Коммутативная диаграмма

Коллекция карт, дающих одинаковый результат

Коммутативная диаграмма, использованная в доказательстве леммы о пяти

В математике , и особенно в теории категорий , коммутативная диаграмма — это диаграмма , такая, что все направленные пути в диаграмме с одинаковыми начальными и конечными точками приводят к одному и тому же результату. ^[1] Говорят, что коммутативные диаграммы играют в теории категорий ту же роль, которую уравнения играют в алгебре . ^[2]

Описание

Коммутативная диаграмма часто состоит из трех частей:

• объекты (также известные как вершины )
• морфизмы (также известные как стрелки или ребра )
• пути или композиты

Символы стрелок

В текстах по алгебре тип морфизма может обозначаться различными способами использования стрелок:

• Мономорфизм может быть помечен как [ 3 ^] или . ^[4] ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrowtail }$
• Эпиморфизм может быть обозначен знаком . ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$
• Изоморфизм может быть обозначен знаком . ${\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}$
• Пунктирная стрелка обычно представляет собой утверждение о том, что указанный морфизм существует (всякий раз, когда остальная часть диаграммы верна); стрелка может быть дополнительно помечена как . ${\displaystyle \exists }$
  • Если морфизм к тому же уникален, то пунктирная стрелка может быть помечена или . ${\displaystyle !}$ ${\displaystyle \exists !}$
• Если морфизм действует между двумя стрелками (например, в случае теории высших категорий ), его предпочтительно называть естественным преобразованием и можно обозначить как (как показано ниже в этой статье). ${\displaystyle \Rightarrow }$

Значения различных стрелок не полностью стандартизированы: стрелки, используемые для мономорфизмов, эпиморфизмов и изоморфизмов, также используются для инъекций , сюръекций и биекций , а также кофибраций, расслоений и слабых эквивалентностей в модельной категории .

Проверка коммутативности

Коммутативность имеет смысл для многоугольника с любым конечным числом сторон (включая только 1 или 2), а диаграмма коммутативна, если каждая многоугольная поддиаграмма коммутативна.

Обратите внимание, что диаграмма может быть некоммутативной, т. е. композиция различных путей на диаграмме может не давать одинаковый результат.

Примеры

Пример 1

На левой диаграмме, выражающей первую теорему об изоморфизме , коммутативность треугольника означает, что . На правой диаграмме коммутативность квадрата означает , что . ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi }$ ${\displaystyle h\circ f=k\circ g}$

Пример 2

Для того чтобы диаграмма ниже была коммутативной, должны выполняться три равенства:

1. ${\displaystyle r\circ h\circ g=H\circ G\circ l}$
2. ${\displaystyle m\circ g=G\circ l}$
3. ${\displaystyle r\circ h=H\circ m}$

Здесь, поскольку первое равенство следует из последних двух, достаточно показать, что (2) и (3) верны, чтобы диаграмма была коммутативной. Однако, поскольку равенство (3) в общем случае не следует из двух других, для того, чтобы показать, что диаграмма коммутативна, в общем случае недостаточно иметь только равенства (1) и (2).

Диаграмма погоня

Диаграммный поиск (также называемый диаграммным поиском ) — это метод математического доказательства, используемый, в частности, в гомологической алгебре , где устанавливается свойство некоторого морфизма путем отслеживания элементов коммутативной диаграммы. Доказательство с помощью диаграммного поиска обычно включает формальное использование свойств диаграммы, таких как инъективные или сюръективные отображения или точные последовательности . ^[5] Строится силлогизм , для которого графическое отображение диаграммы является всего лишь визуальным пособием. Из этого следует , что в конечном итоге происходит «преследование» элементов вокруг диаграммы, пока желаемый элемент или результат не будет построен или проверен.

Примерами доказательств методом поиска диаграмм являются те, которые обычно приводятся для леммы о пяти , леммы о змее , леммы о зигзаге и леммы о девяти .

В теории высшей категории

В теории высших категорий рассматриваются не только объекты и стрелки, но и стрелки между стрелками, стрелки между стрелками между стрелками и так далее до бесконечности. Например, категория малых категорий Cat естественным образом является 2-категорией с функторами в качестве стрелок и естественными преобразованиями в качестве стрелок между функторами. В этой обстановке коммутативные диаграммы могут также включать эти высшие стрелки, которые часто изображаются в следующем стиле: . Например, следующая (довольно тривиальная) диаграмма изображает две категории C и D вместе с двумя функторами F , G  : C → D и естественным преобразованием α  : F ⇒ G : ${\displaystyle \Rightarrow }$

В категории 2 существует два вида композиции (называемые вертикальной композицией и горизонтальной композицией ), и они также могут быть изображены с помощью диаграмм вставки (см . примеры в разделе 2-категория#Определение ).

Диаграммы как функторы

Коммутативную диаграмму в категории C можно интерпретировать как функтор из индексной категории J в C; такой функтор называется диаграммой .

Более формально, коммутативная диаграмма — это визуализация диаграммы, индексированной категорией частично упорядоченного множества . Такая диаграмма обычно включает:

• узел для каждого объекта в категории индекса,
• стрелка для генерирующего набора морфизмов (исключая тождественные отображения и морфизмы, которые могут быть выражены как композиции),
• коммутативность диаграммы (равенство различных композиций отображений между двумя объектами), соответствующая уникальности отображения между двумя объектами в категории частично упорядоченных множеств.

Наоборот, если задана коммутативная диаграмма, она определяет категорию частично упорядоченных множеств, где:

• объекты — это узлы,
• между любыми двумя объектами существует морфизм тогда и только тогда, когда существует (направленный) путь между узлами,
• с тем соотношением, что этот морфизм является единственным (любая композиция отображений определяется своей областью определения и целью: это аксиома коммутативности).

Однако не каждая диаграмма коммутирует (понятие диаграммы строго обобщает коммутативную диаграмму). В качестве простого примера, диаграмма одного объекта с эндоморфизмом ( ), или с двумя параллельными стрелками ( , то есть , иногда называемая свободным колчаном ), как используется в определении уравнителя, не обязательно коммутирует. Кроме того, диаграммы могут быть беспорядочными или их невозможно нарисовать, когда число объектов или морфизмов велико (или даже бесконечно). ${\displaystyle f\colon X\to X}$ ${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$ ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$

Смотрите также

• Математическая диаграмма

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Коммутативная диаграмма". mathworld.wolfram.com . Получено 25.11.2019 .
2. Маццола, Герино; Милмейстер, Жерар; Вайсманн, Джоди (2005). Всеобъемлющая математика для компьютерных ученых 2. Springer. стр. 140. doi :10.1007/b138337. ISBN 978-3-540-26937-3.
3. "Математика - Теория категорий - Стрелка - Мартин Бейкер". www.euclideanspace.com . Получено 25.11.2019 .
4. Риль, Эмили (2016-11-17). "1". Теория категорий в контексте (PDF) . Dover Publications. стр. 11.
5. Weisstein, Eric W. "Diagram Chasing". mathworld.wolfram.com . Получено 25.11.2019 .

Библиография

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.Теперь доступно бесплатное онлайн-издание (4,2 МБ PDF).
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2002). Топосы, триплеты и теории (PDF) . Springer. ISBN 0-387-96115-1.Пересмотренная и исправленная бесплатная онлайн-версия Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).

Внешние ссылки

• Погоня за диаграммами в MathWorld
• WildCats — пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований .