В инверсивной геометрии окружность антиподобия (также известная как средняя окружность ) двух окружностей , α и β , является опорной окружностью, для которой α и β являются инверсиями друг друга. Если α и β не пересекаются или касаются друг друга, существует одна окружность антиподобия; если α и β пересекаются в двух точках, существует две окружности антиподобия. Когда α и β конгруэнтны , окружность антиподобия вырождается в линию симметрии , относительно которой α и β являются отражениями друг друга. [1] [2]
Если две окружности α и β пересекают друг друга, еще две окружности γ и δ касаются обеих α и β , и, кроме того, γ и δ касаются друг друга, то точка касания между γ и δ обязательно лежит на одной из двух окружностей антиподобия. Если α и β не пересекаются и не концентричны, то геометрическое место точек касания γ и δ снова образует две окружности, но только одна из них является (единственной) окружностью антиподобия. Если α и β касаются или концентричны, то геометрическое место точек касания вырождается в одну окружность, которая снова является окружностью антиподобия. [3]
Если две окружности α и β пересекаются, то их две окружности антиподобия проходят через обе точки пересечения и делят пополам углы, образованные дугами α и β при их пересечении.
Если окружность γ пересекает окружности α и β под равными углами, то γ пересекается ортогонально одной из окружностей антиподобия α и β ; если γ пересекает α и β под дополнительными углами , то она пересекается ортогонально другой окружностью антиподобия, а если γ ортогональна как α, так и β , то она также ортогональна обеим окружностям антиподобия. [2]
Предположим, что для трех окружностей α , β и γ существует окружность антиподобия для пары ( α , β ), которая пересекает вторую окружность антиподобия для пары ( β , γ ). Тогда существует третья окружность антиподобия для третьей пары ( α , γ ), такая, что три окружности антиподобия пересекаются в двух тройных точках пересечения. Всего таким образом можно сгенерировать не более восьми тройных точек пересечения, поскольку существует два способа выбора каждой из первых двух окружностей и двух точек пересечения двух выбранных окружностей. Эти восемь или меньше тройных точек пересечения являются центрами инверсий, которые превращают все три окружности α , β и γ в равные окружности. [1] Для трех окружностей, которые касаются друг друга внешним образом, (единственные) окружности антиподобия для каждой пары снова пересекаются под углом 120° в двух точках тройного пересечения, которые являются изодинамическими точками треугольника, образованного тремя точками касания.