Полная булева алгебра

В математике полная булева алгебра — это булева алгебра , в которой каждое подмножество имеет верхнюю грань (минимальную верхнюю границу ). Полные булевы алгебры используются для построения булевозначных моделей теории множеств в теории воздействия . Каждая булева алгебра A имеет по существу уникальное пополнение, которое представляет собой полную булеву алгебру, содержащую A , такую, что каждый элемент является супремумом некоторого подмножества A . Как частично упорядоченное множество , это пополнение A является пополнением Дедекинда – МакНила .

В более общем смысле, если κ является кардиналом , то булева алгебра называется κ-полной, если каждое подмножество мощности меньше κ имеет верхнюю грань.

Примеры

Полные булевы алгебры

Любая конечная булева алгебра полна.
Алгебра подмножеств данного множества является полной булевой алгеброй.
Регулярные открытые множества любого топологического пространства образуют полную булевую алгебру. Этот пример имеет особое значение, поскольку каждое форсирующее ЧУМ можно рассматривать как топологическое пространство ( базу топологии, состоящую из множеств, которые представляют собой набор всех элементов, меньших или равных данному элементу). Соответствующая регулярная открытая алгебра может использоваться для формирования булевых моделей , которые затем эквивалентны общим расширениям с помощью заданного принудительного ЧУУ.
Алгебра всех измеримых подмножеств σ-конечного пространства с мерой по модулю нулевых множеств является полной булевой алгеброй. Когда пространством меры является единичный интервал с σ-алгеброй измеримых по Лебегу множеств, булева алгебра называется случайной алгеброй .
Булева алгебра всех множеств Бэра по модулю скудных множеств в топологическом пространстве со счетной базой полна; когда топологическое пространство представляет собой действительные числа, алгебру иногда называют алгеброй Кантора .

Неполные булевы алгебры

Алгебра всех подмножеств бесконечного множества, которые конечны или имеют конечное дополнение, является булевой алгеброй, но не является полной.
Алгебра всех измеримых подмножеств пространства с мерой является ℵ ₁ -полной булевой алгеброй, но обычно не является полной.
Другим примером булевой алгебры, которая не является полной, является булева алгебра P(ω) всех наборов натуральных чисел , факторизованная по идеалу Fin конечных подмножеств. Результирующий объект, обозначенный P(ω)/Fin, состоит из всех классов эквивалентности наборов натуральных чисел, где соответствующее отношение эквивалентности состоит в том, что два набора натуральных чисел эквивалентны, если их симметричная разность конечна. Булевы операции определяются аналогично, например, если A и B — два класса эквивалентности в P(ω)/Fin, мы определяем класс эквивалентности , где a и b — некоторые (любые) элементы A и B соответственно. . $A\land B$ $a\cap b$

Пусть теперь a ₀ , a ₁ , … — попарно непересекающиеся бесконечные множества натуральных чисел, и пусть A ₀ , A ₁ , … — соответствующие им классы эквивалентности в P(ω)/Fin. Тогда, учитывая любую верхнюю границу X для A ₀ , A ₁ , … в P(ω)/Fin, мы можем найти меньшую верхнюю границу, удалив из представителя X по одному элементу каждого a _n . Следовательно, An _не имеет супремума.

Свойства полных булевых алгебр

Каждое подмножество полной булевой алгебры по определению имеет верхнюю грань; отсюда следует, что каждое подмножество также имеет нижнюю границу (наибольшую нижнюю границу).
Для полной булевой алгебры оба бесконечных закона распределения выполняются тогда и только тогда, когда она изоморфна множеству степеней некоторого множества. ^{[ нужна цитата ]}
Для полной булевой алгебры справедливы бесконечные законы де Моргана.
Булева алгебра полна тогда и только тогда, когда ее пространство Стоуна простых идеалов экстремально несвязно .

Теорема Сикорского о расширении утверждает, что если A является подалгеброй булевой алгебры B , то любой гомоморфизм из A в полную булеву алгебру C может быть расширен до морфизма из B в C.

Пополнение булевой алгебры

Пополнение булевой алгебры можно определить несколькими эквивалентными способами:

Пополнение A — это (с точностью до изоморфизма) единственная полная булева алгебра B , содержащая A , такая, что A плотно в B ; это означает, что для каждого ненулевого элемента B существует меньший ненулевой элемент A .
Пополнение A — это (с точностью до изоморфизма) единственная полная булева алгебра B, содержащая A , такая, что каждый элемент B является супремумом некоторого подмножества A .

Пополнение булевой алгебры A можно построить несколькими способами:

Пополнение — это булева алгебра регулярных открытых множеств в пространстве Стоуна простых идеалов A . Каждый элемент x из A соответствует открытому множеству простых идеалов, не содержащему x (которое является открытым и замкнутым и, следовательно, регулярным).
Пополнение — это булева алгебра регулярных разрезов A . Здесь разрез — это подмножество U множества A ⁺ (ненулевые элементы A ), такое, что если q находится в U и p ≤ q , то p находится в U , и называется регулярным , если всякий раз, когда p не находится в U , существует некоторый r ≤ p такой, что в U нет элементов ≤ r . Каждый элемент p из A соответствует разрезу элементов ≤ p .

Если A — метрическое пространство, а B — его пополнение , то любая изометрия A до полного метрического пространства C может быть расширена до уникальной изометрии из B в C. Аналогичное утверждение для полных булевых алгебр неверно: гомоморфизм булевой алгебры A в полную булеву алгебру C не обязательно может быть расширен до (сохраняющего верхнюю границу) гомоморфизма полных булевых алгебр из пополнения B A до C . (По теореме Сикорского о расширении его можно расширить до гомоморфизма булевых алгебр из B в C , но, вообще говоря, это не будет гомоморфизмом полных булевых алгебр; другими словами, он не обязательно должен сохранять супремы.)

Свободные κ-полные булевы алгебры

Если не смягчена аксиома выбора , ^[1] свободные полные булевы алгебры, порожденные набором, не существуют (если только набор не конечен). Точнее, для любого кардинала κ существует полная булева алгебра мощности 2 ^κ, большая, чем κ, которая порождается как полная булева алгебра счетным подмножеством; например, булева алгебра регулярных открытых множеств в пространстве произведений κ ^ω , где κ имеет дискретную топологию. Счетная порождающая совокупность состоит из всех множеств a _{m , n} для m , n целых чисел, состоящих из элементов x ∊ κ ^ω таких, что x ( m ) < x ( n ). (Эта булева алгебра называется схлопывающей алгеброй , потому что воздействие с ее помощью схлопывает кардинал κ на ω.)

В частности, функтор забывания от полных булевых алгебр к множествам не имеет левого сопряженного , хотя он непрерывен и категория булевых алгебр малополнота. Это показывает, что «условие множества решений» в теореме Фрейда о сопряженном функторе необходимо.

Учитывая набор X , можно сформировать свободную булеву алгебру A , порожденную этим набором, а затем взять ее пополнение B. Однако B не является «свободной» полной булевой алгеброй, порожденной X (если только X не конечен или AC не опущен), поскольку функция из X в свободную булеву алгебру C , вообще говоря, не может быть расширена до (сохраняющего супремум) морфизма Булевы алгебры из B в C.

С другой стороны, для любого фиксированного кардинала κ существует свободная (или универсальная) κ-полная булева алгебра, порожденная любым заданным множеством.