В геометрии описанный центр масс — это центр, связанный с многоугольником , который разделяет многие свойства центра масс . В более общем смысле описанный центр масс может быть определен для симплициальных многогранников , а также в сферической и гиперболической геометриях.
В частном случае, когда многогранник представляет собой четырехугольник или шестиугольник , центр масс описанной окружности называется «квазицентром окружности» и используется для определения линии Эйлера четырехугольника. [1] [2] Центр масс описанной окружности позволяет нам определить линию Эйлера для симплициальных многогранников.
Пусть будет ориентированным многоугольником (с вершинами, подсчитанными контрциклически) на плоскости с вершинами и пусть будет произвольной точкой, не лежащей на сторонах (или их продолжениях ). Рассмотрим триангуляцию с помощью ориентированных треугольников (индекс рассматривается по модулю ). Сопоставим каждому из этих треугольников его центр описанной окружности с весом, равным его ориентированной площади (положительным, если его последовательность вершин контрциклична; отрицательным в противном случае). Центр масс описанной окружности является центром масс этих взвешенных центров описанных окружностей. Результат не зависит от выбора точки . [3]
В частном случае, когда многоугольник вписанный , центр масс описанной окружности совпадает с центром описанной окружности .
Центр масс окружности удовлетворяет аналогу леммы Архимеда, которая гласит, что если многоугольник разложить на два меньших многоугольника, то центр масс окружности этого многоугольника будет взвешенной суммой центров масс окружности двух меньших многоугольников. Как следствие, любая триангуляция с невырожденными треугольниками может быть использована для определения центра масс окружности.
Для равностороннего многоугольника центр масс описанной окружности и центр масс совпадают. В более общем случае центр масс описанной окружности и центр масс совпадают для симплициального многогранника, для которого каждая грань имеет постоянную сумму квадратов своих ребер. [4]
Центр масс окружности инвариантен относительно операции «перекройки» многоугольников. [5] и дискретного велосипедного преобразования (преобразования Дарбу); другими словами, образ многоугольника при этих операциях имеет тот же самый центр масс окружности, что и исходный многоугольник. Обобщенная линия Эйлера также встречается в теории интегрируемых систем. [6]
Пусть будут вершинами и пусть обозначит его площадь. Центр масс описанной окружности многоугольника определяется формулой
Описанный центр масс может быть расширен до гладких кривых посредством предельной процедуры. Этот непрерывный предел совпадает с центром масс однородной пластины , ограниченной кривой.
При естественных предположениях центры многоугольников, удовлетворяющих лемме Архимеда, являются в точности точками его прямой Эйлера. Другими словами, единственными «хорошо себя ведущими» центрами, удовлетворяющими лемме Архимеда, являются аффинные комбинации описанного центра масс и центра масс.
Центр масс окружности позволяет определить линию Эйлера для любого многоугольника (и, в более общем случае, для симплициального многогранника). Эта обобщенная линия Эйлера определяется как аффинная проекция центра масс и центра масс окружности многогранника.