Компактная алгебра Ли

Математическая теория

В математической области теории Ли существует два определения компактной алгебры Ли . Внешне и топологически компактная алгебра Ли — это алгебра Ли компактной группы Ли ; ^[1] это определение включает торы. Внутренне и алгебраически компактная алгебра Ли — это действительная алгебра Ли, форма Киллинга которой отрицательно определена ; это определение более ограничительное и исключает торы. ^[2] Компактную алгебру Ли можно рассматривать как наименьшую действительную форму соответствующей комплексной алгебры Ли, а именно комплексификацию.

Определение

Формально компактную алгебру Ли можно определить либо как алгебру Ли компактной группы Ли , либо как действительную алгебру Ли, форма Киллинга которой отрицательно определена. Эти определения не совсем согласуются: ^[2]

• Форма Киллинга на алгебре Ли компактной группы Ли отрицательно полуопределена , но не отрицательно определена в общем случае.
• Если форма Киллинга алгебры Ли отрицательно определена, то алгебра Ли является алгеброй Ли компактной полупростой группы Ли.

В общем случае алгебра Ли компактной группы Ли разлагается как прямая сумма алгебры Ли коммутативного слагаемого (для которого соответствующая подгруппа является тором) и слагаемого, на котором форма Киллинга отрицательно определена.

Важно отметить, что обратное утверждение к первому результату выше ложно: даже если форма Киллинга алгебры Ли отрицательно полуопределена, это не означает, что алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой компактной группы. Например, форма Киллинга на алгебре Ли группы Гейзенберга тождественно равна нулю, следовательно, отрицательно полуопределена, но эта алгебра Ли не является алгеброй Ли никакой компактной группы.

Характеристики

• Компактные алгебры Ли являются редуктивными ; ^[3] следует отметить, что аналогичный результат верен для компактных групп в целом.
• Алгебра Ли для компактной группы Ли G допускает Ad( G )-инвариантное скалярное произведение ,. ^[4] Обратно, если допускает Ad-инвариантное скалярное произведение, то является алгеброй Ли некоторой компактной группы. ^[5] Если является полупростой, то это скалярное произведение можно считать отрицанием формы Киллинга. Таким образом, относительно этого скалярного произведения Ad( G ) действует ортогональными преобразованиями ( ) и действует кососимметричными матрицами ( ). ^[4] Можно развить теорию комплексных полупростых алгебр Ли, рассматривая их как комплексификации алгебр Ли компактных групп; ^[6] существование Ad-инвариантного скалярного произведения на компактной вещественной форме значительно упрощает разработку. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} \ {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}({\mathfrak {g}})}$

  Это можно рассматривать как компактный аналог теоремы Адо о представимости алгебр Ли: подобно тому, как каждая конечномерная алгебра Ли в характеристике 0 вкладывается в каждую компактную алгебру Ли, вкладываемую в ${\displaystyle {\mathfrak {gl}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}.}$

• Диаграмма Сатаке компактной алгебры Ли представляет собой диаграмму Дынкина комплексной алгебры Ли, в которой все вершины зачернены.
• Компактные алгебры Ли являются противоположностью расщепляемых действительных алгебр Ли среди действительных форм , причем расщепляемые алгебры Ли «насколько это возможно» далеки от компактности.

Классификация

Компактные алгебры Ли классифицируются и именуются в соответствии с компактными действительными формами комплексных полупростых алгебр Ли . Это:

• ${\displaystyle A_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$соответствующая специальной унитарной группе (собственно, компактная форма — PSU, проективная специальная унитарная группа );
• ${\displaystyle B_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1},}$соответствующий специальной ортогональной группе (или соответствующий ортогональной группе ); ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n+1},}$
• ${\displaystyle C_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{n},}$соответствующий компактной симплектической группе ; иногда пишется ; ${\displaystyle {\mathfrak {usp}}_{n},}$
• ${\displaystyle D_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$соответствующая специальной ортогональной группе (или соответствующая ортогональной группе ) (собственно, компактная форма — это PSO, проективная специальная ортогональная группа ); ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n},}$
• Компактные действительные формы исключительных алгебр Ли ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}.}$

Изоморфизмы

Исключительные изоморфизмы связных диаграмм Дынкина приводят к исключительным изоморфизмам компактных алгебр Ли и соответствующих групп Ли.

Классификация не является избыточной, если взять для для для и для Если вместо этого взять или получить определенные исключительные изоморфизмы . ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle A_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle B_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle C_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle D_{n}.}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

Для — это тривиальная диаграмма, соответствующая тривиальной группе ${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle A_{0}\cong B_{0}\cong C_{0}\cong D_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (1)\cong \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {Sp} (0)\cong \operatorname {SO} (0).}$

Ибо изоморфизм соответствует изоморфизмам диаграмм и соответствующим изоморфизмам групп Ли (3-сферы или единичные кватернионы ). ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$

Для изоморфизма, соответствующего изоморфизмам диаграмм и соответствующему изоморфизму групп Ли ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}}$ ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2},}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\cong \operatorname {Spin} (5).}$

Для изоморфизма, соответствующего изоморфизмам диаграмм и соответствующему изоморфизму групп Ли ${\displaystyle n=3,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}}$ ${\displaystyle A_{3}\cong D_{3},}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6).}$

Если рассматривать и как диаграммы, то они изоморфны и соответственно, с соответствующими изоморфизмами алгебр Ли. ${\displaystyle E_{4}}$ ${\displaystyle E_{5}}$ ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle D_{5},}$

Смотрите также

• Действительная форма
• Расщепленная алгебра Ли

Примечания

1. (Кнапп 2002, Раздел 4, стр. 248–251)
2. (Кнапп 2002, предложения 4.26, 4.27, стр. 249–250)
3. (Кнапп 2002, предложение 4.25, стр. 249)
4. (Кнапп 2002, предложение 4.24, стр. 249)
5. SpringerLink
6. Холл 2015 Глава 7

Ссылки

• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5.
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, т. 140 (2-е изд.), Бостон: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5.

Внешние ссылки

• Группа Ли, компактная , в Энциклопедии математики