Согласованность (справедливость)

Критерий оценки правил справедливого раздела

Согласованность ^[1], также называемая однородностью ^{[2] : Теория 8.3} или согласованность , является критерием оценки правил справедливого деления . Согласованность требует, чтобы результат правила справедливости был справедливым не только для общей проблемы, но и для каждой подпроблемы. Каждая часть справедливого деления должна быть справедливой. ^[2]

Требование согласованности было впервые изучено в контексте распределения . В этом контексте невыполнение согласованности называется парадоксом новых штатов : когда новый штат вступает в союз и размер палаты увеличивается, чтобы вместить количество мест, выделенных этому новому штату, это влияет на некоторые другие несвязанные штаты. Согласованность также имеет отношение к другим проблемам справедливого распределения, таким как проблемы банкротства .

Определение

Существует ресурс для распределения, обозначаемый как . Например, это может быть целое число, представляющее количество мест в палате представителей. Ресурс должен быть распределен между некоторыми агентами . Например, это могут быть федеральные штаты или политические партии . Агенты имеют различные права , обозначаемые вектором . Например, t _i может быть долей голосов, полученных партией i . Распределение — это вектор с . Правило распределения — это правило, которое для любого и вектора прав возвращает вектор распределения . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

Правило распределения называется согласованным (или равномерным ), если для каждого подмножества агентов S , если правило активировано на подмножестве ресурса и на векторе прав , то результатом является вектор распределения . То есть: когда правило активировано на подмножестве агентов с подмножеством ресурсов, которые они получили, результат для них тот же. ${\displaystyle h_{S}:=\sum _{i\in S}a_{i}}$ ${\displaystyle (t_{i})_{i\in S}}$ ${\displaystyle (a_{i})_{i\in S}}$

Обработка связей

В общем случае правило распределения может возвращать более одного распределения (в случае равенства). В этом случае определение следует обновить. Обозначим правило распределения как , и Обозначим как набор векторов распределения, возвращаемых как для вектора ресурсов и прав . Правило называется согласованным , если для каждого вектора распределения и любого подмножества агентов S выполняется следующее : ^{[3] : Раздел 4} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (a_{i})_{i=1}^{n}\in M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}}$

• ${\displaystyle (a_{i})_{i\in S}\in M{\Big (}\sum _{i\in S}a_{i};(t_{i})_{i\in S}{\Big )}}$. То есть, каждая часть каждого возможного решения большой проблемы является возможным решением подпроблемы.
• Для каждого и имеем . То есть, если есть другие (связанные) решения подзадач, то их подстановка вместо исходных решений подзадач даст другие (связанные) решения главной задачи. ${\displaystyle (b_{i})_{i\in S}\in M{\Big (}\sum _{i\in S}a_{i};(t_{i})_{i\in S}{\Big )}}$ ${\displaystyle (c_{i})_{i\notin S}\in M{\Big (}\sum _{i\notin S}a_{i};(t_{i})_{i\notin S}{\Big )}}$ ${\displaystyle [(b_{i})_{i\in S},(c_{i})_{i\notin S}]\in M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}}$

Согласованность в распределении

В задачах распределения ресурс для распределения является дискретным , например, места в парламенте. Поэтому каждый агент должен получить целочисленное распределение.

Некогерентные методы: новый государственный парадокс

Одним из самых интуитивных правил распределения мест в парламенте является метод наибольшего остатка (LRM). Этот метод диктует, что вектор прав должен быть нормализован таким образом, чтобы сумма прав равнялась (общему количеству мест для распределения). Затем каждый агент должен получить свое нормализованное право (часто называемое квотой ), округленное в меньшую сторону. Если остаются места, они должны быть выделены агентам с наибольшим остатком – наибольшей долей права. Удивительно, но это правило не является последовательным. В качестве простого примера предположим, что и нормализованные права Алисы, Боба и Чаны составляют 0,4, 1,35, 3,25 соответственно. Тогда уникальное распределение, возвращаемое LRM, равно 1, 1, 3 (начальное распределение равно 0, 1, 3, а дополнительное место достается Алисе, поскольку ее остаток 0,4 является наибольшим). Теперь предположим, что мы активируем то же правило только для Алисы и Боба, с их совместным распределением 2. Нормализованные права теперь составляют 0,4/1,75 × 2 ≈ 0,45 и 1,35/1,75 × 2 ≈ 1,54. Следовательно, уникальное распределение, возвращаемое LRM, равно 0, 2, а не 1, 1. Это означает, что в великом решении 1, 1, 3 внутреннее разделение между Алисой и Бобом не следует принципу наибольших остатков — оно не является когерентным. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h=5}$

Другой способ взглянуть на эту несогласованность заключается в следующем. Предположим, что размер дома равен 2, и есть два штата A, B с квотами 0,4, 1,35. Тогда уникальное распределение, заданное LRM, равно 0, 2. Теперь к союзу присоединяется новый штат C с квотой 3,25. Ему выделяется 3 места, а размер дома увеличивается до 5, чтобы разместить эти новые места. Это изменение не должно повлиять на существующие штаты A и B. Фактически, с LRM существующие штаты затронуты : штат A получает место, в то время как штат B теряет место. Это называется парадоксом нового штата .

Новый парадокс штата фактически наблюдался в 1907 году, когда Оклахома стала штатом. Ей была предоставлена ​​справедливая доля в 5 мест, и общее количество мест увеличилось на это число, с 386 до 391 членов. После перерасчета распределения количество мест изменилось из-за других штатов: Нью-Йорк потерял место, а Мэн получил одно. ^{[4] : 232–233  [5]}

Последовательные методы

Каждый метод делителя является когерентным. Это следует непосредственно из их описания как последовательностей выбора: на каждой итерации следующим агентом, который выбирает элемент, является тот, у которого самое высокое отношение (право на выбор/делитель). Таким образом, относительный порядок приоритетов между агентами одинаков, даже если мы рассматриваем подмножество агентов.

Свойства когерентных методов

Когда согласованность сочетается с другими естественными требованиями, она характеризует структурированный класс методов распределения. Такие характеристики были доказаны различными авторами. ^{[3] : Раздел 1} Все результаты предполагают, что правила однородны (т.е. зависят только от процента голосов за каждую партию, а не от общего числа голосов).

• Если когерентное правило распределения сбалансировано и согласовано , то это метод делителя. ^{[6] : Теория 3, 10}
• Если когерентное правило распределения анонимно и сбалансировано , то это метод рангового индекса (суперкласс методов делителей). ^{[2] : Теор.8.3} Обратное также верно: среди анонимных и сбалансированных методов метод является когерентным тогда и только тогда, когда он является методом рангового индекса.
• Если когерентное правило распределения анонимно , согласованно и слабо точно , то это метод делителей. ^{[2] : Теория 8.4, стр. 147}
• Балинский и Рачев доказали, что если когерентное правило распределения анонимно , сохраняет порядок , слабо точно и полно , ^{[ жаргон ],} то это метод делителей. ^{[7] [8] : Теория 2.2, стр. 8}
• Если согласованное правило распределения анонимно и сбалансировано , то оно является монотонным по дому . ^[3]
  • если, кроме того, он еще и конкордантный , то он является монотонным по отношению голосов .
  • если, кроме того, он еще и строго точен , ^{[ жаргон ],} то это метод делителей.
• Янг доказал, что единственным методом распределения, который является последовательным расширением естественного правила двухстороннего распределения округления до ближайшего целого числа, является метод Вебстера . ^{[9] : 49–50, 190  [10] : Sub.9.10}

Согласованность в вопросах банкротства

В проблемах банкротства ресурс для распределения является непрерывным , например, сумма денег, оставленная должником. Каждый агент может получить любую часть ресурса. Однако сумма прав обычно больше, чем общий оставшийся ресурс.

Наиболее интуитивным правилом для решения таких проблем является пропорциональное правило , в котором каждый агент получает часть ресурса, пропорциональную его праву. Это правило, безусловно, последовательно. Однако, это не единственное последовательное правило: талмудическое правило спорной одежды может быть расширено до последовательного правила деления. ^{[1] : Sec.4}

Согласованность в распределении органов

В большинстве стран число пациентов, ожидающих трансплантацию органов , намного больше числа доступных органов. Поэтому большинство стран выбирают, кому выделить орган, с помощью некоторого приоритетного порядка. Удивительно, но некоторые приоритетные порядки, используемые на практике, не являются последовательными. Например, одно правило, которое использовалось UNOS в прошлом, было следующим: ^{[1] : Sec.6}

• Каждому пациенту присваивается персональная оценка на основе некоторых медицинских данных.
• Каждому пациенту назначается бонус , который в 10 раз превышает долю пациентов, которые ждали меньше него.
• Приоритет агентов определяется по сумме их баллов + бонус.

Предположим, что личные баллы некоторых четырех пациентов A, B, C, D составляют 16, 21, 20, 23. Предположим, что их время ожидания составляет A > B > C > D. Соответственно, их бонусы составляют 10, 7,5, 5, 2,5. Таким образом, их суммы составляют 26, 28,5, 25, 25,5, а порядок приоритетов — B > A > D > C. Теперь, после того как B получает орган, личные баллы A, C, D остаются прежними, но бонусы изменяются на 10, 6,67, 3,33, поэтому суммы составляют 26, 26,67, 26,33, а порядок приоритетов — C > D > A. Это меняет порядок между тремя агентами.

Чтобы иметь последовательный порядок приоритетов, приоритет должен определяться только личными качествами. Например, бонус может быть вычислен по количеству месяцев в очереди, а не по доле пациентов. ^[11]

Смотрите также

• Парадокс распределения

Ссылки

1. Балински, Мишель (2005-06-01). «Что справедливо?». The American Mathematical Monthly . 112 (6): 502–511. doi :10.1080/00029890.2005.11920221. ISSN  0002-9890. S2CID  32125041.
2. Балински, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (2001) [1982]. Справедливое представительство: встреча с идеалом «Один человек, один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9.
3. Паломарес, Антонио; Пукельсхайм, Фридрих; Рамирес, Викториано (2016-09-01). «Целое и его части: О теореме когерентности Балинского и Янга». Математические социальные науки . 83 : 11–19. doi :10.1016/j.mathsocsci.2016.06.001. ISSN  0165-4896.
4. Стайн, Джеймс Д. (2008). Как математика объясняет мир: руководство по силе чисел, от ремонта автомобилей до современной физики . Нью-Йорк: Smithsonian Books. ISBN 9780061241765.
5. Колфилд, Майкл Дж. (ноябрь 2010 г.). «Распределение представителей в Конгрессе США — парадоксы распределения». Сходимость . Математическая ассоциация Америки. doi : 10.4169/loci003163 (неактивен 1 ноября 2024 г.).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of November 2024 (link)
6. Хилланд, Ааннуд. «Методы распределения: процедуры пропорционального распределения неделимых объектов». 1978.
7. Балински, Мишель Л.; Рачев, Светлозар Т. (1993-01-01). «Округление пропорций: правила округления». Численный функциональный анализ и оптимизация . 14 (5–6): 475–501. doi :10.1080/01630569308816535. ISSN  0163-0563.
8. Мишель Балинский и Светлозар Рачев (1997). «Округление пропорций: методы округления». Mathematical Scientist, том 22, выпуск 1, страницы 1–26 . Архивировано из оригинала 2021-09-14 . Получено 2021-09-14 .
9. Янг, Пейтон Х. (1995). Капитал: в теории и на практике . Princeton University Press.
10. Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (ред.), «Обеспечение системной согласованности: согласованность и парадоксы», Пропорциональное представление: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 159–183, doi :10.1007/978-3-319-64707-4_9, ISBN 978-3-319-64707-4, получено 2021-09-20.
11. Fleurbaey, Marc (апрель 1997 г.). "Equity: In Theory and Practice, H. Peyton Young. Princeton University Press, 1994, 238 + xv страниц". Economics & Philosophy . 13 (1): 128–131. doi :10.1017/S0266267100004387. ISSN  1474-0028. S2CID  145232571.