Центральный продукт

В математике , особенно в области теории групп , центральным продуктом является один из способов создания группы из двух меньших групп. Центральный продукт подобен прямому продукту , но в центральном продукте две изоморфные центральные подгруппы меньших групп сливаются в одну центральную подгруппу продукта. Центральные продукты представляют собой важную конструкцию и могут использоваться, например, для классификации экстраспециальных групп .

Определение

Существует несколько связанных, но различных понятий центрального продукта. Подобно прямому произведению , существуют как внутренние, так и внешние характеристики, а также существуют вариации того, насколько строго контролируется пересечение факторов.

Группа G является внутренним центральным произведением двух подгрупп H , K , если

1. G порождается H и K.​
2. Каждый элемент H коммутирует с каждым элементом K . (Горенштейн 1980, стр. 29)

Иногда налагается более строгое требование точного равенства центра, как в (Leedham-Green & McKay 2002, стр. 32). Подгруппы H и K тогда называются центральными факторами G . ${\displaystyle H\cap K}$

Внешний центральный продукт строится из двух групп H и K , двух подгрупп и и группового изоморфизма . Внешний центральный продукт — это фактор прямого произведения по нормальной подгруппе. ${\displaystyle H_{1}\leq Z(H)}$ ${\displaystyle K_{1}\leq Z(K)}$ ${\displaystyle \theta \colon H_{1}\to K_{1}}$ ${\displaystyle H\times K}$

${\displaystyle N=\{(h,k):h\in H_{1},k\in K_{1},{\text{ and }}\theta (h)\cdot k=1\}}$,

(Горенштейн 1980, с. 29). Иногда налагаются более строгие требования H ₁ = Z( H ) и K ₁ = Z( K ), как в (Leedham-Green & McKay 2002, стр. 32).

Внутренний центральный продукт изоморфен внешнему центральному продукту, причем H ₁ = K ₁ = H ∩ K и θ тождественно. Внешний центральный продукт — это внутренний центральный продукт образов H ×1 и 1× K в факторгруппе . Это показано для каждого определения в (Gorenstein 1980, стр. 29) и (Leedham-Green & McKay 2002, стр. 32–33). ${\displaystyle (H\times K)/N}$

Обратите внимание, что внешний центральный продукт обычно не определяется только факторами H и K. Тип изоморфизма центрального произведения будет зависеть от изоморфизма θ . Однако он хорошо определен в некоторых примечательных ситуациях, например, когда H и K являются конечными дополнительными специальными группами и и . ${\displaystyle H_{1}=Z(H)}$ ${\displaystyle K_{1}=Z(K)}$

Примеры

• Группа Паули является центральным произведением циклической группы и группы диэдра . ${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle D_{4}}$
• Каждая дополнительная специальная группа является центральным произведением дополнительных специальных групп порядка p ³ .
• Слой конечной группы, т. е. подгруппа, порожденная всеми субнормальными квазипростыми подгруппами , является центральным произведением квазипростых групп в смысле Горенштейна.

Приложения

Теория представления центральных продуктов очень похожа на теорию представления прямых продуктов и поэтому хорошо понята (Горенштейн 1980, гл. 3.7).

Центральные произведения встречаются во многих структурных леммах, таких как (Горенштейн 1980, стр. 350, лемма 10.5.5), которая используется в результате Джорджа Глаубермана о том, что конечные группы, допускающие четверку Клейна автоморфизмов без неподвижных точек, разрешимы .

В определенном контексте тензорного произведения модулей Ли (и других родственных структур) группа автоморфизмов содержит центральный продукт групп автоморфизмов каждого фактора (Аранда-Орна 2022, 4). ${\displaystyle \S }$

Рекомендации

• Горенштейн, Дэниел (1980), Конечные группы , Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-0301-6, МР  0569209
• Лидхэм-Грин, Чехия ; Маккей, Сьюзен (2002), Структура групп простого степенного порядка , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 27, Издательство Оксфордского университета , ISBN 978-0-19-853548-5, г-н  1918951
• Аранда-Орна, Диего (2022), О конструкции Фолкнера для обобщенных йордановых суперпар , Линейная алгебра и ее приложения, том. 646, стр. 1–28.