Сложные проценты — это проценты , накопленные из основной суммы и ранее накопленных процентов. Это результат реинвестирования или удержания процентов, которые в противном случае были бы выплачены, или накопления долгов заемщика.
Сложные проценты противопоставляются простым процентам , где ранее накопленные проценты не добавляются к основной сумме текущего периода. Сложные проценты зависят от применяемой простой процентной ставки и частоты начисления сложных процентов.
Частота начисления процентов – это количество раз в единицу времени, когда накопленные проценты капитализируются на регулярной основе. Периодичность может быть ежегодной, полугодовой, ежеквартальной, ежемесячной, еженедельной, ежедневной, непрерывной или не осуществляться вообще до погашения.
Например, ежемесячная капитализация с процентами, выраженными в виде годовой ставки, означает, что частота начисления сложных процентов равна 12, а периоды времени измеряются в месяцах.
Чтобы помочь потребителям более справедливо и легко сравнивать розничные финансовые продукты, многие страны требуют, чтобы финансовые учреждения раскрывали годовую сложную процентную ставку по депозитам или авансам на сопоставимой основе. Процентная ставка в годовом эквиваленте на разных рынках может называться по-разному: эффективная годовая процентная ставка (EAPR), годовая эквивалентная ставка (AER), эффективная процентная ставка , эффективная годовая ставка , годовая процентная доходность и другие термины. Эффективная годовая ставка представляет собой общую сумму накопленных процентов, подлежащих выплате до конца одного года, разделенную на основную сумму долга. Эти ставки обычно представляют собой годовую сложную процентную ставку вместе с расходами, отличными от процентов, такими как налоги и другие сборы.
Сложные проценты, взимаемые кредиторами, когда-то считались худшим видом ростовщичества и строго осуждались римским правом и общими законами многих других стран. [2]
Флорентийский купец Франческо Бальдуччи Пеголотти в своей книге Pratica della mercatura привел таблицу сложных процентов примерно за 1340 год. Она дает проценты на 100 лир по ставке от 1% до 8% на срок до 20 лет. [3] В «Сумме арифметики» Луки Пачоли (1494 г.) приводится Правило 72 , в котором говорится, что для того, чтобы найти количество лет, в течение которых инвестиции под сложные проценты удвоятся, нужно разделить процентную ставку на 72.
Книга Ричарда Уитта «Арифметические вопросы» , опубликованная в 1613 году, стала важной вехой в истории сложных процентов. Он был полностью посвящен этой теме (ранее называвшейся анатоцизмом), тогда как предыдущие авторы обычно кратко рассматривали сложные проценты всего в одной главе учебника по математике. В книге Витта приведены таблицы, основанные на 10% (максимальная процентная ставка, допустимая по кредитам) и других ставках для различных целей, таких как оценка аренды недвижимости. Витт был лондонским практикующим математиком, и его книга отличалась ясностью выражения, глубиной понимания и точностью расчетов и содержала 124 рабочих примера. [4] [5]
Якоб Бернулли открыл константу в 1683 году, изучая вопрос о сложных процентах.
В XIX веке, а возможно, и раньше, персидские купцы использовали слегка модифицированную линейную аппроксимацию Тейлора для формулы ежемесячного платежа, которую можно было легко вычислить в уме. [6] В наше время предполагаемая цитата Альберта Эйнштейна о сложных процентах звучит правдоподобно. «Тот, кто это понимает, зарабатывает; тот, кто не платит». [7]
Общая накопленная стоимость, включая основную сумму плюс сложные проценты , определяется по формуле: [8] [9]
где:
Общая сумма начисленных сложных процентов представляет собой конечную стоимость за вычетом первоначальной основной суммы долга: [10]
Поскольку основной P — это просто коэффициент, его часто опускаются для простоты и вместо него используется полученная функция накопления . Функция накопления показывает, до какой суммы вырастет 1 доллар через любой промежуток времени. Функция накопления сложных процентов:
Когда количество периодов начисления сложных процентов в году увеличивается неограниченно, происходит непрерывное начисление процентов, и в этом случае эффективная годовая ставка приближается к верхнему пределу er - 1 . Непрерывное начисление процентов можно рассматривать как возможность бесконечно малого периода начисления процентов, что достигается путем достижения предела , когда n стремится к бесконечности . Сумма после t периодов непрерывного начисления процентов может быть выражена через начальную сумму P 0 как:
Поскольку число периодов начисления сложных процентов при непрерывном начислении процентов стремится к бесконечности, непрерывную сложную процентную ставку называют силой процента . Для любой непрерывно дифференцируемой функции накопления a(t) процентная сила или, в более общем плане, логарифмическая или непрерывно усугубляемая прибыль является функцией времени следующим образом:
Это логарифмическая производная функции накопления.
Обратно: (Поскольку это можно рассматривать как частный случай интеграла произведения .)
Когда приведенная выше формула записана в формате дифференциального уравнения, тогда интересующая сила представляет собой просто коэффициент величины изменения:
Для сложных процентов с постоянной годовой процентной ставкой r сила процентов является постоянной, а функция накопления сложных процентов с точки зрения силы процентов представляет собой простую степень e : или
Сила процента меньше годовой эффективной процентной ставки, но больше годовой эффективной ставки дисконтирования . Это обратное время электронного складывания .
Способ моделирования силы инфляции заключается в использовании формулы Студли: где оцениваются p , r и s .
Преобразовать процентную ставку из одного метода начисления процентов в другой метод начисления процентов так, чтобы
использовать
где r 1 представляет собой процентную ставку с частотой начисления процентов n 1 , а r 2 представляет собой процентную ставку с частотой начисления сложных процентов n 2 .
Если проценты постоянно начисляются, используйте
где — процентная ставка при непрерывном начислении процентов, а r — заявленная процентная ставка с частотой начисления процентов n .
Проценты по кредитам и ипотечным кредитам, которые амортизируются, то есть имеют плавный ежемесячный платеж до тех пор, пока кредит не будет погашен, часто начисляются ежемесячно. Формула платежей находится из следующего рассуждения.
Точная формула ежемесячного платежа ( ) такова или эквивалентна
где:
В электронных таблицах используется функция PMT() . Синтаксис:
PMT(процентная_ставка, количество_платежей, текущая_стоимость, будущая_ценность, [Тип])
Формулу с точностью до нескольких процентов можно найти, заметив, что для типичных ставок по векселям США ( и сроков = 10–30 лет) ежемесячная ставка по векселям мала по сравнению с 1. Так что это дает упрощение:
который предлагает определить вспомогательные переменные
Вот ежемесячный платеж, необходимый для беспроцентного кредита, погашаемого в рассрочку. В терминах этих переменных можно записать аппроксимацию .
Позволять . Расширение действительно при условии, что оно превышает 1% .
Для ипотеки в размере 120 000 долларов США сроком на 30 лет и процентной ставкой 4,5% с ежемесячной выплатой мы находим:
который дает
так что
Точная сумма платежа такова, что приблизительная оценка завышена примерно на шестую процента.
Учитывая основной депозит и повторяющийся депозит, общий доход от инвестиций можно рассчитать через сложные проценты, полученные за единицу времени. При необходимости проценты по дополнительным единоразовым и периодическим депозитам также можно определить по той же формуле (см. ниже). [11]
Сложные проценты по каждому депозиту представляют собой: Сложение всех повторяющихся депозитов за общий период t (i начинается с 0, если депозиты начинаются с инвестирования основной суммы; i начинается с 1, если депозиты начинаются в следующем месяце): Признание геометрической прогрессии : и применяя формулу замкнутой формы (обычное соотношение : ):
Если имеются два или более типа вкладов (повторяющиеся или разовые), совокупная заработанная стоимость может быть представлена как
где C — каждая единовременная сумма, а k — неежемесячные повторяющиеся депозиты соответственно, а x и y — разница во времени между новым депозитом и общим периодом t моделирования.
Практическая оценка обратного расчета нормы прибыли, когда точная дата и сумма каждого регулярного депозита не известны, формула, которая предполагает единый повторяющийся ежемесячный депозит в течение периода: [12] или
{{cite book}}
: CS1 maint: location missing publisher (link)