Класс сопряженности

В теории групп класс эквивалентности по отношению сопряжения

Два графа Кэли диэдральных групп с классами сопряженности, различающимися по цвету.

В математике , особенно в теории групп , два элемента и группы сопряжены , если в группе есть элемент такой, что Это отношение эквивалентности , классы эквивалентности которого называются классами сопряженности . Другими словами , каждый класс сопряженности замкнут относительно для всех элементов в группе. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b=gag^{-1}.}$ ${\displaystyle b=gag^{-1}}$ ${\displaystyle g}$

Члены одного и того же класса сопряженности не могут быть различены с использованием только структуры группы, и поэтому имеют много общих свойств. Изучение классов сопряженности неабелевых групп является основополагающим для изучения их структуры. ^{[1] [2]} Для абелевой группы каждый класс сопряженности представляет собой множество , содержащее один элемент ( синглтон-множество ).

Функции , которые являются постоянными для членов одного и того же класса сопряженности, называются функциями класса .

Определение

Пусть будет группой. Два элемента сопряжены , если существует элемент такой, что в этом случае называется сопряженным и называется сопряженным ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle gag^{-1}=b,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$

В случае общей линейной группы обратимых матриц отношение сопряженности называется подобием матриц . ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$

Можно легко показать, что сопряженность является отношением эквивалентности и, следовательно, разбивается на классы эквивалентности. (Это означает, что каждый элемент группы принадлежит ровно одному классу сопряженности, а классы и равны тогда и только тогда, когда и сопряжены, и не пересекаются в противном случае.) Класс эквивалентности, содержащий элемент , называется классом сопряженности ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\in G}$ $${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}}$$ ${\displaystyle a.}$номер класса —это число различных (неэквивалентных) классов сопряженности. Все элементы, принадлежащие одному и тому же классу сопряженности, имеют одинаковыйпорядок. ${\displaystyle G}$

Классы сопряженности можно обозначать, описывая их, или, короче, используя сокращения, например, «6A», что означает «определенный класс сопряженности с элементами порядка 6», а «6B» будет другим классом сопряженности с элементами порядка 6; класс сопряженности 1A — это класс сопряженности тождества, имеющего порядок 1. В некоторых случаях классы сопряженности можно описать единообразно; например, в симметрической группе их можно описать типом цикла .

Примеры

Симметрическая группа, состоящая из 6 перестановок трех элементов, имеет три класса сопряженности: ${\displaystyle S_{3},}$

1. Никаких изменений . Единственный член имеет порядок 1. ${\displaystyle (abc\to abc)}$
2. Транспонирование двух . Все 3 члена имеют порядок 2. ${\displaystyle (abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)}$
3. Циклическая перестановка всех трех . Оба члена имеют порядок 3. ${\displaystyle (abc\to bca,abc\to cab)}$

Эти три класса также соответствуют классификации изометрий равностороннего треугольника .

Таблица, показывающая все пары с (сравните пронумерованный список ) . Каждая строка содержит все элементы класса сопряженности , а каждый столбец содержит все элементы ${\displaystyle bab^{-1}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a,b\in S_{4}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle S_{4}.}$

Симметрическая группа S 4 , {\displaystyle S_{4},} состоящая из 24 перестановок четырех элементов, имеет пять классов сопряженности, перечисленных с их описанием, типом цикла , порядком членов и членами:

1. Никаких изменений. Тип цикла = [1 ⁴ ]. Порядок = 1. Члены = { (1, 2, 3, 4) }. Единственная строка, содержащая этот класс сопряженности, показана в виде ряда черных кружков в соседней таблице.
2. Перестановка двух (другие два остаются неизменными). Тип цикла = [1 ² 2 ¹ ]. Порядок = 2. Члены = { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены зеленым цветом в соседней таблице.
3. Циклическая перестановка трех (другой остается неизменным). Тип цикла = [1 ¹ 3 ¹ ]. Порядок = 3. Члены = { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }). 8 строк, содержащих этот класс сопряженности, показаны с обычной печатью (без жирного шрифта или выделения цветом) в соседней таблице.
4. Циклическая перестановка всех четырех. Тип цикла = [4 ¹ ]. Порядок = 4. Члены = { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены оранжевым цветом в соседней таблице.
5. Перестановка двух, а также двух других. Тип цикла = [2 ² ]. Порядок = 2. Члены = { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }). 3 строки, содержащие этот класс сопряженности, показаны жирным шрифтом в соседней таблице.

Собственные вращения куба , которые можно охарактеризовать перестановками диагоналей тела, также описываются сопряжением в ${\displaystyle S_{4}.}$

В общем случае число классов сопряженности в симметрической группе ${\displaystyle S_{n}}$ равно числу целочисленных разбиений Это происходит потому, что каждому классу сопряженности соответствует ровно одно разбиение на циклы , с точностью до перестановки элементов ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

В общем случае евклидову группу можно изучать путем сопряжения изометрий в евклидовом пространстве .

Пример

Пусть Г = ${\displaystyle S_{3}}$

а = ( 2 3 )

х = ( 1 2 3 )

х ^-1 = ( 3 2 1 )

Тогда хах ^-1

знак равно ( 1 2 3 ) ( 2 3 ) ( 3 2 1 ) знак равно ( 3 1 )

= ( 3 1 ) является сопряженным числом ( 2 3 )

Характеристики

• Элемент идентичности всегда является единственным элементом в своем классе, т.е. ${\displaystyle \operatorname {Cl} (e)=\{e\}.}$
• Если является абелевым , то для всех , т.е. для всех (и обратное также верно: если все классы сопряженности являются синглетонами, то является абелевым). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gag^{-1}=a}$ ${\displaystyle a,g\in G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\{a\}}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle G}$
• Если два элемента принадлежат к одному и тому же классу сопряженности (то есть, если они сопряжены), то они имеют одинаковый порядок . В более общем смысле, каждое утверждение о может быть переведено в утверждение о , поскольку отображение является автоморфизмом , называемым внутренним автоморфизмом . См. следующее свойство для примера. ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b=gag^{-1},}$ ${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1}}$ ${\displaystyle G}$
• Если и сопряжены, то сопряжены и их степени (Доказательство: если то ) Таким образом, взятие k- х степеней дает отображение на классах сопряженности, и можно рассмотреть, какие классы сопряженности находятся в его прообразе. Например, в симметрической группе квадрат элемента типа (3)(2) (3-цикл и 2-цикл) является элементом типа (3), поэтому одним из классов усиления (3) является класс (3)(2) (где — класс усиления ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{k}}$ ${\displaystyle b^{k}.}$ ${\displaystyle a=gbg^{-1}}$ ${\displaystyle a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{k}}$
• Элемент лежит в центре тогда и только тогда, когда его класс сопряженности имеет только один элемент, он сам. В более общем случае, если обозначает централизатор т.е. подгруппу, состоящую из всех элементов, таких что тогда индекс равен числу элементов в классе сопряженности (по теореме о стабилизаторе орбиты ). ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle ga=ag,}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$ ${\displaystyle a}$
• Возьмем и пусть будут различными целыми числами, которые появляются как длины циклов в циклическом типе (включая 1-циклы). Пусть будет числом циклов длины в для каждого (так что ). Тогда число сопряженных чисел равно: ^[1] ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s}$ ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle {\frac {n!}{\left(k_{1}!m_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!m_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{s}!m_{s}^{k_{s}}\right)}}.}$$

Сопряженность как групповое действие

Для любых двух элементов пусть Это определяет групповое действие на Орбиты этого действия являются классами сопряженности, а стабилизатор данного элемента является централизатором элемента . ^[3 ] ${\displaystyle g,x\in G,}$ $${\displaystyle g\cdot x:=gxg^{-1}.}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

Аналогично мы можем определить групповое действие на множестве всех подмножеств , записав или на множестве подгрупп ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ $${\displaystyle g\cdot S:=gSg^{-1},}$$ ${\displaystyle G.}$

Уравнение класса сопряженности

Если — конечная группа , то для любого элемента группы элементы в классе сопряженности находятся во взаимно однозначном соответствии с смежными классами централизатора Это можно увидеть, заметив, что любые два элемента и принадлежащие одному и тому же смежному классу (и, следовательно, для некоторых в централизаторе ) порождают один и тот же элемент при сопряжении : Это также можно увидеть из теоремы о стабилизаторе орбиты , если рассматривать группу как действующую на себя посредством сопряжения, так что орбиты являются классами сопряженности, а подгруппы стабилизатора являются централизаторами. Обратное также верно. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a).}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b=cz}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle bab^{-1}=cza(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}.}$$

Таким образом, число элементов в классе сопряженности является индексом централизатора в ; следовательно, размер каждого класса сопряженности делит порядок группы. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ ${\displaystyle G}$

Более того, если мы выберем один представительный элемент из каждого класса сопряженности, то из непересекаемости классов сопряженности мы выводим, что где — централизатор элемента. Замечание о том, что каждый элемент центра образует класс сопряженности, содержащий только себя, приводит к уравнению класса : ^[4] где сумма берется по представительному элементу из каждого класса сопряженности, который не находится в центре. ${\displaystyle x_{i}}$ $${\displaystyle |G|=\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ $${\displaystyle |G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$$

Знание делителей порядка группы часто можно использовать для получения информации о порядке центра или классов сопряженности. ${\displaystyle |G|}$

Пример

Рассмотрим конечную -группу (то есть группу с порядком, где — простое число и ). Мы собираемся доказать, что каждая конечная -группа имеет нетривиальный центр . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{n},}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle p}$

Так как порядок любого класса сопряженности должен делить порядок из этого следует, что каждый класс сопряженности , который не находится в центре, также имеет порядок некоторой степени , где Но тогда уравнение класса требует, чтобы Из этого мы видим, что должен делить, поэтому ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle p^{k_{i}},}$ ${\displaystyle 0<k_{i}<n.}$ ${\textstyle |G|=p^{n}=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}p^{k_{i}}.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |{\operatorname {Z} (G)}|,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1.}$

В частности, когда то — абелева группа, поскольку любой нетривиальный элемент группы имеет порядок или Если некоторый элемент из имеет порядок то изоморфна циклической группе порядка следовательно абелева. С другой стороны, если каждый нетривиальный элемент из имеет порядок следовательно по заключению выше то или Нам нужно рассмотреть только случай, когда то есть элемент из , который не находится в центре Примечание , который включает и центр , который не содержит , но по крайней мере элементов. Следовательно, порядок строго больше, чем , поэтому является элементом центра противоречия. Следовательно, является абелевой и фактически изоморфна прямому произведению двух циклических групп, каждая из которых имеет порядок ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{2},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{2},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1,}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1}$ ${\displaystyle p^{2}.}$ ${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \left|\operatorname {C} _{G}(b)\right|=p^{2},}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p.}$

Сопряженность подгрупп и общих подмножеств

В более общем случае, если задано любое подмножество ( не обязательно подгруппа), определите подмножество , которое будет сопряжено, если существует такое , что Пусть будет множеством всех подмножеств, таких, что сопряжено с ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle T=gSg^{-1}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$ ${\displaystyle T\subseteq G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S.}$

Часто используемая теорема заключается в том, что для любого подмножества индекс ( нормализатора ) равен мощности : ${\displaystyle S\subseteq G,}$ ${\displaystyle \operatorname {N} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$

${\displaystyle |\operatorname {Cl} (S)|=[G:N(S)].}$

Это следует из того, что если, то тогда и только тогда, когда, другими словами, тогда и только тогда, когда находятся в одном и том же смежном классе ${\displaystyle g,h\in G,}$ ${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$ ${\displaystyle g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),}$ ${\displaystyle g{\text{ and }}h}$ ${\displaystyle \operatorname {N} (S).}$

Используя эту формулу, мы обобщаем приведенную ранее формулу для числа элементов в классе сопряженности. ${\displaystyle S=\{a\},}$

Вышеизложенное особенно полезно, когда речь идет о подгруппах Подгруппы, таким образом, можно разделить на классы сопряженности, причем две подгруппы принадлежат одному и тому же классу тогда и только тогда, когда они сопряжены. Сопряженные подгруппы изоморфны , но изоморфные подгруппы не обязаны быть сопряженными. Например, абелева группа может иметь две различные подгруппы, которые изоморфны, но они никогда не сопряжены. ${\displaystyle G.}$

Геометрическая интерпретация

Классы сопряженности в фундаментальной группе линейно связного топологического пространства можно рассматривать как классы эквивалентности свободных петель относительно свободной гомотопии.

Класс сопряженности и неприводимые представления в конечной группе

В любой конечной группе число неизоморфных неприводимых представлений над комплексными числами в точности равно числу классов сопряженности.

Смотрите также

• Топологическая сопряженность  – Понятие в топологии
• FC-group  – Группа в теории групп математики
• Подгруппа с замкнутой конъюгацией

Примечания

1. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
2. Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
3. Грийе (2007), стр. 56
4. Грийе (2007), стр. 57

Ссылки

• Grillet, Pierre Antoine (2007). Абстрактная алгебра . Выпускные тексты по математике. Т. 242 (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-71567-4.

Внешние ссылки

• «Сопряженные элементы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]