Управляемые ворота НЕ

Квантовый логический вентиль

Классическим аналогом вентиля CNOT является обратимый вентиль XOR .

Как можно использовать вентиль CNOT (с вентилями Адамара ) в вычислениях.

В информатике управляемый вентиль НЕ (также C-NOT или CNOT ), вентиль управляемого X , вентиль управляемого переворота битов , вентиль Фейнмана или управляемый вентиль Паули-X — это квантовый логический вентиль , который является важным компонентом в конструкции квантовый компьютер на основе вентилей . Его можно использовать для запутывания и распутывания состояний Белла . Любую квантовую схему можно смоделировать с произвольной степенью точности, используя комбинацию вентилей CNOT и вращений одного кубита . ^{[1] [2]} Ворота иногда называют в честь Ричарда Фейнмана , который разработал первые обозначения для диаграмм квантовых вентилей в 1986 году. ^{[3] [4] [5]}

CNOT можно выразить в базисе Паули как:

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I_{1}-Z_{1})(I_{2}-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I_{1}-Z_{1})(I_{2}-X_{2})}.}$

Будучи одновременно унитарным и эрмитовым , CNOT обладает свойством и и является инволютивным . ${\displaystyle e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U}$ ${\displaystyle U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}}$

Вентиль CNOT можно дополнительно разложить на продукты вентилей оператора вращения и ровно одного вентиля взаимодействия двух кубитов , например

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}R_{y_{1}}(-\pi /2)R_{x_{1}}(-\pi /2)R_{x_{2}}(-\pi /2)R_{xx}(\pi /2)R_{y_{1}}(\pi /2).}$

В общем, любой унитарный вентиль с одним кубитом можно выразить как , где H — эрмитова матрица , а затем управляемый U — . ${\displaystyle U=e^{iH}}$ ${\displaystyle CU=e^{i{\frac {1}{2}}(I_{1}-Z_{1})H_{2}}}$

Вентиль CNOT также используется в классических обратимых вычислениях .

Операция

Вентиль CNOT работает с квантовым регистром , состоящим из двух кубитов. Вентиль CNOT переворачивает второй кубит (целевой кубит) тогда и только тогда, когда первый кубит (управляющий кубит) равен . ${\displaystyle |1\rangle }$

Если это единственные разрешенные входные значения для обоих кубитов, то выход TARGET вентиля CNOT соответствует результату классического вентиля XOR . Зафиксировав CONTROL как , выход TARGET вентиля CNOT дает результат классического вентиля NOT . ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$

В более общем смысле, входные данные могут быть линейной суперпозицией . Ворота CNOT преобразуют квантовое состояние: ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$

${\displaystyle a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle }$

в:

${\displaystyle a|00\rangle +b|01\rangle +c|11\rangle +d|10\rangle }$

Действие вентиля CNOT можно представить матрицей ( форма матрицы перестановок ):

${\displaystyle \operatorname {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

Первая экспериментальная реализация затвора CNOT была осуществлена ​​в 1995 году. Здесь использовался одиночный ион бериллия в ловушке . Два кубита были закодированы в оптическое состояние и в колебательное состояние иона внутри ловушки. На момент эксперимента надежность работы CNOT составила порядка 90%. ^[6]

В дополнение к обычному управляемому вентилю НЕ можно построить управляемый функцией вентиль НЕ, который принимает на вход произвольное число n +1 кубитов, где n +1 больше или равно 2 ( квантовый регистр ). Этот вентиль переворачивает последний кубит регистра тогда и только тогда, когда встроенная функция с первыми n кубитами на входе возвращает 1. Управляемый функцией вентиль НЕ является важным элементом алгоритма Дойча-Йожсы .

Поведение в преобразованном Адамаре базисе

Если рассматривать только вычислительную основу , поведение C _NOT похоже на эквивалентный классический вентиль. Однако простота обозначения одного кубита как управляющего , а другого как целевого не отражает сложности того, что происходит с большинством входных значений обоих кубитов. ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$

Вентиль CNOT в преобразованной базе Адамара.

Понимание можно получить, выражая вентиль CNOT относительно преобразованного Адамаром базиса . Преобразованный Адамаром базис ^[a] однокубитного регистра имеет вид ${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$

${\displaystyle |+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ),\qquad |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle ),}$

и соответствующий базис 2-кубитного регистра равен

${\displaystyle |++\rangle =|+\rangle \otimes |+\rangle ={\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )\otimes (|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )}$,

и т. д. Если рассматривать CNOT в этом базисе, состояние второго кубита остается неизменным, а состояние первого кубита переворачивается в соответствии с состоянием второго бита. (Подробнее см. ниже.) «Таким образом, в этом базисе смысл того, какой бит является управляющим , а какой целевой бит изменился. Но мы вообще не изменили преобразование, а только то, как мы об этом думаем». ^[7]

«Вычислительная» основа — это собственный базис для вращения в направлении Z, тогда как базис Адамара — это собственный базис для вращения в направлении X. Переключение X и Z, а также кубитов 1 и 2 восстанавливает исходное преобразование». ^[8] Это выражает фундаментальную симметрию вентиля CNOT. ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$

Наблюдение того, что оба кубита (в равной степени) затрагиваются взаимодействием C _NOT , имеет важное значение при рассмотрении потока информации в запутанных квантовых системах. ^[9]

Детали расчета

Теперь перейдем к подробному описанию вычислений. Проходя каждое из состояний базиса Адамара, первый кубит переключается между и когда второй кубит : ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle |-\rangle }$ ${\displaystyle |-\rangle }$

Квантовую схему, которая выполняет преобразование Адамара, за которым следует C _NOT, а затем еще одно преобразование Адамара, можно описать как выполнение вентиля CNOT в базисе Адамара (т. е. смену базиса ):

( ЧАС ₁ ⊗ ЧАС ₁ ) ^-1 . С _НЕТ . (ЧАС ₁ ⊗ ЧАС ₁ )

Однокубитное преобразование Адамара H ₁ является эрмитовым и, следовательно, самообратным. Тензорное произведение двух преобразований Адамара, действующих (независимо) на два кубита, обозначается H 2 . Поэтому мы можем записать матрицы как:

Н ₂ . С _НЕТ . Ч ₂

При умножении это дает матрицу, которая меняет местами члены и , оставляя при этом члены и в покое. Это эквивалентно вентилю CNOT, где кубит 2 является управляющим кубитом, а кубит 1 — целевым кубитом: ^[b] ${\displaystyle |01\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}$$

Построение состояния колокола

Обычное применение вентиля C _NOT — максимально запутать два кубита в состояние Белла ; это является частью алгоритмов сверхплотного кодирования , квантовой телепортации и запутанной квантовой криптографии . ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

Для построения входы A (управление) и B (цель) для вентиля C _NOT : ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )_{A}}$и ${\displaystyle |0\rangle _{B}}$

После применения C _NOT полученное состояние Белла обладает тем свойством, что отдельные кубиты могут быть измерены с использованием любого базиса, и всегда будет иметь вероятность 50/50 на разрешение каждого состояния. По сути, отдельные кубиты находятся в неопределенном состоянии. Корреляция между двумя кубитами — это полное описание состояния двух кубитов; если мы оба выберем одну и ту же основу для измерения обоих кубитов и сравнения результатов, измерения будут идеально коррелировать. ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$

Если посмотреть на вычислительную основу, то окажется, что кубит A влияет на кубит B. Изменение нашей точки зрения на базис Адамара показывает, что кубит B симметрично влияет на кубит A.

Состояние входа можно альтернативно рассматривать как:

${\displaystyle |+\rangle _{A}}$и ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle +|-\rangle )_{B}}$

С точки зрения Адамара, управляющий и целевой кубиты концептуально поменялись местами, и кубит A инвертируется, когда кубит B равен . Состояние выхода после применения вентиля C _NOT можно отобразить следующим образом: ${\displaystyle |-\rangle _{B}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|++\rangle +|--\rangle )}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle _{A}|+\rangle _{B}+|-\rangle _{A}|-\rangle _{B})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|0\rangle _{A}+|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}+|1\rangle _{B})+(|0\rangle _{A}-|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}-|1\rangle _{B}))}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )+(|00\rangle -|01\rangle -|10\rangle +|11\rangle ))}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$.

Ворота C-ROT

Ворота C-ROT (управляемое вращение Раби ) эквивалентны воротам C-NOT, за исключением вращения ядерного спина вокруг оси z. ^{[10] [11]} ${\displaystyle \pi /2}$

Реализации

Квантовые компьютеры с захваченными ионами :

• Вентиль Сирака – Золлера «Управляемое НЕ»
• Ворота Мёльмер-Сёренсен

Смотрите также

• Ворота Тоффоли (ворота контролируемые-управляемые-НЕ)

Примечания

1. Обратите внимание, что это можно построить, применив вентиль Адамара к кубиту, установленному в , и аналогично для ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |-\rangle }$
2. То есть, где находится SWAP-гейт . ${\displaystyle H_{2}\cdot \operatorname {CNOT} \cdot H_{2}=\operatorname {SWAP} \cdot \operatorname {CNOT} \cdot \operatorname {SWAP} }$ ${\displaystyle \operatorname {SWAP} }$

Рекомендации

1. Баренко, Адриано; Беннетт, Чарльз Х.; Клив, Ричард; ДиВинченцо, Дэвид П.; Марголус, Норман; Шор, Питер; Слитор, Тихо; Смолин, Джон А.; Вайнфуртер, Харальд (1 ноября 1995 г.). «Элементарные вентили для квантовых вычислений». Физический обзор А. Американское физическое общество (APS). 52 (5): 3457–3467. arXiv : Quant-ph/9503016 . Бибкод : 1995PhRvA..52.3457B. дои : 10.1103/physreva.52.3457. ISSN  1050-2947. PMID  9912645. S2CID  8764584.
2. Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521632358. ОСЛК  43641333.
3. Фейнман, Ричард П. (1986). «Квантово-механические компьютеры». Основы физики . 16 (6): 507–531. Бибкод : 1986FoPh...16..507F. дои : 10.1007/BF01886518. ISSN  0015-9018. S2CID  121736387.
4. Самрин, С. Сания; Патил, Рачамма; Итаги, Сумангала; Четти, Смита С; Тасним, Афия (01 июня 2022 г.). «Проектирование логических вентилей с использованием обратимых вентилей с уменьшенной квантовой стоимостью». Труды по глобальным переходам . Международная конференция по интеллектуальному инженерному подходу (ICIEA-2022). 3 (1): 136–141. Бибкод : 2022GloTP...3..136S. дои : 10.1016/j.gltp.2022.04.011 . ISSN  2666-285X.
5. Таплиял, Химаншу; Ранганатан, Нагараджан (2009). «Разработка эффективных обратимых двоичных вычитателей на основе нового обратимого вентиля». Ежегодный симпозиум IEEE Computer Society 2009 г. по СБИС . стр. 229–234. дои : 10.1109/ISVLSI.2009.49. ISBN 978-1-4244-4408-3. S2CID  16182781.
6. Монро, К.; Микхоф, Д.; Кинг, Б.; Итано, В.; Вайнленд, Д. (1995). «Демонстрация фундаментального квантового логического элемента». Письма о физических отзывах . 75 (25): 4714–4717. Бибкод : 1995PhRvL..75.4714M. doi : 10.1103/PhysRevLett.75.4714 . ПМИД  10059979.
7. Элеонора Г. Риффель ; Вольфганг Х. Полак (4 марта 2011 г.). Квантовые вычисления: краткое введение . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. п. 80. ИСБН 978-0-262-01506-6. ОСЛК  742513505.
8. Готтесман, Дэниел (1998). С. П. Корни; Р. Дельбурго; П.Д. Джарвис (ред.). «Гейзенберговское представление квантовых компьютеров». Группа: Материалы XXII Международного коллоквиума по теоретико-групповым методам в физике . Кембридж, Массачусетс: Международная пресса. 22 (1999): 32–43. arXiv : Quant-ph/9807006 . Бибкод : 1998quant.ph..7006G.
9. Дойч, Дэвид; Хайден, Патрик (1999). «Информационный поток в запутанных квантовых системах». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 456 (1999): 1759–1774. arXiv : Quant-ph/9906007 . Бибкод : 2000RSPSA.456.1759D. дои : 10.1098/rspa.2000.0585. S2CID  13998168.
10. Чен, Почунг; Пьермарокки, К.; Шам, LJ (18 июля 2001 г.). «Управление динамикой экситонов в наноточках для квантовых операций». Письма о физических отзывах . 87 (6): 067401. arXiv : cond-mat/0102482 . Бибкод : 2001PhRvL..87f7401C. doi : 10.1103/PhysRevLett.87.067401. PMID  11497860. S2CID  9513778.
11. Пьермарокки, К.; Чен, Почунг; Шам, ЖЖ; Сталь, генеральный директор (30 сентября 2002 г.). «Оптическое РККИ-взаимодействие между заряженными полупроводниковыми квантовыми точками». Письма о физических отзывах . 89 (16): 167402. arXiv : cond-mat/0202331 . Бибкод : 2002PhRvL..89p7402P. doi : 10.1103/PhysRevLett.89.167402. PMID  12398754. S2CID  12550748.

Внешние ссылки

• Майкл Уэстморленд: «Изоляция и поток информации в квантовой динамике» - дискуссия вокруг ворот Cnot