Поле алгебраических чисел

Расширение поля конечной степени (и, следовательно, алгебраического) поля рациональных чисел

В математике поле алгебраических чисел (или просто числовое поле ) — это поле расширения поля рациональных чисел такое, что расширение поля имеет конечную степень (и, следовательно, является расширением алгебраического поля). Таким образом , это поле, которое содержит и имеет конечную размерность , если рассматривать его как векторное пространство над . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Изучение полей алгебраических чисел и, в более общем плане, алгебраических расширений поля рациональных чисел — центральная тема теории алгебраических чисел . Это исследование раскрывает скрытые структуры рациональных чисел с помощью алгебраических методов.

Определение

Предварительные условия

Понятие поля алгебраических чисел основано на понятии поля . Поле состоит из набора элементов вместе с двумя операциями, а именно сложением и умножением , а также некоторыми предположениями о распределении . Ярким примером поля является поле рациональных чисел , обычно обозначаемое вместе с его обычными операциями сложения и умножения. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Другое понятие, необходимое для определения полей алгебраических чисел, — это векторные пространства . В той степени, в которой это необходимо, векторные пространства можно рассматривать как состоящие из последовательностей (или кортежей ).

( х ₁ , х ₂ , …)

чьи записи являются элементами фиксированного поля, например поля . Любые две такие последовательности можно добавить, добавив соответствующие записи. Более того, любую последовательность можно умножить на один элемент c фиксированного поля. Эти две операции, известные как сложение векторов и скалярное умножение, удовлетворяют ряду свойств, которые служат для абстрактного определения векторных пространств. Векторные пространства могут быть « бесконечномерными », то есть последовательности, составляющие векторные пространства, имеют бесконечную длину. Если же векторное пространство состоит из конечных последовательностей ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

( х ₁ , х ₂ , …, х _п ),

Говорят , что векторное пространство имеет конечную размерность n .

Определение

Поле алгебраических чисел (или просто числовое поле ) представляет собой полевое расширение поля рациональных чисел конечной степени . Здесь степень означает размерность поля как векторного пространства над . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Примеры

• Самое маленькое и основное числовое поле — это поле рациональных чисел. Многие свойства общих числовых полей созданы по образцу свойств . В то же время многие другие свойства полей алгебраических чисел существенно отличаются от свойств рациональных чисел - одним из ярких примеров является то, что кольцо целых алгебраических чисел числового поля вообще не является областью главного идеала . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Рациональные числа Гаусса , обозначаемые (читаемые как « присоединенные »), образуют первый (исторически) нетривиальный пример числового поля. Его элементы являются элементами формы ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle i}$
  $${\displaystyle a+bi}$$
  где a и b — рациональные числа, а i — мнимая единица . Такие выражения можно складывать, вычитать и умножать в соответствии с обычными правилами арифметики, а затем упрощать, используя тождество
  $${\displaystyle i^{2}=-1.}$$
  Явно,
  $${\displaystyle {\begin{matrix}(a+bi)+(c+di)&=&(a+c)+(b+d)i\\(a+bi)\cdot (c+di)&=&(ac-bd)+(ad+bc)i\end{matrix}}}$$
  Ненулевые гауссовы рациональные числа обратимы , что видно из тождества
  $${\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.}$$
  Отсюда следует, что гауссовы рациональные числа образуют числовое поле, двумерное как векторное пространство над . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• В более общем смысле, для любого целого числа без квадратов квадратичное поле представляет собой числовое поле, полученное путем присоединения квадратного корня из к полю рациональных чисел. Арифметические операции в этой области определяются аналогично случаю гауссовых рациональных чисел . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=-1}$
• Круговое поле
  $${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}),}$$
  где — числовое поле, полученное присоединением примитивного корня из единицы . Это поле содержит все комплексные корни n- й степени из единицы, а его размерность равна , где – функция Эйлера . ${\displaystyle \zeta _{n}=\exp {2\pi i/n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \varphi }$

Непримеры

• Действительные числа , и комплексные числа , являются полями, которые имеют бесконечную размерность как -векторные пространства ; следовательно, они не являются числовыми полями. Это следует из несчетности множеств и как, тогда как каждое числовое поле обязательно счетно . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Множество упорядоченных пар рациональных чисел с поэлементным сложением и умножением представляет собой двумерную коммутативную алгебру над . Однако это не поле, поскольку оно имеет делители нуля : ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
  $${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(1\cdot 0,0\cdot 1)=(0,0)}$$

Алгебраичность и кольцо целых чисел

Обычно в абстрактной алгебре расширение поля является алгебраическим , если каждый элемент большего поля является нулем (ненулевого) многочлена с коэффициентами в : ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle e_{0},\ldots ,e_{m}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle p(f)=e_{m}f^{m}+e_{m-1}f^{m-1}+\cdots +e_{1}f+e_{0}=0}$

Каждое расширение поля конечной степени алгебраично. (Доказательство : для in просто рассмотрим – мы получаем линейную зависимость, т.е. многочлен, который является корнем.) В частности, это применимо к полям алгебраических чисел, поэтому любой элемент поля алгебраических чисел можно записать как нуль многочлен с рациональными коэффициентами. Поэтому элементы числа также называют алгебраическими числами . Учитывая полином такой, что , его можно расположить так, чтобы старший коэффициент был равен единице, разделив на него все коэффициенты, если это необходимо. Полином с этим свойством известен как монический многочлен . В общем случае он будет иметь рациональные коэффициенты. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\ldots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(f)=0}$ ${\displaystyle e_{m}}$

Однако, если коэффициенты монического полинома на самом деле все целые числа, он называется алгебраическим целым числом . ${\displaystyle f}$

Любое (обычное) целое число является алгебраическим целым числом, поскольку оно является нулем линейного монического полинома: ${\displaystyle z\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle p(t)=t-z}$.

Можно показать, что любое целое алгебраическое число, которое также является рациональным числом, на самом деле должно быть целым числом, отсюда и название «целое алгебраическое число». Опять же, используя абстрактную алгебру, в частности понятие конечно порожденного модуля , можно показать, что сумма и произведение любых двух целых алгебраических чисел по-прежнему остается целым алгебраическим числом. Отсюда следует, что целые алгебраические числа образуют кольцо , называемое кольцом целых чисел . Это подкольцо (то есть кольцо, содержащееся в) . Поле не содержит делителей нуля , и это свойство наследуется любым подкольцом, поэтому кольцо целых чисел является областью целостности . Поле представляет собой поле дробей области целостности . Таким образом, можно перемещаться между полем алгебраических чисел и его кольцом целых чисел . Кольца целых алгебраических чисел обладают тремя отличительными свойствами: во-первых, являются областью целостности, целозамкнутой в своем поле частных . Во-вторых, это нётерово кольцо . Наконец, каждый ненулевой простой идеал кольца максимален или, что то же самое, размерность Крулля этого кольца равна единице. Абстрактное коммутативное кольцо с этими тремя свойствами называется дедекиндовым кольцом (или дедекиндовой областью ) в честь Ричарда Дедекинда , который предпринял глубокое исследование колец целых алгебраических чисел. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Уникальная факторизация

Для общих дедекиндовых колец , в частности колец целых чисел, существует единственная факторизация идеалов в произведение простых идеалов . Например, идеал в кольце квадратичных целых чисел разлагается на простые идеалы как ${\displaystyle (6)}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle (6)=(2,1+{\sqrt {-5}})(2,1-{\sqrt {-5}})(3,1+{\sqrt {-5}})(3,1-{\sqrt {-5}})}$

Однако, в отличие от кольца целых чисел , кольцо целых чисел собственного расширения не обязательно допускает однозначное разложение чисел в произведение простых чисел или, точнее, простых элементов . Это происходит уже для квадратичных целых чисел , например в , уникальность факторизации не удается: ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})}$

Используя норму, можно показать, что эти две факторизации на самом деле неэквивалентны в том смысле, что факторы отличаются не просто на единицу . Евклидовы домены — это уникальные домены факторизации; например , этим свойством обладают кольцо гауссовских целых чисел и кольцо целых чисел Эйзенштейна , где – кубический корень из единицы (не равный 1). ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \omega }$

Аналитические объекты: ζ-функции, L -функции и формула номера класса.

Неудача уникальной факторизации измеряется номером класса , обычно обозначаемым h , мощностью так называемой идеальной группы классов . Эта группа всегда конечна. Кольцо целых чисел обладает уникальной факторизацией тогда и только тогда, когда оно является главным кольцом или, что то же самое, имеет номер класса 1 . Учитывая числовое поле, номер класса часто бывает трудно вычислить. Проблема числа классов , восходящая к Гауссу , связана с существованием полей мнимых квадратичных чисел (т. е. ) с предписанным номером класса. Формула номера класса связывает h с другими фундаментальными инвариантами . Он включает в себя дзета-функцию Дедекинда ζ (s), функцию комплексной переменной s , определяемую формулой ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} {\sqrt {-d}},d\geq 1}$ ${\displaystyle K}$ _{${\displaystyle K}$}

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

(Произведение по всем простым идеалам , обозначает норму простого идеала или, что то же самое, (конечное) число элементов в поле вычетов . Бесконечное произведение сходится только для Re ( s ) > 1, в общем аналитическом продолжении и функциональное уравнение для дзета-функции необходимы для определения функции для всех s ). Дзета-функция Дедекинда обобщает дзета-функцию Римана в том смысле, что ζ ( s ) = ζ( s ). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle N({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}$ _{${\displaystyle \mathbb {Q} }$}

Формула номера класса утверждает, что ζ ( s ) имеет простой полюс в точке s = 1, и в этой точке вычет определяется выражением _{${\displaystyle K}$}

${\displaystyle {\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}.}$

Здесь r ₁ и r ₂ классически обозначают количество вещественных вложений и пар комплексных вложений соответственно . Кроме того, Reg является регулятором , w число корней из единицы и D является дискриминантом . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

L-функции Дирихле представляют собой более усовершенствованный вариант . Оба типа функций кодируют арифметическое поведение и соответственно. Например, теорема Дирихле утверждает, что в любой арифметической прогрессии ${\displaystyle L(\chi ,s)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle a,a+m,a+2m,\ldots }$

с взаимно простыми и существует бесконечно много простых чисел. Эта теорема вытекает из того, что -функция Дирихле отлична от нуля при . Используя гораздо более продвинутые методы, включая алгебраическую K-теорию и меры Тамагавы , современная теория чисел имеет дело с описанием, хотя и в значительной степени гипотетическим (см. Гипотезу о числах Тамагавы ), значений более общих L-функций . ^[2] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s=1}$

Основы числовых полей

Интегральная основа

Целочисленной базой числового поля степени является множество ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$

B знак равно { б ₁ , …, б _п }

из n целых алгебраических чисел, причем каждый элемент кольца целых чисел однозначно записывается как Z -линейная комбинация элементов из B ; то есть для любого x мы имеем ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Икс знак равно м ₁ б ₁ + ⋯ + м _п б _п ,

где m _i — (обычные) целые числа. В этом случае любой элемент можно однозначно записать как ${\displaystyle K}$

м ₁ б ₁ + ⋯ + м _п б _п ,

где теперь m _i - рациональные числа. Тогда целыми алгебраическими числами являются именно те элементы, где все m _i являются целыми числами. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Работая локально и используя такие инструменты, как карта Фробениуса , всегда можно явно вычислить такой базис, и теперь для систем компьютерной алгебры стандартно иметь встроенные программы для этого.

Силовая основа

Пусть числовое поле степени . Среди всех возможных баз (рассматриваемых как -векторное пространство) есть определенные, известные как степенные базы , которые представляют собой базы формы ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle B_{x}=\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}\}}$

для какого-то элемента . По теореме о примитивном элементе существует такой , называемый примитивным элементом . Если в и можно выбрать такой, который является базисом в качестве свободного Z -модуля, то называется степенным интегральным базисом , а поле называется моногенным полем . Пример немоногенного числового поля впервые был приведен Дедекиндом. Его примером является поле, полученное присоединением корня многочлена ^[3] ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{x}}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8.}$$

Регулярное представление, след и дискриминант

Напомним, что любое расширение поля имеет уникальную структуру -векторного пространства. Используя умножение в , элемент поля над базовым полем может быть представлен матрицами ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n\times n}$

$${\displaystyle A=A(x)=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$$

$${\displaystyle xe_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbb {Q} .}$$

линейная комбинациярегулярным представлениемпроизведением матрицыИнвариантыследопределительхарактеристический полиномВследомнормой ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}(x)}$ ${\displaystyle N(x)}$

Теперь это можно немного обобщить, рассмотрев вместо этого расширение поля и указав -базис для . Затем существует связанная матрица , у которой след и норма определены как след и определитель матрицы . ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A_{K/L}(x)}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}_{K/L}(x)}$ ${\displaystyle {\text{N}}_{K/L}(x)}$ ${\displaystyle A_{K/L}(x)}$

Пример

Рассмотрим расширение поля, где . Тогда у нас есть -базис , заданный формулой ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \theta =\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

$${\displaystyle \{1,\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}\}}$$

${\displaystyle x\in \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

$${\displaystyle a+b\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}+c\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}=a+b\theta +c\theta ^{2}}$$

${\displaystyle y\in \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2}}$ ${\displaystyle x\cdot y}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a(y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2})+\\b(2y_{2}+y_{0}\theta +y_{1}\theta ^{2})+\\c(2y_{1}+2y_{2}\theta +y_{0}\theta ^{2})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle A(x)}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ay_{0}+2cy_{1}+2by_{2}\\by_{0}+ay_{1}+2cy_{2}\\cy_{0}+by_{1}+ay_{2}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle A(x)={\begin{bmatrix}a&2c&2b\\b&a&2c\\c&b&a\end{bmatrix}}}$$

Характеристики

По определению, стандартные свойства следов и определителей матриц переносятся на Tr и N: Tr( x ) является линейной функцией от x , что выражается формулой Tr( x + y ) = Tr( x ) + Tr( y ) , Tr ( λx ) = λ Tr( x ) , а норма является мультипликативной однородной функцией степени n : N( xy ) = N( x ) N( y ) , N( λx ) = λ ⁿ N( x ) . Здесь λ — рациональное число, а x , y — любые два элемента числа . ${\displaystyle K}$

Полученная форма следа представляет собой билинейную форму , определяемую посредством следа, как

$${\displaystyle Tr_{K/L}:K\otimes _{L}K\to L}$$

$${\displaystyle Tr_{K/L}(x\otimes y)=Tr_{K/L}(x\cdot y)}$$

${\displaystyle {\text{Tr}}_{K/L}(x)}$форма следасимметричная матрицаb ₁bn _–.какt ${\displaystyle t_{ij}={\text{Tr}}_{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Матрица, связанная с элементом x , также может использоваться для получения других эквивалентных описаний целых алгебраических чисел. Элемент x является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда характеристический многочлен p _A матрицы A , связанный с x , является моническим многочленом с целыми коэффициентами. Предположим, что матрица A , представляющая элемент x, имеет целочисленные элементы в некотором базисе e . По теореме Кэли-Гамильтона p _A ( A ) = 0 , из чего следует, что p _A ( x ) = 0, так что x является целым алгебраическим числом. И наоборот, если x является элементом , который является корнем монического многочлена с целыми коэффициентами, то то же самое свойство справедливо для соответствующей матрицы A . В этом случае можно доказать, что A — целочисленная матрица в подходящем базисе . Свойство быть целым алгебраическим числом определяется способом , который не зависит от выбора базиса в . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Пример с интегральным базисом

Рассмотрим , где x удовлетворяет x ³ − 11 x ² + x + 1 = 0 . Тогда целочисленный базис равен [1, x , 1/2( x ²  + 1)], а соответствующая интегральная форма следа равна ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x)}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&11&61\\11&119&653\\61&653&3589\end{bmatrix}}.}$$

«3» в верхнем левом углу этой матрицы — это след матрицы отображения, определяемой первым базисным элементом (1) в регулярном представлении on . Этот базисный элемент индуцирует тождественную карту в трехмерном векторном пространстве . След матрицы тождественного отображения в трехмерном векторном пространстве равен 3. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Определителем этого является 1304 = 2 ³ ·163 , дискриминант поля; для сравнения корневой дискриминант или дискриминант многочлена равен 5216 = 2 ⁵ ·163 .

Места

Математики девятнадцатого века считали алгебраические числа разновидностью комплексных чисел. ^{[4] [5]} Эта ситуация изменилась с открытием Хензелем p-адических чисел в 1897 году ; и теперь стандартно рассматривать все возможные вложения числового поля в его различные топологические дополнения одновременно. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

Место числового поля – это класс эквивалентности абсолютных значений по ^{[6] стр. 9} . По сути, абсолютное значение — это понятие измерения размера элементов . Две такие абсолютные величины считаются эквивалентными, если они порождают одно и то же понятие малости (или близости). Отношение эквивалентности между абсолютными значениями задается некоторыми такими, что ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{0}\sim |\cdot |_{1}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{>0}}$

$${\displaystyle |\cdot |_{0}=|\cdot |_{1}^{\lambda }}$$

${\displaystyle |\cdot |_{1}}$ ${\displaystyle \lambda }$

В целом типы мест делятся на три режима. Во-первых (и по большей части несущественно), тривиальное абсолютное значение | | ₀ , который принимает значение для всех ненулевых значений . Второй и третий классы — это архимедовы места и неархимедовы (или ультраметрические) места . Пополнение по месту в обоих случаях задается взятием последовательностей Коши и разделением нулевых последовательностей , то есть таких последовательностей, что ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

$${\displaystyle |x_{n}|_{\mathfrak {p}}\to 0}$$

,. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

Для возникают следующие нетривиальные нормы ( теорема Островского ): (обычное) абсолютное значение , иногда обозначаемое , которое порождает полное топологическое поле действительных чисел . С другой стороны, для любого простого числа p - адическое абсолютное значение определяется формулой ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$

| д | _p = p ^{− n} , где q = p ⁿ a / b и a и b — целые числа, не делящиеся на p .

Он используется для построения -адических чисел . В отличие от обычного абсолютного значения, p -адическое абсолютное значение становится меньше , когда q умножается на p , что приводит к совершенно иному поведению по сравнению с . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Обратите внимание, что обычно рассматривается общая ситуация: берется числовое поле и рассматривается простой идеал для связанного с ним кольца алгебраических чисел . Тогда появится уникальное место, называемое неархимедовым местом. Кроме того, для каждого вложения найдется место, называемое архимедовым местом, обозначаемое . Это утверждение представляет собой теорему, также называемую теоремой Островского . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\sigma }:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

Примеры

Поле где является фиксированным корнем шестой степени из единицы представляет собой богатый пример для построения явных действительных и комплексных архимедовых вложений, а также неархимедовых вложений ^{[6] , стр. 15-16} . ${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{6}-2)=\mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \theta =\zeta {\sqrt[{6}]{2}}}$ ${\displaystyle \zeta }$

Архимедовы места

Здесь мы используем стандартные обозначения и для количества используемых вещественных и комплексных вложений соответственно (см. ниже). ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

Вычисление архимедовых мест числового поля осуществляется следующим образом: пусть – примитивный элемент из , с минимальным полиномом (над ). Over , вообще говоря, больше не будет неприводимым, но его неприводимые (действительные) факторы имеют либо степень один, либо второй. Поскольку нет повторяющихся корней, нет и повторяющихся множителей. Корни факторов первой степени обязательно вещественны, и замена на дает вложение в ; число таких вложений равно числу действительных корней . Ограничение стандартного абсолютного значения на дает архимедово абсолютное значение на ; такое абсолютное значение также называется реальным местом . С другой стороны, корни факторов второй степени представляют собой пары сопряженных комплексных чисел, что допускает два сопряженных вложения в . Любое из этих вложений можно использовать для определения абсолютного значения на , которое одинаково для обоих вложений, поскольку они сопряжены. Эта абсолютная величина называется комплексным местом . ^{[7] [8]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Если все приведенные выше корни вещественны (соответственно комплексны) или, что то же самое, любое возможное вложение действительно вынуждено находиться внутри (соответственно ), называется полностью вещественным (соответственно полностью комплексным ). ^{[9] [10]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K}$

Неархимедовы или ультраметрические места.

Чтобы найти неархимедовы места, пусть опять поступит так, как указано выше. В , разбивается на факторы различной степени, ни один из которых не повторяется, и степени которых в сумме составляют , степень . Для каждого из этих -адически неприводимых факторов мы можем предположить, что оно удовлетворяет , и получить вложение в алгебраическое расширение конечной степени над . Такое локальное поле во многом ведет себя как числовое поле, и -адические числа могут аналогичным образом играть роль рациональных чисел; в частности, мы можем определить норму и трассировку точно таким же образом, теперь давая функции, отображаемые на . Используя эту карту -адической нормы для места , мы можем определить абсолютное значение, соответствующее заданному -адически неприводимому коэффициенту степени посредством ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N_{f_{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle |y|_{f_{i}}=|N_{f_{i}}(y)|_{p}^{1/m}}$$

ультраметрическим. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$

Для любого ультраметрического места v имеем | х | _v ≤ 1 для любого x из , поскольку минимальный многочлен для x имеет целые множители и, следовательно, его p -адическая факторизация имеет множители из Z _p . Следовательно, нормой (постоянным термином) для каждого фактора является p -адическое целое число, и одно из них является целым числом, используемым для определения абсолютного значения v . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Основные идеалы в ОК

Для ультраметрического места v подмножество, определенное | х | _v < 1 является идеалом . Это зависит от ультраметричности v : учитывая x и y в , то ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

| х + у | _v ≤ max (| x | _v , |y| _v ) < 1.

На самом деле, это даже главный идеал . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

И наоборот, учитывая простой идеал , дискретная оценка может быть определена, установив , где n - наибольшее целое число, такое что , n -кратная степень идеала. Эту оценку можно превратить в ультраметрическое место. При этом соответствии (классы эквивалентности) ультраметрических мест соответствуют простым идеалам . Для это возвращает теорему Островского: любой простой идеал в Z (который обязательно является одним простым числом) соответствует неархимедову месту и наоборот. Однако для более общих числовых полей ситуация становится более сложной, как будет объяснено ниже. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=n}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$

Еще один эквивалентный способ описания ультраметрических мест — посредством локализации . Учитывая ультраметрическое место в числовом поле , соответствующая локализация является подкольцом всех элементов таких, что |  х  | _v ≤ 1. По свойству ультраметрики является кольцом. Более того, он содержит . Для каждого элемента x из , по крайней мере, один из x или x ^-1 содержится в . В действительности, поскольку можно показать, что K ^× / T ^× изоморфно целым числам, оно является кольцом дискретного нормирования , в частности локальным кольцом . На самом деле, это всего лишь локализация в простом идеале , т.е. Обратно, – максимальный идеал . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle T={\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle T}$

В целом существует трехсторонняя эквивалентность между ультраметрическими абсолютными значениями, простыми идеалами и локализациями в числовом поле.

Лежа над теоремой и местами

Некоторые из основных теорем в теории алгебраических чисел — это теоремы о возрастании и нисхождении , которые описывают поведение некоторого простого идеала , когда он расширяется до идеала для некоторого расширения поля . Мы говорим, что идеал лежит в том случае, если . Тогда одно из воплощений теоремы утверждает, что простой идеал лежит над , следовательно, всегда существует сюръективное отображение. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\cap {\mathcal {O}}_{K}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

$${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$$

.,,.^{[6], стр. 13}. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

$${\displaystyle K={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}}$$

,. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle X\in K}$ ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}\\&={\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{Q(X)}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle Q(X)\in \mathbb {Q} _{p}[X]}$

$${\displaystyle Q(X)=\prod _{v|p}Q_{v}}$$

леммы Гензеля ^{[11], стр. 129-131}

$${\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&\cong {\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{\prod _{v|p}Q_{v}(X)}}\\&\cong \bigoplus _{v|p}K_{v}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}i_{v}:&K\to K_{v}\\&\theta \mapsto \theta _{v}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \theta _{v}}$ ${\displaystyle Q_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}=\mathbb {Q} _{p}(\theta _{v})}$

$${\displaystyle K_{v}=i_{v}(K)\mathbb {Q} _{p}}$$

). ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Разветвление

Схематическое изображение ветвления: волокна почти всех точек Y ниже состоят из трех точек, за исключением двух точек Y , отмеченных точками, где волокна состоят из одной и двух точек (отмечены черным) соответственно. Говорят, что отображение f разветвлено в этих точках Y .

Ветвление , вообще говоря, описывает геометрическое явление, которое может возникнуть с отображениями, имеющими конечную к единице (т. е. такими отображениями, что прообразы всех точек y в Y состоят только из конечного числа точек): мощность слоев f ⁻¹ ( y ) обычно будет иметь одинаковое количество точек, но случается, что в особых точках y это число падает. Например, карта ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,z\mapsto z^{n}}$

имеет n точек в каждом слое над t , а именно n (комплексных) корней t , за исключением t = 0 , где слой состоит только из одного элемента, z = 0. Говорят, что отображение «разветвлено» в нуле. Это пример разветвленного накрытия римановых поверхностей . Эта интуиция также служит для определения ветвления в алгебраической теории чисел . Учитывая (обязательно конечное) расширение числовых полей , простой идеал p порождает идеал pO _K поля . Этот идеал может быть или не быть простым идеалом, но, согласно теореме Ласкера – Нётер (см. Выше), всегда определяется выражением ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

pO знак равно q 1 е 1 q 2 е 2 ⋯ q м е м ${\displaystyle K}$

с однозначно определенными простыми идеалами q _i и числами (называемыми индексами ветвления) e _i . Когда один индекс ветвления больше единицы, говорят, что простое число p разветвляется в . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$

Связь этого определения с геометрической ситуацией обеспечивает карта спектров колец . Фактически неразветвленные морфизмы схем алгебраической геометрии являются прямым обобщением неразветвленных расширений числовых полей. ${\displaystyle \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\to \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{L}}$

Ветвление является чисто локальным свойством, т. е. зависит только от пополнений вокруг простых чисел p и q _i . Группа инерции измеряет разницу между локальными группами Галуа в каком-то месте и группами Галуа вовлеченных конечных полей вычетов.

Пример

Следующий пример иллюстрирует введенные выше понятия. Чтобы вычислить индекс ветвления , где ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$

ж ( Икс ) знак равно Икс ³ - Икс - 1 знак равно 0,

в 23 достаточно рассмотреть расширение поля . До 529 = 23 ² (т.е. по модулю 529) f можно разложить как ${\displaystyle \mathbb {Q} _{23}(x)/\mathbb {Q} _{23}}$

ж ( Икс ) знак равно ( Икс + 181)( Икс ² - 181 Икс - 38) знак равно gh .

Подстановка x = y + 10 в первый множитель g по модулю 529 дает y + 191, поэтому оценка |  й  | _g для y , заданного g, является | −191 | ₂₃ = 1. С другой стороны, та же замена в h дает y ² − 161 y − 161 по модулю 529. Поскольку 161 = 7 × 23,

${\displaystyle \left\vert y\right\vert _{h}={\sqrt {\left\vert 161\right\vert }}_{23}={\frac {1}{\sqrt {23}}}}$

Поскольку возможные значения абсолютного значения места, определяемого коэффициентом h , не ограничиваются целыми степенями 23, а представляют собой целые степени квадратного корня из 23, индекс ветвления расширения поля в 23 равен двум.

Оценки любого элемента можно вычислить таким образом, используя результирующие . Если, например, y = x ² - x - 1, использование результата для исключения x между этим соотношением и f = x ³ - x - 1 = 0 дает y ³ - 5 y ² + 4 y - 1 = 0 . Если вместо этого мы исключим факторы g и h из f , мы получим соответствующие факторы для полинома для y , а затем 23-адическая оценка, примененная к постоянному (нормальному) члену, позволяет нам вычислить оценки y для g и h (которые в данном случае равны 1). ${\displaystyle K}$

Дискриминантная теорема Дедекинда

Большая часть значения дискриминанта заключается в том, что разветвленные ультраметрические места - это все места, полученные в результате факторизации, в которой p делит дискриминант. Это верно даже в отношении полиномиального дискриминанта; однако верно и обратное: если простое число p делит дискриминант, то существует p -место, которое разветвляется. Для этого обращения необходим дискриминант поля. Это дискриминантная теорема Дедекинда . В приведенном выше примере дискриминант числового поля с x ³  −  x  − 1 = 0 равен −23, и, как мы видели, 23-адическое место разветвляется. Дискриминант Дедекинда говорит нам, что это единственное ультраметрическое место, которое это делает. Другое разветвленное место связано с абсолютным значением сложного вложения . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle K}$

Группы Галуа и когомологии Галуа

Обычно в абстрактной алгебре расширения полей K / L можно изучать, исследуя группу Галуа Gal( K / L ), состоящую из полевых автоморфизмов, оставляющих поэлементно фиксированными. Например, группа Галуа расширения кругового поля степени n (см. выше) определяется как ( Z / n Z ) ^× , группа обратимых элементов в Z / n Z . Это первый шаг к теории Ивасавы . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$

Чтобы включить все возможные расширения, обладающие определенными свойствами, концепция группы Галуа обычно применяется к (бесконечному) расширению поля K / K алгебраического замыкания , что приводит к абсолютной группе Галуа G  := Gal( K / K ) или просто Gal( K ) и расширению . Фундаментальная теорема теории Галуа связывает промежуточные поля , их алгебраическое замыкание и замкнутые подгруппы в Gal( K ). Например, абелианизация (наибольший абелев фактор) G ^ab группы G соответствует полю, называемому максимальным абелевым расширением K ^ab (называемым так, поскольку любое дальнейшее расширение не является абелевым, т. е. не имеет абелевой группы Галуа). По теореме Кронекера-Вебера максимальное абелева расширение — это расширение, порожденное всеми корнями из единицы . Для более общих числовых полей теория полей классов , в частности, закон взаимности Артина, дает ответ, описывая G ^ab в терминах группы классов иделей . Также следует отметить поле класса Гильберта , максимальное абелевое неразветвленное расширение поля . Можно показать, что он конечен над , его группа Галуа над изоморфна группе классов , в частности, ее степень равна номеру класса h ( см. выше). ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

В определенных ситуациях группа Галуа действует на другие математические объекты, например на группу. Такую группу тогда также называют модулем Галуа. Это позволяет использовать групповые когомологии для группы Галуа Gal( K ), также известной как когомологии Галуа , которая в первую очередь измеряет неточность принятия Gal( K )-инвариантов, но предлагает более глубокое понимание (и вопросы), как хорошо. Например, группа Галуа G расширения поля L / K действует на L ^× , ненулевых элементах L. Этот модуль Галуа играет значительную роль во многих арифметических двойственностях , таких как двойственность Пуату-Тейта . Группа Брауэра , первоначально задуманная для классификации тел алгебры над , может быть преобразована в группу когомологий, а именно H ² (Gal ( K , K ^× )). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Локально-глобальный принцип

Вообще говоря, термин «от локального к глобальному» относится к идее, что глобальная проблема сначала решается на локальном уровне, что приводит к упрощению вопросов. Затем, конечно, информацию, полученную в ходе локального анализа, необходимо объединить, чтобы получить некое глобальное утверждение. Например, понятие пучков воплощает эту идею в топологии и геометрии .

Локальные и глобальные поля

Числовые поля имеют большое сходство с другим классом полей, широко используемых в алгебраической геометрии , известным как функциональные поля алгебраических кривых над конечными полями . Примером может служить Kp ₍ T ) . Они во многом схожи, например, в том, что числовые кольца являются одномерными регулярными кольцами, как и координатные кольца (поля частных которых являются рассматриваемыми функциональными полями) кривых. Поэтому оба типа полей называются глобальными полями . В соответствии с изложенной выше философией их можно сначала изучить на местном уровне, то есть, рассматривая соответствующие локальные поля . Для числовых полей локальные поля — это пополнения во всех местах, включая архимедовы (см. локальный анализ ). Для функциональных полей локальные поля являются пополнениями локальных колец во всех точках кривой функциональных полей. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Многие результаты, действительные для функциональных полей, также справедливы, по крайней мере, если их правильно переформулировать, и для числовых полей. Однако изучение числовых полей часто сопряжено с трудностями и явлениями, не встречающимися в функциональных полях. Например, в функциональных полях нет дихотомии на неархимедовы и архимедовы места. Тем не менее, функциональные поля часто служат источником интуитивного понимания того, чего следует ожидать в случае числового поля.

Принцип Хассе

Прототипический вопрос, поставленный на глобальном уровне, заключается в том, имеет ли некоторое полиномиальное уравнение решение в . Если это так, то это решение также является решением во всех пополнениях. Локально -глобальный принцип или принцип Хассе утверждает, что для квадратных уравнений справедливо и обратное. Таким образом, проверить, имеет ли такое уравнение решение, можно на всех пополнениях , что зачастую проще, поскольку аналитические методы (классические аналитические инструменты, такие как теорема о промежуточном значении в архимедовых местах и ​​p-адический анализ в неархимедовых местах) может быть использован. Однако это импликация не справедлива для более общих типов уравнений. Однако идея перехода от локальных данных к глобальным оказывается плодотворной, например, в теории полей классов, где локальная теория полей классов используется для получения упомянутых выше глобальных идей. Это связано также с тем, что группы Галуа пополнений K _v могут быть определены явно, тогда как группы Галуа даже глобальных полей изучены гораздо меньше. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Адели и идели

Чтобы собрать локальные данные, относящиеся ко всем локальным полям, прикрепленным к , устанавливается кольцо адели . Мультипликативный вариант называется ideles . ${\displaystyle K}$

Смотрите также

Обобщения

• Поле алгебраической функции

Алгебраическая теория чисел

• Теорема Дирихле о единице , S-единица
• Расширение Куммера
• Теорема Минковского , Геометрия чисел
• Теорема плотности Чеботарева

Теория полей классов

• Группа Рэя
• Группа разложения
• Поле рода

Примечания

1. Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1998), Классическое введение в современную теорию чисел , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97329-6, Ч. 1,4
2. Блох, Спенсер; Като, Казуя (1990), « L -функции и числа мотивов Тамагавы», The Grothendieck Festschrift, Vol. Я , прогр. Матем., вып. 86, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 333–400, MR  1086888.
3. Наркевич 2004, §2.2.6
4. Кляйнер, Израиль (1999), «Теория поля: от уравнений к аксиоматизации. I», The American Mathematical Monthly , 106 (7): 677–684, doi : 10.2307/2589500, JSTOR  2589500, MR  1720431, Дедекинду, затем , поля представляли собой подмножества комплексных чисел.
5. Мак Лейн, Сондерс (1981), «Математические модели: очерк философии математики», The American Mathematical Monthly , 88 (7): 462–472, doi : 10.2307/2321751, JSTOR  2321751, MR  0628015, Возник эмпиризм от взгляда XIX века на математику как на почти одновременную с теоретической физикой.
6. Гра, Жорж (2003). Теория полей классов: от теории к практике. Берлин. ISBN 978-3-662-11323-3. ОСЛК  883382066.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Кон, Глава 11 §C с. 108
8. Конрад
9. Кон, Глава 11 §C с. 108
10. Конрад
11. Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0. ОСЛК  851391469.

Рекомендации

• Кон, Харви (1988), Классическое приглашение к алгебраическим числам и полям классов , Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Кейт Конрад, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf
• Януш, Джеральд Дж. (1996), Поля алгебраических чисел (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0429-2
• Хельмут Хассе, Теория чисел , Springer Classics в серии по математике (2002)
• Серж Ланг , Алгебраическая теория чисел , второе издание, Springer, 2000 г.
• Ричард А. Моллин, Алгебраическая теория чисел , CRC, 1999 г.
• Рэм Мурти, Проблемы алгебраической теории чисел , второе издание, Springer, 2005 г.
• Наркевич, Владислав (2004), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел , Монографии Springer по математике (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-21902-6, МР  2078267
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65399-8, МР  1697859, Збл  0956.11021
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-66671-4, МР  1737196, Збл  1136.11001
• Андре Вейль , Основная теория чисел , третье издание, Springer, 1995 г.