Матрицы Паули

Матрицы, важные в квантовой механике и изучении спина

Вольфганг Паули (1900–1958), ок. 1924. Паули получил Нобелевскую премию по физике в 1945 году, выдвинутую Альбертом Эйнштейном , за принцип исключения Паули .

В математической физике и математике матрицы Паули представляют собой набор из трех комплексных матриц размера 2 × 2 , которые являются эрмитовыми , инволютивными и унитарными . Обычно обозначаются греческой буквой сигма ( σ ), иногда обозначаются тау ( τ ), когда используются в связи с симметрией изоспина .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{\mathrm {x} }&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{2}=\sigma _{\mathrm {y} }&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{3}=\sigma _{\mathrm {z} }&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Эти матрицы названы в честь физика Вольфганга Паули . В квантовой механике они встречаются в уравнении Паули , учитывающем взаимодействие спина частицы с внешним электромагнитным полем . Они также представляют состояния взаимодействия двух поляризационных фильтров для горизонтальной/вертикальной поляризации, 45-градусной поляризации (правая/левая) и круговой поляризации (правая/левая).

Каждая матрица Паули является эрмитовой , и вместе с единичной матрицей I (иногда рассматриваемой как нулевая матрица Паули σ ₀ ), матрицы Паули образуют основу для реального векторного пространства эрмитовых матриц размера 2 × 2 . Это означает, что любую эрмитову матрицу размера 2 × 2 можно единственным образом записать как линейную комбинацию матриц Паули, где все коэффициенты являются действительными числами.

Эрмитовы операторы представляют наблюдаемые в квантовой механике, поэтому матрицы Паули охватывают пространство наблюдаемых комплексного двумерного гильбертова пространства . В контексте работы Паули σ _k представляет собой наблюдаемую, соответствующую вращению вдоль k -й координатной оси в трехмерном евклидовом пространстве. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Матрицы Паули (после умножения на i , чтобы сделать их антиэрмитовыми ) также порождают преобразования в смысле алгебр Ли : матрицы iσ ₁ , iσ ₂ , iσ ₃ образуют базис вещественной алгебры Ли , которая возводится в степень до специальной унитарной группа SU(2) . ^[a] Алгебра , порожденная тремя матрицами σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ , изоморфна алгебре Клиффорда из ^[1] , а (единичная) ассоциативная алгебра, порожденная iσ 1 _, iσ 2 _, iσ 3 _, функционирует тождественно ( изоморфна ) к кватернионам ( ). ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Алгебраические свойства

Все три матрицы Паули можно сжать в одно выражение:

${\displaystyle \sigma _{j}={\begin{pmatrix}\delta _{j3}&\delta _{j1}-i\,\delta _{j2}\\\delta _{j1}+i\,\delta _{j2}&-\delta _{j3}\end{pmatrix}}}$

где решение i ² = −1 — это « мнимая единица », а δ _jk — это дельта Кронекера , которая равна +1 , если j = k , и 0 в противном случае. Это выражение полезно для «выбора» любой из матриц численно путем замены значений j = 1, 2, 3 , что, в свою очередь, полезно, когда любая из матриц (но не конкретная) должна использоваться в алгебраических манипуляциях.

Матрицы инволютивны :

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\,\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$

где I — единичная матрица .

Определителями и следами матриц Паули являются:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \sigma _{j}&~=\ -1,\\\operatorname {tr} \sigma _{j}&~=~~~\;0.\end{aligned}}}$

Отсюда мы можем сделать вывод, что каждая матрица σ _j имеет собственные значения +1 и −1.

С включением единичной матрицы I (иногда обозначаемой σ ₀ ), матрицы Паули образуют ортогональный базис (в смысле Гильберта–Шмидта ) гильбертова пространства 2 × 2 эрмитовых матриц , над , и гильбертова пространства всех комплексных матриц 2 × 2 , , над . ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Коммутационные и антикоммутационные отношения.

Коммутационные отношения

Матрицы Паули подчиняются следующим коммутационным соотношениям:

${\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},}$

где структурная константа ε _ijk представляет собой символ Леви-Чивита и используются обозначения суммирования Эйнштейна.

Эти коммутационные соотношения делают матрицы Паули генераторами представления алгебры Ли. ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )\cong {\mathfrak {su}}(2)\cong {\mathfrak {so}}(3).}$

Антикоммутационные отношения

Они также удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

${\displaystyle \{\sigma _{i},\sigma _{j}\}=2\delta _{ij}\,I,}$

где определяется как и δ _ij — дельта Кронекера . I обозначает единичную матрицу 2 × 2 . ${\displaystyle \{\sigma _{i},\sigma _{j}\}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i},}$

Эти антикоммутационные отношения делают матрицы Паули генераторами представления алгебры Клиффорда для обозначенных ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{3}(\mathbb {R} ).}$

Обычная конструкция генераторов с использованием алгебры Клиффорда восстанавливает приведенные выше коммутационные соотношения с точностью до несущественных числовых множителей. ${\textstyle \sigma _{ij}={\tfrac {1}{4}}\left[\sigma _{i},\sigma _{j}\right],}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Ниже в качестве примеров приведены несколько явных коммутаторов и антикоммутаторов:

Собственные векторы и собственные значения

Каждая из ( эрмитовых ) матриц Паули имеет два собственных значения : +1 и −1 . Соответствующие нормированные собственные векторы :

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}&{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\;,&\psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}&{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\;,\\\psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}&{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}\;,&\psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}&{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\;,\\\psi _{z+}={}&{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\;,&\psi _{z-}={}&{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Векторы Паули

Вектор Паули определяется формулой ^[b]

$${\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}_{1}+\sigma _{2}{\hat {x}}_{2}+\sigma _{3}{\hat {x}}_{3}\ ,}$$

${\displaystyle {\hat {x}}_{1}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

Вектор Паули обеспечивает механизм отображения векторного базиса в матричный базис Паули ^[2] следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=\left(a_{k}\ {\hat {x}}_{k}\right)\cdot \left(\sigma _{\ell }\ {\hat {x}}_{\ell }\right)=a_{k}\ \sigma _{\ell }\;{\hat {x}}_{k}\cdot {\hat {x}}_{\ell }\\&=a_{k}\ \sigma _{\ell }\ \delta _{k\ell }=a_{k}\ \sigma _{k}\\[4pt]&=~a_{1}\;{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~+~a_{2}\;{\begin{pmatrix}0&-i\\i&\;\;0\end{pmatrix}}~+~a_{3}\;{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~=~{\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

соглашение Эйнштейна о суммировании

Более формально это определяет отображение из в векторное пространство бесследовых эрмитовых матриц. Это отображение кодирует структуры нормированного векторного пространства и алгебры Ли (с векторным произведением в качестве скобки Ли) через функции матриц, что делает отображение изоморфизмом алгебр Ли. Это делает матрицы Паули переплетающимися с точки зрения теории представлений. ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}\ }$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}\ }$

Другой способ рассматривать вектор Паули - это эрмитовский бесследовый двойной матричный вектор, то есть элемент этого отображения . ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \ {\text{Mat}}_{2\times 2}(\mathbb {C} )\otimes (\mathbb {R} ^{3})^{*}\ }$ ${\displaystyle \ {\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}.}$

Отношение полноты

Каждый компонент можно восстановить из матрицы (см. соотношение полноты ниже). ${\displaystyle \ {\vec {a}}\ }$

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}{\vec {\sigma }}{\Bigr )}={\vec {a}}.}$$

Это представляет собой обратную карту , демонстрируя, что карта является биекцией. ${\displaystyle {\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

Определитель

Норма задается определителем (с точностью до знака минус)

$${\displaystyle \det {\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-\left|{\vec {a}}\right|^{2}.}$$

Тогда, рассматривая действие сопряжения матрицы в этом пространстве матриц, ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}:=U\;{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}~U^{-1}\ ,}$

мы находим и это эрмитово и бесследно. Тогда имеет смысл определить, где имеет ту же норму, что и, следовательно, интерпретировать как вращение трехмерного пространства. Фактически оказывается, что специальное ограничение на подразумевает, что вращение сохраняет ориентацию. Это позволяет определить карту, заданную формулой ${\displaystyle \ \det(U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})=\det({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})\ ,}$ ${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$ ${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}\ }$ ${\displaystyle \ {\vec {a}}'\ }$ ${\displaystyle \ {\vec {a}}\ ,}$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ R:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\ }$

${\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}=:(R(U)\ {\vec {a}})\cdot {\vec {\sigma }}\ ,}$

где Эта карта представляет собой конкретную реализацию двойной оболочки by и , следовательно, показывает, что компоненты можно восстановить с помощью описанного выше процесса трассировки: ${\displaystyle \ R(U)\in \mathrm {SO} (3).}$ ${\displaystyle \ \mathrm {SO} (3)\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ ,}$ ${\displaystyle \ {\text{SU}}(2)\cong \mathrm {Spin} (3).}$ ${\displaystyle R(U)}$

${\displaystyle R(U)_{ij}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\sigma _{i}U\sigma _{j}U^{-1}\right)}$

перекрестное произведение

Перекрестное произведение определяется матричным коммутатором (с точностью до коэффициента ) ${\displaystyle 2i}$

$${\displaystyle \left[{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},{\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}\right]=2i({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }}.}$$

На самом деле существование нормы следует из того, что является алгеброй Ли: см. форму Киллинга . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Это векторное произведение можно использовать для доказательства свойства сохранения ориентации карты выше.

Собственные значения и собственные векторы

Собственные значения : Это непосредственно следует из бесследности и явного вычисления определителя. ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$ ${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|.}$

Более абстрактно, без вычисления определителя, что требует явных свойств матриц Паули, это следует из того, что, поскольку это может быть факторизовано в Стандартный результат в линейной алгебре (линейное отображение, которое удовлетворяет полиномиальному уравнению, записанному в различных линейных множителях, является диагональным) означает это подразумевает диагональность с возможными собственными значениями. Бесследность означает, что у каждого собственного значения ровно одно собственное значение. ${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0\ ,}$ ${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+|{\vec {a}}|)=0.}$ ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$ ${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|.}$ ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$

Его нормированные собственные векторы равны

$${\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{{\sqrt {2\left|{\vec {a}}\right|\ (a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|)\ }}\ }}{\begin{bmatrix}a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}};\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.}$$

${\displaystyle a_{3}\to -1}$ ${\displaystyle {\vec {a}}=(\epsilon ,0,-(1-\epsilon ^{2}/2))}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$

В качестве альтернативы можно использовать сферические координаты для получения собственных векторов и . ${\displaystyle {\vec {a}}=a(\sin \vartheta \cos \varphi ,\sin \vartheta \sin \varphi ,\cos \vartheta )}$ ${\displaystyle \psi _{+}=(\cos(\vartheta /2),\sin(\vartheta /2)\exp(i\varphi ))}$ ${\displaystyle \psi _{-}=(-\sin(\vartheta /2)\exp(-i\varphi ),\cos(\vartheta /2))}$

Паули 4-векторный

4-вектор Паули, используемый в теории спиноров, записывается компонентами ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ }$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }}).}$

Это определяет отображение из векторного пространства эрмитовых матриц: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$

${\displaystyle x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ ,}$

который также кодирует метрику Минковского ( в основном с минусовым соглашением) в своем определителе:

${\displaystyle \det(x_{\mu }\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).}$

Этот 4-вектор также имеет отношение полноты. Удобно определить второй 4-вектор Паули

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }=(I,-{\vec {\sigma }}).}$

и разрешить подъем и опускание с помощью метрического тензора Минковского. Тогда соотношение можно записать

$${\displaystyle x_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}{\Bigr )}.}$$

Аналогично случаю 3-вектора Паули, мы можем найти группу матриц, которая действует как изометрия, в этом случае группа матриц равна и это показывает. Как и выше, это можно явно реализовать для с компонентами ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ ;}$ ${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\cong \mathrm {Spin} (1,3).}$ ${\displaystyle \ S\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ }$

${\displaystyle \Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\bar {\sigma }}_{\nu }S\sigma ^{\mu }S^{\dagger }\right).}$

Фактически, свойство детерминанта абстрактно следует из свойств следа матриц For , имеет место следующее тождество: ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }.}$ ${\displaystyle \ 2\times 2\ }$

${\displaystyle \det(A+B)=\det(A)+\det(B)+\operatorname {tr} (A)\operatorname {tr} (B)-\operatorname {tr} (AB).}$

То есть «перекрестные члены» можно записать в виде следов. Когда выбраны разные, перекрестные члены исчезают. Далее следует, теперь явно показывая суммирование. Поскольку матрицы равны, это равно ${\displaystyle \ A,B\ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ ,}$ ${\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right).}$ ${\displaystyle \ 2\times 2\ ,}$ ${\textstyle \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).}$

Связь со скалярным и векторным произведением

Векторы Паули элегантно отображают эти коммутационные и антикоммутационные отношения в соответствующие векторные произведения. Добавление коммутатора к антикоммутатору дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}}$

так что,

${\displaystyle ~~\sigma _{j}\sigma _{k}=\delta _{jk}I+i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }~.~}$

Стягивая каждую часть уравнения компонентами двух 3 -векторов a _p и b _q (которые коммутируют с матрицами Паули, т. е. a _p σ _q = σ _q a _p ) для каждой матрицы σ _q и векторной компоненты a _p (и аналогично с b _q ) дает

${\displaystyle ~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k}\delta _{jk}I\end{aligned}}.~}$

Наконец, перевод обозначения индекса для скалярного произведения и векторного произведения приводит к

Если i отождествляется с псевдоскаляром σ _x σ _y σ _z , то правая часть становится , что также является определением произведения двух векторов в геометрической алгебре. ${\displaystyle a\cdot b+a\wedge b}$

Если мы определим оператор вращения как J =час/2σ , то J удовлетворяет коммутационному соотношению:

$${\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\hbar \mathbf {J} }$$

$${\displaystyle {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i{\frac {\vec {\sigma }}{2}}}$$

Некоторые следовые отношения

Следующие следы можно получить, используя коммутационные и антикоммутационные соотношения.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\sigma _{m}\right)&=2\left(\delta _{jk}\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\delta _{km}+\delta _{jm}\delta _{k\ell }\right)\end{aligned}}}$

Если также рассматривать матрицу σ ₀ = I , эти соотношения становятся

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}}$$

где греческие индексы α , β , γ и μ принимают значения от {0, x , y , z } , а обозначения используются для обозначения суммы по циклической перестановке включенных индексов. ${\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}$

Экспонента вектора Паули

Для

${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {n}},\quad |{\hat {n}}|=1,}$

для четных степеней имеем 2 p , p = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I,}$

что можно показать сначала для случая p = 1 , используя антикоммутационные соотношения. Для удобства случай p = 0 по соглашению принимается за I.

Для нечетных степеней 2 q + 1, q = 0, 1, 2, 3,...

${\displaystyle \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,.}$

Возведение матрицы в степень и использование ряда Тейлора для синуса и косинуса .

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}}$.

В последней строке первая сумма — это косинус, а вторая сумма — синус; итак, наконец,

что аналогично формуле Эйлера , распространенной на кватернионы .

Обратите внимание, что

${\displaystyle \det[ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]=a^{2}}$,

в то время как определитель самой экспоненты равен всего 1 , что делает его общим групповым элементом SU(2) .

Более абстрактный вариант формулы (2) для общей матрицы 2×2 можно найти в статье о матричных экспонентах . Общий вариант (2) для аналитической (при a и − a ) функции дается применением формулы Сильвестра , ^[3]

${\displaystyle f(a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}))=I{\frac {f(a)+f(-a)}{2}}+{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}{\frac {f(a)-f(-a)}{2}}.}$

Закон группового состава SU(2)

Непосредственное применение формулы (2) дает параметризацию закона композиции группы SU(2) . ^[c] Можно напрямую найти c в

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib\left({\hat {m}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=I\left(\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b\right)+i\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\\&=I\cos {c}+i\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sin c\\&=e^{ic\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)},\end{aligned}}}$$

которое задает умножение родовой группы, где, очевидно,

$${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b~,}$$

закон косинусовc

$${\displaystyle {\hat {k}}={\frac {1}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}\sin a\sin b\right).}$$

Следовательно, составные параметры вращения в этом групповом элементе (в данном случае замкнутой форме соответствующего разложения БЧХ ) просто равны ^[4]

$${\displaystyle e^{ic{\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}}=\exp \left(i{\frac {c}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\right).}$$

(Разумеется, когда параллельно , ​​то же самое происходит и c = a + b .) ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {m}}}$ ${\displaystyle {\hat {k}}}$

Сопутствующее действие

Также несложно аналогичным образом определить сопряженное действие на вектор Паули, а именно поворот на любой угол вдоль любой оси : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

$${\displaystyle R_{n}(-a)~{\vec {\sigma }}~R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.}$$

Скалярное произведение любого единичного вектора с приведенной выше формулой генерирует выражение любого оператора одного кубита при любом вращении. Например, можно показать, что . ${\textstyle R_{y}{\mathord {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\,\sigma _{x}\,R_{y}{\mathord {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}={\hat {x}}\cdot \left({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }}\right)=\sigma _{z}}$

Отношение полноты

Альтернативное обозначение, которое обычно используется для матриц Паули, состоит в том, чтобы записать индекс вектора k в верхнем индексе, а индексы матрицы в виде нижних индексов, так что элемент в строке α и столбце β k - й матрицы Паули равен σ ^k _αβ. .

В этих обозначениях соотношение полноты для матриц Паули можно записать

${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\,\delta _{\gamma \delta }.}$

Доказательство

Тот факт, что матрицы Паули вместе с единичной матрицей I образуют ортогональный базис гильбертова пространства всех комплексных матриц размера 2 × 2, означает, что мы можем выразить любую матрицу M как

$${\displaystyle M=c\,I+\sum _{k}a_{k}\,\sigma ^{k}}$$

где c — комплексное число, а a — трехкомпонентный комплексный вектор. Используя перечисленные выше свойства, несложно показать, что

$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\sigma ^{j}\,\sigma ^{k}\right)=2\,\delta _{jk}}$$

где « tr » обозначает след , и, следовательно, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}c&={}{\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,M\,,{\begin{aligned}&&a_{k}&={\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}\,M.\end{aligned}}\\[3pt]\therefore ~~2\,M&=I\,\operatorname {tr} \,M+\sum _{k}\sigma ^{k}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}M~,\end{aligned}}}$$

которое можно переписать в терминах матричных индексов как

$${\displaystyle 2\,M_{\alpha \beta }=\delta _{\alpha \beta }\,M_{\gamma \gamma }+\sum _{k}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}\,M_{\delta \gamma }~,}$$

где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам γ и δ . Поскольку это верно для любого выбора матрицы M , соотношение полноты следует, как указано выше. КЭД

Как отмечалось выше, единичную матрицу размера 2 × 2 принято обозначать через σ ₀ , поэтому σ ⁰ _αβ = δ _αβ . Отношение полноты альтернативно может быть выражено как

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }~.}$$

Тот факт, что любые эрмитовы комплексные матрицы 2 × 2 могут быть выражены через единичную матрицу и матрицы Паули, также приводит к представлению сферы Блоха матрицы плотности смешанных состояний 2 × 2 ( положительные полуопределенные матрицы 2 × 2 с единичным следом В этом можно убедиться, сначала выразив произвольную эрмитову матрицу как действительную линейную комбинацию { σ ₀ , σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ } , как указано выше, а затем наложив условия положительно-полуопределенности и следа 1 .

В чистом состоянии в полярных координатах

$${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}},}$$

плотности

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}$$

действует на собственный вектор состояния с собственным значением +1, следовательно, он действует как оператор проектирования . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{+i\phi }\,\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}$

Связь с оператором перестановки

Пусть P _jk будет транспозицией (также известной как перестановка) между двумя спинами σ _j и σ _k , живущими в пространстве тензорных произведений , ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle .}$

Этот оператор также можно записать более явно как оператор спинового обмена Дирака :

${\displaystyle P_{jk}={\frac {1}{2}}\,\left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+1\right)~.}$

Следовательно, его собственные значения равны ^[d] 1 или −1. Таким образом, его можно использовать как член взаимодействия в гамильтониане, разделяя собственные значения энергии его симметричных и антисимметричных собственных состояний.

СУ(2)

Группа SU(2) — это группа Ли унитарных матриц размера 2 × 2 с единичным определителем; ее алгебра Ли представляет собой набор всех антиэрмитовых матриц размера 2 × 2 со следом 0. Непосредственный расчет, как и выше, показывает, что алгебра Ли представляет собой трехмерную вещественную алгебру, натянутую на множество { iσ _k } . В компактных обозначениях ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}}$

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \{\;i\,\sigma _{1}\,,\;i\,\sigma _{2}\,,\;i\,\sigma _{3}\;\}.}$

В результате каждый iσ _j можно рассматривать как бесконечно малый генератор SU(2). Элементы SU (2) представляют собой экспоненты линейных комбинаций этих трех генераторов и умножаются, как указано выше при обсуждении вектора Паули. Хотя этого достаточно для генерации SU(2), это не является правильным представлением su(2) , поскольку собственные значения Паули масштабируются нетрадиционным способом. Традиционная нормировка: λ =1/2, так что

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{{\frac {\,i\,\sigma _{1}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{2}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{3}\,}{2}}\right\}.}$

Поскольку SU(2) — компактная группа, ее разложение Картана тривиально.

ТАК(3)

Алгебра Ли изоморфна алгебре Ли , которая соответствует группе Ли SO( 3 ) — группе вращений в трёхмерном пространстве. Другими словами, можно сказать, что iσ _j являются реализацией (и, по сути, реализацией самой низкой размерности) бесконечно малых вращений в трехмерном пространстве. Однако, хотя и изоморфны как алгебры Ли, SU(2) и SO(3) не изоморфны как группы Ли. SU(2) на самом деле является двойным покрытием SO (3) , что означает, что существует групповой гомоморфизм два к одному от SU(2) до SO(3) , см. связь между SO(3) и SU(2) . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Кватернионы

Действительная линейная оболочка { I , iσ ₁ , iσ ₂ , iσ ₃ } изоморфна вещественной алгебре кватернионов , , представленной оболочкой базисных векторов. Изоморфизм от этому множеству задается следующим отображением (обратите внимание на обратные знаки матриц Паули): ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \left\{\;\mathbf {1} ,\,\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \;\right\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

$${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\,\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\,\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\,\sigma _{3}.}$$

Альтернативно, изоморфизм может быть достигнут с помощью отображения с использованием матриц Паули в обратном порядке, ^[5]

${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto i\,\sigma _{1}~.}$

Поскольку набор версоров U ⊂ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ образует группу, изоморфную SU(2) , U дает еще один способ описания SU(2) . Гомоморфизм два к одному из SU (2) в SO (3) может быть задан через матрицы Паули в этой формулировке.

Физика

Классическая механика

В классической механике матрицы Паули полезны в контексте параметров Кэли-Клейна. ^[6] Матрица P , соответствующая положению точки в пространстве, определяется в терминах приведенной выше векторной матрицы Паули: ${\displaystyle {\vec {x}}}$

${\displaystyle P={\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}=x\,\sigma _{x}+y\,\sigma _{y}+z\,\sigma _{z}.}$

Следовательно, матрица преобразования Q _θ для поворотов вокруг оси x на угол θ может быть записана через матрицы Паули и единичную матрицу как ^[6]

${\displaystyle Q_{\theta }={\boldsymbol {1}}\,\cos {\frac {\theta }{2}}+i\,\sigma _{x}\sin {\frac {\theta }{2}}.}$

Аналогичные выражения следуют для общих вращений вектора Паули, как подробно описано выше.

Квантовая механика

В квантовой механике каждая матрица Паули связана с оператором углового момента , который соответствует наблюдаемой, описывающей спин частицы со спином 1/2 в каждом из трех пространственных направлений . Как непосредственное следствие упомянутого выше разложения Картана, iσ _j являются генераторами проективного представления ( спинового представления ) группы вращения SO(3) , действующего на нерелятивистские частицы со спином 1/2 . Состояния частиц представляются в виде двухкомпонентных спиноров . Таким же образом матрицы Паули связаны с оператором изоспина .

Интересное свойство частиц со спином 1/2 состоит в том, что их необходимо повернуть на угол 4 π , чтобы вернуться в исходную конфигурацию . Это связано с соответствием два к одному между SU(2) и SO(3), упомянутым выше, и тем фактом, что, хотя можно визуализировать вращение вверх/вниз как полюс север-юг на 2- сфере S ² , на самом деле они представлены ортогональными векторами в двумерном комплексном гильбертовом пространстве .

Для частицы со спином 1 ⁄ 2 оператор спина имеет вид J =час/2σ ,фундаментальное представлениеSU(2). Многократно взявкронекеровские произведенияэтого представления с самим собой, можно построить все высшие неприводимые представления. То есть результирующиеоператоры спинадля систем с более высоким спином в трех пространственных измерениях для сколь угодно большогоjмогут быть рассчитаны с использованием этогооператора спинаилестничных операторов. Их можно найти вгруппе вращений SO(3) § Замечание об алгебрах Ли. Аналогичная формула приведенному выше обобщению формулы Эйлера для матриц Паули, группового элемента в терминах спиновых матриц, понятна, но менее проста. ^[7]

Общая группа Паули G _n также полезна в квантовой механике многочастичных систем и определяется как состоящая из всех n -кратных тензорных произведений матриц Паули.

Релятивистская квантовая механика

В релятивистской квантовой механике спиноры в четырех измерениях представляют собой матрицы размером 4 × 1 (или 1 × 4). Следовательно, матрицы Паули или матрицы Сигмы, действующие на эти спиноры, должны быть матрицами размера 4 × 4. Они определяются в терминах матриц Паули 2 × 2 как

${\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{k}={\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\\0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\end{pmatrix}}.}$

Из этого определения следует, что _{матрицы} обладают теми же алгебраическими свойствами, что и матрицы σk . ${\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }$

Однако релятивистский угловой момент представляет собой не трехвектор, а четырехтензор второго порядка . Следовательно, его необходимо заменить на Σ _µν , генератор преобразований Лоренца на спинорах . Из-за антисимметрии углового момента Σ _µν также антисимметричны. Следовательно, независимых матриц всего шесть. ${\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }$

Первые три — это оставшиеся три, где матрицы Дирака α k определяются как ${\displaystyle \ \Sigma _{k\ell }\equiv \epsilon _{jk\ell }{\mathsf {\Sigma }}_{j}.}$ ${\displaystyle \ -i\ \Sigma _{0k}\equiv {\mathsf {\alpha }}_{k}\ ,}$

${\displaystyle {\mathsf {\alpha }}_{k}={\begin{pmatrix}0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\\{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\end{pmatrix}}.}$

Релятивистские спиновые матрицы Σ _µν записываются в компактной форме через коммутатор гамма-матриц как

${\displaystyle \Sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}{\bigl [}\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }{\bigr ]}.}$

Квантовая информация

В квантовой информации однокубитные квантовые вентили представляют собой унитарные матрицы размером 2 × 2. Матрицы Паули являются одними из наиболее важных операций с одним кубитом. В этом контексте приведенное выше разложение Картана называется «Z-Y-разложением однокубитного вентиля». Выбор другой пары Картана дает аналогичное «X–Y -разложение однокубитного вентиля ».

Смотрите также

• Алгебра физического пространства
• Спиноры в трех измерениях
• Гамма-матрицы
  • § Базис Дирака
• Угловой момент
• Матрицы Гелл-Манна
• Группа Пуанкаре
• Обобщения матриц Паули
• сфера Блоха
• Четырехквадратное тождество Эйлера
• Обобщения матриц Паули с более высокими спинами см. в разделе « Спин (физика) § Высшие спины».
• Матрица обмена (первая матрица Паули является матрицей обмена второго порядка)
• Сплит-кватернион

Примечания

1. математическому соглашению о матричной экспоненте , iσ ⟼ exp( iσ ) . Согласно физике , σ ⟼ exp(− iσ ) , следовательно, в нем не требуется никакого предварительного умножения на i , чтобы попасть в SU(2) .
2. Вектор Паули — формальное устройство. Его можно рассматривать как элемент , где пространство тензорного произведения наделено отображением, индуцированным скалярным произведением на ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{3}\times ({\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} ^{3})\to {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$
3. Отношение между a, b, c, n, m, k, полученное здесь в представлении 2 × 2 , справедливо для всех представлений SU (2) и является групповым тождеством . Обратите внимание, что в силу стандартной нормализации генераторов этой группы как половины матриц Паули параметры a , b , c соответствуют половине углов вращения группы вращения. То есть связанная формула Гиббса равна . ${\displaystyle {\hat {k}}\tan c/2=({\hat {n}}\tan a/2+{\hat {m}}\tan b/2-{\hat {m}}\times {\hat {n}}\tan a/2~\tan b/2)/(1-{\hat {m}}\cdot {\hat {n}}\tan a/2~\tan b/2)}$
4. Явно, в соглашении о «преобразовании матриц правого пространства в элементы матриц левого пространства», это ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right)~.}$

Примечания

1. Галл, Сан-Франциско; Ласенби, АН; Доран, CJL (январь 1993 г.). «Мнимые числа недействительны – геометрическая алгебра пространства-времени» (PDF) . Найденный. Физ . 23 (9): 1175–1201. Бибкод : 1993FoPh...23.1175G. дои : 10.1007/BF01883676. S2CID  14670523 . Проверено 5 мая 2023 г. - через Geometry.mrao.cam.ac.uk.
2. См. спинорную карту .
3. Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63235-5. ОСЛК  43641333.
4. Гиббс, JW (1884). Элементы векторного анализа . Нью-Хейвен, Коннектикут. п. 67.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)На самом деле, однако, формула восходит к Олинде Родригесу (1840 г.), изобилующему полууглами: Родригес, Олинде (1840 г.). «Des lois géometriques qui regissent les déplacements d' un systéme Solide dans l' espace, et de lavariation des coordonnées producant de ces déplacement, рассматриваемые как независимые причины, которые могут быть произведены» (PDF) . Дж. Математика. Приложение Pures. 5 : 380–440.
5. Накахара, Микио (2003). Геометрия, топология и физика (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. XXII. ISBN 978-0-7503-0606-5– через Google Книги.
6. Гольдштейн, Герберт (1959). Классическая механика . Аддисон-Уэсли. стр. 109–118.
7. Куртрайт, TL ; Фэрли, Д.Б. ; Захос, СК (2014). «Компактная формула для вращений как полиномов матрицы спина». СИГМА . 10 : 084.arXiv : 1402.3541 . Бибкод : 2014SIGMA..10..084C. дои : 10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.

Рекомендации

• Спиновые матрицы Паули - Фейнмановские лекции по физике
• Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8714-5.
• Шифф, Леонард И. (1968). Квантовая механика . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0070552876.
• Леонхардт, Ульф (2010). Основная квантовая оптика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-14505-3.