Обобщение фактора отношением эквивалентности на объекты произвольной категории
В теории категорий коэквалайзер (или соэквалайзер ) — это обобщение фактора по отношению эквивалентности к объектам в произвольной категории . Это категориальная конструкция , двойственная эквалайзеру .
Определение
Коэквалайзер — это копредел диаграммы, состоящей из двух объектов X и Y и двух параллельных морфизмов f , g : X → Y.
Более явно, коэквалайзер параллельных морфизмов f и g можно определить как объект Q вместе с морфизмом q : Y → Q таким, что q ∘ f = q ∘ g . Более того, пара ( Q , q ) должна быть универсальной в том смысле, что для любой другой такой пары ( Q ′, q ′) существует единственный морфизм u : Q → Q ′ такой, что u ∘ q = q ′ . Эту информацию можно отобразить с помощью следующей коммутативной диаграммы :
Как и все универсальные конструкции , коэквалайзер, если он существует, единственен с точностью до единственного изоморфизма (поэтому, злоупотребляя языком, иногда говорят о «коэквалайзере двух параллельных стрелок»).
Можно показать, что коуравнивающая стрелка q является эпиморфизмом в любой категории.
Примеры
- В категории множеств коэквалайзер двух функций f , g : X → Y — это фактор Y по наименьшему отношению эквивалентности ~ такой, что для каждого x ∈ X имеем f ( x ) ~ g ( x ) . [1] В частности, если R — отношение эквивалентности на множестве Y , а r1 , r2 — естественные проекции ( R ⊂ Y × Y ) → Y , то коэквалайзером r1 и r2 является фактормножество Y / Р . (См. также: Факторирование по отношению эквивалентности .)
- Коэквалайзер в категории групп очень похож. Здесь, если f , g : X → Y — групповые гомоморфизмы , их соэквалайзером является фактор Y по нормальному замыканию множества .
- Для абелевых групп коэквалайзер особенно прост. Это просто фактор-группа Y /im( f – g ) . (Это коядро морфизма f – g ; см. следующий раздел).
- В категории топологических пространств объект-круг S 1 можно рассматривать как соэквалайзер двух отображений включения из стандартного 0-симплекса в стандартный 1-симплекс.
- Коэквалайзеры могут быть большими: существует ровно два функтора из категории 1 , имеющей один объект и одну единичную стрелку, до категории 2 с двумя объектами и одной нетождественной стрелкой, проходящей между ними. Коэквалайзер этих двух функторов представляет собой моноид сложенных натуральных чисел , рассматриваемый как однообъектная категория. В частности, это показывает, что, хотя каждая уравнивающая стрела является эпической , она не обязательно сюръективна .
Характеристики
- Каждый коэквалайзер является эпиморфизмом.
- В топосе каждый эпиморфизм является соэквалайзером своей пары ядер.
Особые случаи
В категориях с нулевыми морфизмами можно определить коядро морфизма f как соэквалайзер f и параллельного нулевого морфизма.
В преаддитивных категориях имеет смысл добавлять и вычитать морфизмы ( гом-множества фактически образуют абелевы группы ). В таких категориях можно определить коэквалайзер двух морфизмов f и g как коядро их разности:
- coeq( f , g ) = кокер( g – f ).
Более сильное понятие — это абсолютный коэквалайзер , это коэквалайзер, который сохраняется при всех функторах. Формально абсолютный коэквалайзер пары параллельных стрелок f , g : X → Y в категории C — это коэквалайзер, определенный выше, но с добавленным свойством, заключающимся в том, что для любого функтора F : C → D , F ( Q ) вместе с F ( q ) является соэквалайзером F ( f ) и F ( g ) в категории D. Разделенные эквалайзеры являются примерами абсолютных эквалайзеров.
Смотрите также
Примечания
Рекомендации
Внешние ссылки
- Интерактивная веб-страница, генерирующая примеры коэквалайзеров в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн.
