и центральные треугольники. Виннипег, Канада: Utilitas Mathematica Publishing, Inc. 285.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Центральная линия». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 24 июня 2012 г.
4. Кимберлинг, Кларк. «Глоссарий: Энциклопедия центров треугольников». Архивировано из оригинала 23 апреля 2012 года . Проверено 24 июня 2012 г.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Трилинейный полярный». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 28 июня 2012 г.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Антиортическая ось». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 28 июня 2012 г.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Антиортическая ось». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 26 июня 2012 г.
8. Вайсштейн, Эрик В. «Ортическая ось». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram .
9. Вайсштейн, Эрик В. «Девятиточечный центр». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 29 июня 2012 г.
10. Вайсштейн, Эрик В. «Косница-Пойнт». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 29 июня 2012 г.
11. Дарий Гринберг (2003). «О точке Косница и треугольнике отражения» (PDF) . Форум Геометрикорум . 3 : 105–111 . Проверено 29 июня 2012 г.
12. Дж. Ригби (1997). «Краткие заметки о некоторых забытых геометрических теоремах». Ежеквартальный журнал по математике и информатике . 7 : 156–158.