В теории категорий , разделе математики , конус функтора — это абстрактное понятие, используемое для определения предела этого функтора . Конусы также встречаются в теории категорий.
Пусть F : J → C — диаграмма в C . Формально диаграмма — это не более чем функтор из J в C . Изменение терминологии отражает тот факт, что мы думаем о F как об индексировании семейства объектов и морфизмов в C . Категория J рассматривается как «индексная категория». Следует рассматривать это по аналогии с понятием индексированного семейства объектов в теории множеств . Основное отличие состоит в том, что здесь у нас также есть морфизмы. Так, например, когда J — дискретная категория , это наиболее близко соответствует идее индексированного семейства в теории множеств. Другой распространенный и более интересный пример принимает J как промежуток . J также можно считать пустой категорией, что приводит к простейшим конусам.
Пусть N — объект C. Конус из N в F — это семейство морфизмов
для каждого объекта X из J , такого, что для каждого морфизма f : X → Y в J следующая диаграмма коммутирует :
(Обычно бесконечный) набор всех этих треугольников можно (частично) изобразить в форме конуса с вершиной N. Иногда говорят , что конус ψ имеет вершину N и основание F.
Можно также определить двойственное понятие конуса из F в N (также называемого ко-конусом ), поменяв местами все стрелки выше. Явно, ко-конус из F в N — это семейство морфизмов
для каждого объекта X из J , такого, что для каждого морфизма f : X → Y в J следующая диаграмма коммутирует:
На первый взгляд конусы кажутся слегка ненормальными конструкциями в теории категорий. Они являются отображениями из объекта в функтор (или наоборот). В соответствии с духом теории категорий мы хотели бы определить их как морфизмы или объекты в некоторой подходящей категории. На самом деле, мы можем делать и то, и другое.
Пусть J — малая категория, а C J — категория диаграмм типа J в C (это не более чем категория функторов ). Определим диагональный функтор Δ : C → C J следующим образом: Δ( N ) : J → C — постоянный функтор в N для всех N в C .
Если F — диаграмма типа J в C , то следующие утверждения эквивалентны:
Двойственные утверждения также эквивалентны:
Все эти утверждения можно проверить простым применением определений. Думая о конусах как о естественных преобразованиях, мы видим, что они являются просто морфизмами в C J с источником (или целью) постоянного функтора.
Согласно вышесказанному, мы можем определить категорию конусов в F как категорию запятой (Δ ↓ F ). Морфизмы конусов тогда являются просто морфизмами в этой категории. Эта эквивалентность коренится в наблюдении, что естественное отображение между постоянными функторами Δ( N ), Δ( M ) соответствует морфизму между N и M . В этом смысле диагональный функтор действует тривиально на стрелки. В том же духе, запись определения естественного отображения из постоянного функтора Δ( N ) в F дает ту же диаграмму, что и выше. Как и следовало ожидать, морфизм из конуса ( N , ψ) в конус ( L , φ) является просто морфизмом N → L таким, что все «очевидные» диаграммы коммутируют (см. первую диаграмму в следующем разделе).
Аналогично, категория коконусов из F — это категория запятой ( F ↓ Δ).
Пределы и копределы определяются как универсальные конусы . То есть конусы, через которые проходят все другие конусы. Конус φ из L в F является универсальным конусом, если для любого другого конуса ψ из N в F существует единственный морфизм из ψ в φ.
.svg/1280px-Functor_cone_(extended).svg.png)
Эквивалентно, универсальный конус к F является универсальным морфизмом из Δ в F (рассматриваемым как объект в C J ) или конечный объект в (Δ ↓ F ).
Двойственно, конус φ из F в L является универсальным конусом, если для любого другого конуса ψ из F в N существует единственный морфизм из φ в ψ.
.svg/1280px-Functor_co-cone_(extended).svg.png)
Эквивалентно, универсальный конус из F является универсальным морфизмом из F в Δ или начальным объектом в ( F ↓ Δ).
Предел F является универсальным конусом к F , а копредел является универсальным конусом из F. Как и во всех универсальных конструкциях, не гарантируется существование универсальных конусов для всех диаграмм F , но если они существуют, то они единственны с точностью до уникального изоморфизма (в категории запятых (Δ ↓ F )).
