В геометрии теорема об эквивалентности циркуля является важным утверждением в построениях циркуля и линейки . Инструмент, защищаемый Платоном в этих построениях, — это циркуль , который « складывается » всякий раз, когда его поднимают со страницы, так что его нельзя использовать напрямую для передачи расстояний. Современный циркуль с его фиксируемой апертурой можно использовать для прямой передачи расстояний, и поэтому он представляется более мощным инструментом. Однако теорема об эквивалентности циркуля утверждает, что любое построение с помощью «современного циркуля» может быть достигнуто с помощью складного циркуля. Это можно показать, установив, что с помощью складного циркуля, учитывая круг на плоскости, можно построить другой круг равного радиуса с центром в любой заданной точке на плоскости. Эта теорема является предложением II Книги I « Начал» Евклида . Доказательство этой теоремы имело неоднозначную историю. [1]
Следующее построение и доказательство правильности приведены Евклидом в его «Началах» . [2] Хотя в трактовке Евклида, по-видимому, есть несколько случаев, в зависимости от выбора, сделанного при интерпретации неоднозначных инструкций, все они приводят к одному и тому же выводу, [1] и поэтому ниже приведены конкретные варианты выбора.
Для данных точек A , B и C постройте окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине BC (то есть эквивалентную сплошной зеленой окружности, но с центром в точке A ).
Можно доказать эквивалентность циркуля без использования линейки. Это оправдывает использование движений «фиксированного циркуля» (построение окружности заданного радиуса в другом месте) в доказательствах теоремы Мора–Маскерони , которая гласит, что любое построение, возможное с помощью линейки и циркуля, может быть выполнено с помощью одного циркуля.
Даны точки A , B и C. Постройте окружность с центром в точке A и радиусом BC , используя только складной циркуль и не используя линейку.
Существует несколько доказательств правильности этой конструкции, и ее часто оставляют в качестве упражнения для читателя. [3] [4] Вот современное доказательство с использованием преобразований .