Подгруппа конгруэнтности

Матричная группа

В математике конгруэнтная подгруппа матричной группы с целыми элементами — это подгруппа, определяемая условиями конгруэнтности на элементах. Очень простым примером является подгруппа обратимых 2 × 2 целочисленных матриц с определителем 1, в которых недиагональные элементы четные . В более общем смысле, понятие конгруэнтной подгруппы может быть определено для арифметических подгрупп алгебраических групп ; то есть тех, для которых у нас есть понятие «целочисленной структуры» и мы можем определить отображения редукции по модулю целого числа.

Существование подгрупп конгруэнции в арифметической группе обеспечивает ее богатством подгрупп, в частности, это показывает, что группа является финитно аппроксимируемой . Важным вопросом, касающимся алгебраической структуры арифметических групп, является проблема подгруппы конгруэнции , которая спрашивает, являются ли все подгруппы конечного индекса по существу подгруппами конгруэнции.

Конгруэнтные подгруппы матриц размера 2 × 2 являются фундаментальными объектами в классической теории модулярных форм ; современная теория автоморфных форм аналогичным образом использует конгруэнтные подгруппы в более общих арифметических группах.

Конгруэнтные подгруппы модулярной группы

Простейшей интересной средой, в которой можно изучать подгруппы конгруэнтности, является модульная группа ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ . ^[1]

Главные подгруппы конгруэнтности

Если — целое число, то гомоморфизм , индуцированный морфизмом по модулю редукции ⁠ ⁠ . Главная конгруэнтная подгруппа уровня in — это ядро ​​⁠ ⁠ , и обычно обозначается ⁠ ⁠ . Явно это описывается следующим образом: ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle \pi _{n}:\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \Gamma (n)}$

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d\equiv 1{\pmod {n}},\quad b,c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

Из этого определения немедленно следует, что является нормальной подгруппой конечного индекса в ⁠ ⁠ . Теорема сильной аппроксимации (в данном случае простое следствие китайской теоремы об остатках ) подразумевает, что является сюръективной, так что частное изоморфно ⁠ ⁠ . Вычисление порядка этой конечной группы дает следующую формулу для индекса: ${\displaystyle \Gamma (n)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \Gamma /\Gamma (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma (n)]=n^{3}\cdot \prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}$

где произведение берется по всем простым числам, делящим ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ .

Если тогда ограничение на любую конечную подгруппу инъективно. Это влечет следующий результат: ${\displaystyle n\geqslant 3}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Если , то главные подгруппы конгруэнтности не имеют кручения . ${\displaystyle n\geqslant 3}$ ${\displaystyle \Gamma (n)}$

Группа содержит и не является группой без кручения. С другой стороны, ее образ в не имеет кручения, а фактор гиперболической плоскости по этой подгруппе представляет собой сферу с тремя точками возврата. ${\displaystyle \Gamma (2)}$ ${\displaystyle -\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Определение подгруппы конгруэнтности

Подгруппа в называется конгруэнц-подгруппой, если существует такая, которая содержит главную конгруэнц-подгруппу ⁠ ⁠ . Уровень тогда является наименьшим таким ⁠ ⁠ . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma (n)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n}$

Из этого определения следует, что:

• Конгруэнтные подгруппы имеют конечный индекс в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Gamma }$ ;
• Подгруппы конгруэнтности уровня находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )}$

Примеры

Подгруппа ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$ , иногда называемая подгруппой конгруэнтности Гекке уровня ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ , определяется как прообраз группы верхних треугольных матриц. То есть, ${\displaystyle \pi _{n}}$

${\displaystyle \Gamma _{0}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

Индекс вычисляется по формуле:

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{0}(n)]=n\cdot \prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}$

где произведение берется по всем простым числам, делящим ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ . Если является простым, то находится в естественной биекции с проективной прямой над конечным полем ⁠ ⁠ , и явными представителями для (левых или правых) смежных классов в являются следующие матрицы: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Gamma /\Gamma _{0}(p)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \operatorname {Id} ,{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}1&0\\p-1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Подгруппы никогда не бывают без кручения, поскольку они всегда содержат матрицу ⁠ ⁠ . Существует бесконечно много таких, что образ в также содержит элементы кручения. ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$ ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Подгруппа является прообразом подгруппы унипотентных матриц: ${\displaystyle \Gamma _{1}(n)}$

${\displaystyle \Gamma _{1}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :a,d\equiv 1{\pmod {n}},c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

Их индексы определяются по формуле:

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{1}(n)]=n^{2}\cdot \prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}$

Тета -подгруппа — это конгруэнтная подгруппа группы , определяемая как прообраз циклической группы второго порядка, порожденной . Она имеет индекс 3 и явно описывается следующим образом: ^[2] ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \Lambda =\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :ac\equiv 0{\pmod {2}},bd\equiv 0{\pmod {2}}\right\}.}$

Эти подгруппы удовлетворяют следующим включениям: ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Gamma (n)\subset \Gamma _{1}(n)\subset \Gamma _{0}(n)}$ , а также ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Gamma (2)\subset \Lambda }$ .

Свойства подгрупп конгруэнции

Подгруппы конгруэнции модулярной группы и соответствующие римановы поверхности отличаются некоторыми особенно хорошими геометрическими и топологическими свойствами. Вот пример:

• Существует лишь конечное число конгруэнтных покрытий модулярной поверхности, имеющих род ноль; ^[3]
• ( Теорема Сельберга 3/16 ) Если — непостоянная собственная функция оператора Лапласа-Бельтрами на конгруэнтном покрытии модулярной поверхности с собственным значением, то ⁠ ⁠ . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda \geqslant {\tfrac {3}{16}}}$

Существует также набор выдающихся операторов, называемых операторами Гекке, на гладких функциях на конгруэнтных покрытиях, которые коммутируют друг с другом и с оператором Лапласа–Бельтрами и диагонализуются в каждом собственном пространстве последнего. Их общие собственные функции являются фундаментальным примером автоморфных форм . Другие автоморфные формы, связанные с этими конгруэнтными подгруппами, являются голоморфными модулярными формами, которые можно интерпретировать как классы когомологий на ассоциированных римановых поверхностях посредством изоморфизма Эйхлера–Шимуры .

Нормализаторы подгрупп конгруэнтности Гекке

Нормализатор in был исследован ; один из результатов 1970-х годов, полученный Жаном-Пьером Серром , Эндрю Оггом и Джоном Г. Томпсоном, заключается в том, что соответствующая модулярная кривая ( риманова поверхность , полученная в результате взятия фактора гиперболической плоскости по ⁠ ⁠ ) имеет род ноль (т. е. модулярная кривая является сферой Римана) тогда и только тогда, когда ⁠ ⁠ равно 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71. Когда Огг позже услышал о группе монстров , он заметил, что это были именно простые множители размера ⁠ ⁠ , он написал статью, предлагая бутылку виски Jack Daniel's любому, кто мог бы объяснить этот факт — это было отправной точкой для теории чудовищного самогона , которая объясняет глубокие связи между теорией модулярных функций и монстр группа. ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$

В арифметических группах

Арифметические группы

Понятие арифметической группы является обширным обобщением, основанным на фундаментальном примере ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$ . В общем случае, чтобы дать определение, нужна полупростая алгебраическая группа, определенная над , и точное представление ⁠ ⁠ , также определенное над ⁠ ⁠ , из в ⁠ ⁠ ; тогда арифметической группой в является любая группа , имеющая конечный индекс в стабилизаторе подрешетки конечного индекса в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

Подгруппы конгруэнтности

Пусть будет арифметической группой: для простоты лучше предположить, что ⁠ ⁠ . Как и в случае с существуют морфизмы редукции ⁠ ⁠ . Мы можем определить главную конгруэнтную подгруппу как ядро ​​(которое может априори зависеть от представления ⁠ ⁠ ), а конгруэнтную подгруппу как любую подгруппу, содержащую главную конгруэнтную подгруппу (понятие, которое не зависит от представления). Это подгруппы конечного индекса, которые соответствуют подгруппам конечных групп ⁠ ⁠ , и уровень определен. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma \to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \pi _{n}(\Gamma )}$

Примеры

Главные подгруппы конгруэнтности — это подгруппы, заданные формулой: ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma (n)}$

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{(a_{ij})\in \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} ):\forall i\,a_{ii}\equiv 1{\pmod {n}},\,\forall i\neq j\,a_{ij}\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

тогда подгруппы конгруэнтности соответствуют подгруппам . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

Другой пример арифметической группы дается группами , где — кольцо целых чисел в числовом поле , например ⁠ ⁠ . Тогда, если — простой идеал, делящий рациональное простое число, то подгруппа , которая является ядром отображения редукции mod , является конгруэнц-подгруппой, поскольку она содержит главную конгруэнц-подгруппу, определяемую редукцией по модулю ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O)}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O=\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle p}$

Еще одна арифметическая группа — это модулярные группы Зигеля , ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ определяемые следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )=\left\{\gamma \in \mathrm {GL} _{2g}(\mathbb {Z} ):\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\right\}.}$

Обратите внимание, что если то ⁠ ⁠ . Тета-подгруппа — это множество всех таких, что и имеют четные диагональные элементы. ^[4] ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma _{\vartheta }^{(n)}}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle AB^{\top }}$ ${\displaystyle CD^{\top }}$

Свойство (τ)

Семейство конгруэнц-подгрупп в данной арифметической группе всегда обладает свойством (τ) Любоцкого–Циммера. ^[5] Это можно понимать так, что константа Чигера семейства их графов смежных классов Шрейера (относительно фиксированного порождающего множества для ⁠ ⁠ ) равномерно отделена от нуля, другими словами, они являются семейством графов экспандеров . Существует также интерпретация теории представлений: если — решетка в группе Ли ⁠ ⁠ , то свойство (τ) эквивалентно нетривиальным унитарным представлениям ⁠ ⁠ , возникающим в пространствах, ограниченных от тривиального представления (в топологии Фелла на унитарном двойственном к ⁠ ⁠ ). Свойство (τ) является ослаблением свойства Каждана (T) , которое подразумевает, что семейство всех подгрупп конечного индекса обладает свойством (τ). ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}(G/\Gamma )}$ ${\displaystyle G}$

ВС-арифметические группы

Если - группа и - конечное множество простых чисел, -арифметическая подгруппа определяется как арифметическая подгруппа, но с использованием вместо ⁠ ⁠ . Фундаментальным примером является ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle S=\{p_{1},\ldots ,p_{r}\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{d}(\mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$

Пусть будет -арифметической группой в алгебраической группе ⁠ ⁠ . Если - целое число, не делящееся ни на одно простое число из ⁠ ⁠ , то все простые числа обратимы по модулю и отсюда следует, что существует морфизм ⁠ ⁠ . Таким образом, можно определить подгруппы конгруэнции в ⁠ ⁠ , уровень которых всегда взаимно прост со всеми простыми числами из ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \Gamma _{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {G} \subset \operatorname {GL} _{d}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma _{S}\to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma _{S}}$ ${\displaystyle S}$

Проблема подгруппы конгруэнтности

Подгруппы конечного индекса в SL2(З)

Конгруэнтные подгруппы в являются подгруппами конечного индекса: естественно спросить, учитывают ли они все подгруппы конечного индекса в ⁠ ⁠ . Ответ — решительное «нет». Этот факт был известен еще Феликсу Клейну , и существует много способов продемонстрировать множество неконгруэнтных подгрупп конечного индекса. Например: ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$

1. Простая группа в композиционном ряду фактора ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$ , где — нормальная конгруэнтная подгруппа, должна быть простой группой типа Ли (или циклической), фактически одной из групп для простого числа ⁠ ⁠ . Но для каждого существуют подгруппы конечного индекса такие, что изоморфны знакопеременной группе (например, сюръекты на любой группе с двумя образующими, в частности, на всех знакопеременных группах, и ядра этих морфизмов дают пример). Таким образом, эти группы должны быть неконгруэнтными. ${\displaystyle \Gamma '}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{p})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Gamma '\subset \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$ ${\displaystyle A_{m}}$ ${\displaystyle \Gamma (2)}$
2. Существует сюръекция ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} }$ ; для достаточно большого ядро ​​должно быть неконгруэнтным (один из способов увидеть это — это то, что константа Чигера графа Шрейера стремится к 0; также существует простое алгебраическое доказательство в духе предыдущего пункта). ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$
3. Число конгруэнтных подгрупп в индексе удовлетворяет ⁠ ⁠ . С другой стороны, число конечных индексных подгрупп индекса в удовлетворяет ⁠ ⁠ , поэтому большинство подгрупп конечного индекса должны быть неконгруэнтными. ^[6] ${\displaystyle c_{N}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \log c_{N}=O\left((\log N)^{2}/\log \log N\right)}$ ${\displaystyle a_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle N\log N=O(\log a_{N})}$

Ядро конгруэнтности

Для любой арифметической группы можно задать тот же вопрос, что и для модулярной группы:

Наивная проблема конгруэнц-подгрупп: если задана арифметическая группа, являются ли все ее подгруппы конечного индекса конгруэнц-подгруппами?

Эта проблема может иметь положительное решение: ее истоки лежат в работах Хаймана Басса , Жана-Пьера Серра и Джона Милнора , а также Йенса Меннике, которые доказали, что в отличие от случая , когда все подгруппы с конечным индексом в являются подгруппами конгруэнции. Решение Басса–Милнора–Серра включало аспект алгебраической теории чисел, связанный с K-теорией . ^[7] С другой стороны, работа Серра о числовых полях показывает, что в некоторых случаях ответ на наивный вопрос — «нет», в то время как небольшое ослабление проблемы дает положительный ответ. ^[8] ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n\geqslant 3}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}}$

Эта новая проблема лучше формулируется в терминах некоторых компактных топологических групп, связанных с арифметической группой ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Gamma }$ . Существует топология на , для которой базой окрестностей тривиальной подгруппы является множество подгрупп конечного индекса ( проконечная топология ); и существует другая топология, определяемая таким же образом с использованием только подгрупп конгруэнтности. Проконечная топология порождает пополнение ⁠ ⁠ группы ⁠ ⁠ , в то время как топология «конгруэнтности» порождает другое пополнение ⁠ ⁠ . Обе являются проконечными группами , и существует естественный сюръективный морфизм (интуитивно, существует меньше условий для соответствия последовательности Коши в топологии конгруэнтности, чем в проконечной топологии). ^{[9] [10]} Ядро конгруэнтности является ядром этого морфизма, и проблема подгруппы конгруэнтности, указанная выше, сводится к тому, является ли она тривиальной. Ослабление заключения приводит к следующей проблеме. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}\to {\overline {\Gamma }}}$ ${\displaystyle C(\Gamma )}$ ${\displaystyle C(\Gamma )}$

Проблема подгруппы конгруэнции: является ли ядро ​​конгруэнции конечным? ${\displaystyle C(\Gamma )}$

Когда задача имеет положительное решение, говорят, что имеет свойство подгруппы конгруэнции . Гипотеза, обычно приписываемая Серру, утверждает, что неприводимая арифметическая решетка в полупростой группе Ли имеет свойство подгруппы конгруэнции тогда и только тогда, когда действительный ранг равен по крайней мере 2; например, решетки в всегда должны иметь это свойство. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$

Отрицательные решения

Гипотеза Серра утверждает, что решетка в группе Ли ранга один не должна обладать свойством конгруэнтности подгруппы. Существует три семейства таких групп: ортогональные группы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1),d\geqslant 2}$ , унитарные группы и группы (группы изометрий полуторалинейной формы над кватернионами Гамильтона), а также исключительная группа (см. Список простых групп Ли ). Текущее состояние проблемы конгруэнтности подгруппы следующее: ${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1),d\geqslant 2}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (d,1),d\geqslant 2}$ ${\displaystyle F_{4}^{-20}}$

• Известно, что оно имеет отрицательное решение (подтверждающее гипотезу) для всех групп с ⁠ ⁠ . Доказательство использует тот же аргумент, что и 2. в случае : в общем случае гораздо сложнее построить сюръекцию к ⁠ ⁠ , доказательство совсем не единообразно для всех случаев и терпит неудачу для некоторых решеток в размерности 7 из-за явления тройственности . ^{[11] [12]} В размерностях 2 и 3 и для некоторых решеток в более высоких размерностях аргумент 1 и 3 также применимы. ${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1)}$ ${\displaystyle d\neq 7}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Это известно для многих решеток в , но не для всех (снова используя обобщение аргумента 2). ^[13] ${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1)}$
• Во всех остальных случаях он полностью открыт.

Положительные решения

Во многих ситуациях, когда ожидается, что проблема подгруппы конгруэнции будет иметь положительное решение, было доказано, что это действительно так. Вот список алгебраических групп, для которых известно, что свойство подгруппы конгруэнции выполняется для ассоциированных арифметических решеток, в случае, если ранг ассоциированной группы Ли (или, в более общем смысле, сумма ранга вещественных и ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ -адических множителей в случае ⁠ ⁠ ${\displaystyle S}$ -арифметических групп) составляет не менее 2: ^[14]

• Любая неанизотропная группа (сюда входят случаи, рассмотренные Бассом–Милнором–Серром, а также is ⁠ ⁠ и многие другие); ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle \min(p,q)>1}$
• Любая группа типа не (например, все анизотропные формы симплектических или ортогональных групп вещественного ранга ⁠ ⁠ ); ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \geqslant 2}$
• Унитарные группы эрмитовых форм.

Случаи внутренних и внешних форм типа все еще открыты. Алгебраические группы в случае внутренних форм типа являются теми, которые связаны с группами единиц в центральных простых алгебрах с делением; например, свойство подгруппы конгруэнции неизвестно для решеток в или с компактным фактором. ^[15] ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Группы конгруэнтности и группы Адель

Кольцо аделей является ограниченным произведением всех пополнений ⁠ ⁠ , т.е. ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} \times \prod _{p}'\mathbb {Q} _{p}}$

где произведение берется по множеству всех простых чисел, является полем p -адических чисел , а элемент принадлежит ограниченному произведению тогда и только тогда, когда для почти всех простых чисел ⁠ ⁠ , принадлежит подкольцу p -адических целых чисел . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle (x,(x_{p})_{p\in {\mathcal {P}}})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Если задана любая алгебраическая группа над адельной алгебраической группой , то она может быть снабжена канонической топологией, которая в случае, когда является линейной алгебраической группой, является топологией как подмножества ⁠ ⁠ . Конечные адели являются ограниченным произведением всех неархимедовых пополнений (всех p -адических полей). ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {A} )}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{f}}$

Если - арифметическая группа, то ее конгруэнц-подгруппы характеризуются следующим свойством: является конгруэнц-подгруппой тогда и только тогда, когда ее замыкание является компактно-открытой подгруппой (компактность автоматична) и ⁠ ⁠ . В общем случае группа равна конгруэнц-замыканию в ⁠ ⁠ , а конгруэнц-топология на является индуцированной топологией как подгруппы ⁠ ⁠ , в частности, конгруэнц-пополнение является ее замыканием в этой группе. Эти замечания справедливы также для ⁠ ⁠ -арифметических подгрупп, заменяя кольцо конечных аделей на ограниченное произведение по всем простым числам, не в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle H\subset \Gamma }$ ${\displaystyle {\overline {H}}\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})}$ ${\displaystyle H=\Gamma \cap {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \Gamma \cap {\overline {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})}$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

В более общем смысле можно определить, что означает для подгруппы быть конгруэнтной подгруппой без явной ссылки на фиксированную арифметическую подгруппу, потребовав, чтобы она была равна своему конгруэнтному замыканию ⁠ ⁠ . Таким образом, становится возможным изучать все конгруэнтные подгруппы одновременно, рассматривая дискретную подгруппу ⁠ ⁠ . Это особенно удобно в теории автоморфных форм: например, все современные трактовки формулы следа Артура–Сельберга выполняются в этой адельной постановке. ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\cap \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} )}$

Примечания

1. Модулярная группа обычно определяется как частное ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )/\{\pm \operatorname {Id} \}}$ , здесь мы будем использовать , чтобы упростить задачу, но теория почти та же самая. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$
2. Эйхлер, Мартин (1966). Введение в теорию алгебраических чисел и функций . Academic Press. С. 36–39.
3. Лонг, Даррен Д.; Маклахлан, Колин; Рид, Алан (2006). «Арифметические фуксовы группы рода ноль». Pure and Applied Math Quarterly 2. Специальный выпуск в честь 60-летия профессора Дж. Х. Коутса (2): 569–599. doi : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a9 .
4. Рихтер, Олав (2000). «Тета-функции неопределенных квадратичных форм над полями действительных чисел». Труды Американского математического общества . 128 (3): 701–708. doi : 10.1090/s0002-9939-99-05619-1 .
5. Клозель, Лоран (2003). «Демонстрация гипотезы τ». Изобретать. Математика. (на французском языке). 151 (2): 297–328. Бибкод : 2003InMat.151..297C. дои : 10.1007/s00222-002-0253-8. S2CID  124409226.
6. Любоцкий и Сегал 2003, Главы 6–7.
7. Басс, Х.; Милнор, Джон Уиллард ; Серр, Жан-Пьер (1967), «Решение проблемы конгруэнтной подгруппы для SLn (n ≥ 3) и Sp2n (n ≥ 2)», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 33 (33): 59–137, doi : 10.1007/BF02684586, ISSN  1618-1913, MR  0244257, S2CID  123107965(Опечатка)
8. Серр, Жан-Пьер (1970). «Проблема су-групп конгруэнтности для SL ₂ ». Анналы математики . Вторая серия (на французском языке). 92 : 489–527. дои : 10.2307/1970630. JSTOR  1970630.
9. Платонов и Рапинчук 1994, Предложение 9.10.
10. Sury 2003, Раздел 3.7.
11. Любоцкий и Сегал 2003, Теорема 7.2.
12. Агол, Ян (2013). «Виртуальная гипотеза Хакена». Documenta Math . 18 : 1045–1087. doi : 10.4171/dm/421 . S2CID  255586740.
13. Каждан, Дэвид (1977). «Некоторые приложения представления Вейля». Journal d'Analyse Mathématique . 32 : 235–248. doi :10.1007/bf02803582. S2CID  119982784.
14. Платонов и Рапинчук 1994, с. 568.
15. Рагхунатан, М.С. (2004). «Проблема конгруэнтной подгруппы». Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci . 114 (4): 299–308. doi :10.1007/BF02829437. S2CID  18414386.

Ссылки

• Любоцкий, Александр; Сигал, Дэн (2003). Рост подгруппы . Биркхойзер. ISBN 3-7643-6989-2.
• Платонов, Владимир ; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел. (Перевод с русского оригинала 1991 года Рэйчел Роуэн.) . Чистая и прикладная математика. Том 139. Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-558180-7. МР  1278263.
• Sury, B. (2003). Проблема подгруппы конгруэнтности . Книжное агентство Hindustan. ISBN 81-85931-38-0.