Выпуклость связи

Финансовое измерение

В финансах выпуклость облигаций является мерой нелинейной зависимости цен облигаций от изменений процентных ставок и определяется как вторая производная цены облигации по отношению к процентным ставкам ( дюрация — это первая производная). В целом, чем выше дюрация, тем более чувствительна цена облигации к изменению процентных ставок. Выпуклость облигаций — одна из самых основных и широко используемых форм выпуклости в финансах . Выпуклость была основана на работе Хон-Фей Лая и популяризирована Стэнли Диллером. ^[1]

Расчет выпуклости

Дюрация — это линейная мера или первая производная того, как меняется цена облигации в ответ на изменения процентной ставки. При изменении процентных ставок цена вряд ли будет меняться линейно, вместо этого она будет меняться в зависимости от некоторой кривой функции процентных ставок. Чем более изогнута функция цены облигации, тем более неточной является дюрация как мера чувствительности процентной ставки. ^[2]

Выпуклость — это мера кривизны или 2-й производной того, как цена облигации меняется в зависимости от процентной ставки, т.е. как изменяется продолжительность облигации при изменении процентной ставки. ^[3] В частности, предполагается, что процентная ставка постоянна на протяжении всего срока действия облигации и что изменения процентных ставок происходят равномерно. Используя эти предположения, дюрацию можно сформулировать как первую производную функции цены облигации по отношению к рассматриваемой процентной ставке. Тогда выпуклость будет второй производной функции цены по процентной ставке. ^[2]

Выпуклость не предполагает, что связь между стоимостью облигаций и процентными ставками является линейной. ^[4] На реальных рынках предположение о постоянных процентных ставках и даже об их изменениях неверно, и для фактической оценки облигаций необходимы более сложные модели. Однако эти упрощающие допущения позволяют быстро и легко рассчитать факторы, описывающие чувствительность цен облигаций к изменениям процентных ставок. ^[5]

Почему выпуклости облигаций могут различаться

Чувствительность цены к параллельным изменениям временной структуры процентных ставок является самой высокой у облигаций с нулевым купоном и самой низкой у амортизируемых облигаций (по которым выплаты производятся авансом). ^[6] Хотя амортизируемая облигация и облигация с нулевым купоном имеют разную чувствительность при одном и том же сроке погашения, если их окончательные сроки погашения различаются и имеют одинаковую дюрацию облигаций, тогда они будут иметь одинаковую чувствительность. ^[7] То есть на их цены в равной степени будут влиять небольшие сдвиги кривой доходности первого порядка (и параллельные) . Однако они начнут меняться на разные суммы с каждым дальнейшим параллельным сдвигом ставок из-за разных дат и сумм платежей. ^[8]

Для двух облигаций с одинаковой номинальной стоимостью, купоном и сроком погашения выпуклость может различаться в зависимости от того, в какой точке кривой ценовой доходности они расположены. ^[9]

Математическое определение

Если фиксированная плавающая процентная ставка равна r , а цена облигации равна B , то выпуклость C определяется как ^[10]

${\displaystyle C={\frac {1}{B}}{\frac {d^{2}\left(B(r)\right)}{dr^{2}}}.}$

Другой способ выразить C — через модифицированную продолжительность D :

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}B(r)=-DB.}$

Поэтому,

${\displaystyle CB={\frac {d(-DB)}{dr}}=(-D)(-DB)+\left(-{\frac {dD}{dr}}\right)(B),}$

уход

${\displaystyle C=D^{2}-{\frac {dD}{dr}}.}$

Где D — модифицированная продолжительность

Как меняется срок действия облигаций при изменении процентной ставки

Вернитесь к стандартному определению модифицированной продолжительности: ^[11]

${\displaystyle D={\frac {1}{1+r}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(i)t(i)}{B}}}$

где P ( i ) — текущая стоимость купона i , а t ( i ) — будущая дата платежа.

По мере увеличения процентной ставки приведенная стоимость более долгосрочных платежей снижается по отношению к более ранним купонам (на коэффициент дисконтирования между ранними и просроченными платежами). ^[12] Однако цена облигации также снижается при увеличении процентной ставки, но изменения текущей стоимости суммы каждого купона, умноженной на время (числитель в суммировании), больше, чем изменения в цене облигации (знаменатель в суммировании). Следовательно, увеличение r должно уменьшить дюрацию (или, в случае облигаций с нулевым купоном, оставить неизменной константу дюрации). ^{[13] [14]} Обратите внимание, что модифицированная длительность D отличается от обычной продолжительности в один раз больше 1 + r (показано выше), который также уменьшается с увеличением r .

${\displaystyle {\frac {dD}{dr}}\leq 0}$

Учитывая указанную выше связь между выпуклостью и длительностью, выпуклость обычных облигаций всегда должна быть положительной. ^[15]

Положительность выпуклости также может быть доказана аналитически для ценных бумаг с базовой процентной ставкой. Например, в предположении плоской кривой доходности можно записать стоимость купонной облигации как , где C _i обозначает купон, выплачиваемый в момент времени t _i . Тогда это легко увидеть ${\displaystyle B(r)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}B}{dr^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}t_{i}^{2}\geq 0}$

Обратите внимание, что это, наоборот, подразумевает отрицательность производной длительности путем дифференцирования . ${\displaystyle dB/dr=-DB}$

Применение выпуклости

1. Выпуклость — это показатель управления рисками, используемый аналогично тому, как «гамма» используется в управлении рисками по деривативам ; это число, используемое для управления рыночным риском, которому подвержен портфель облигаций. Если совокупность выпуклости и продолжительности торговой книги высока, высок и риск. ^[16] Однако, если совокупная выпуклость и дюрация невелики, книга хеджируется , и деньги будут потеряны незначительно, даже если произойдут довольно существенные изменения процентных ставок. (Параллельно кривой доходности) ^[17]
2. Аппроксимация второго порядка движения цен облигаций из-за изменения ставок использует выпуклость:

${\displaystyle \Delta B=B\left[{\frac {C}{2}}(\Delta r)^{2}-D\Delta r\right].}$

Эффективная выпуклость

Для облигации со встроенным опционом расчет выпуклости (и дюрации ) на основе доходности к погашению не учитывает, как изменения в кривой доходности изменят денежные потоки в результате исполнения опциона . Чтобы решить эту проблему, эффективную выпуклость необходимо рассчитать численно . ^[18] Эффективная выпуклость представляет собой дискретную аппроксимацию второй производной стоимости облигации как функции процентной ставки: ^[18]

${\displaystyle {\text{Effective convexity}}={\frac {V_{-\Delta y}-2V+V_{+\Delta y}}{(V_{0})\Delta y^{2}}}}$

где — стоимость облигации, рассчитанная с использованием модели ценообразования опционов , — величина изменения доходности, и — значения, которые примет облигация, если доходность упадет или повысится на соответственно ( параллельный сдвиг ). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

Эти значения обычно находятся с использованием древовидной модели, построенной для всей кривой доходности и, следовательно, фиксирующей поведение исполнения в каждый момент срока действия опциона как функцию как времени, так и процентных ставок; ^{[19] [20]} см. Решётчатую модель (финансы) § Производные процентные ставки .

Смотрите также

• Уравнение Блэка – Шоулза
• Срок действия облигации
• Оценка облигаций
• Атрибуция с фиксированным доходом § Первые принципы в сравнении с атрибуцией возмущений
• Иммунизация (финансы)
• Список тем, посвященных выпуклости
• Список финансовых тем

Рекомендации

1. Диллер, Стэнли (1991), Параметрический анализ ценных бумаг с фиксированным доходом, в Даттатрея, Рави (ред.) Аналитика фиксированного дохода: современный анализ долга и моделирование оценки, Probus Publishing
2. Брукс, Роберт; Аттингер, Билл (1 июля 1992 г.). «Использование дюрации и выпуклости в анализе конвертируемых облигаций с правом отзыва». Журнал финансовых аналитиков . 48 (4): 74–77. дои : 10.2469/faj.v48.n4.74. ISSN  0015-198X.
3. Пельссер, Антон (4 февраля 2003 г.). «Математические основы коррекции выпуклости». Количественные финансы . 3 (1). дои : 10.1088/1469-7688/3/1/306/мета. eISSN  1469-7696 . Проверено 30 сентября 2023 г.
4. Удегбунам, Рафаэль И.; Оайхенан, Хасан Э. (13 марта 2012 г.). «Процентный риск цен на акции в Нигерии: эмпирическая проверка модели продолжительности и выпуклости». Журнал финансов развивающихся рынков . 11 (1): 93–113. дои : 10.1177/097265271101100104. ISSN  0972-6527.
5. Вейл, Лоуренс Фишер, Роман Л. (1982), «Как справиться с риском колебаний процентных ставок: доход держателей облигаций от наивных и оптимальных стратегий *», Срок действия облигаций и иммунизация , Routledge, doi : 10.4324/9781315145976-11/ преодоление риска-колебаний-процентных ставок-доходность-держатели облигаций-na%C3%AFve-оптимальные-стратегии-Лоуренс-Фишер-Роман-Вейль, ISBN 978-1-315-14597-6, получено 2 октября 2023 г.{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. Дай, Цян; Синглтон, Кеннет Дж.; Ян, Вэй (12 апреля 2007 г.). «Смены режима в модели динамической срочной структуры доходности казначейских облигаций США». Обзор финансовых исследований . 20 (5): 1669–1706. doi : 10.1093/rfs/hhm021. ISSN  0893-9454.
7. Уиттингем, М. (1997). «Канадский рынок бескупонных облигаций» (PDF) . Обзор Банка Канады : 47–62.
8. Фоа, Уэсли; Ширер, Майкл (31 декабря 1997 г.). «Примечание о чувствительности к изменению формы произвольной кривой доходности с использованием продолжительности ключевой ставки». Журнал фиксированного дохода . 7 (3): 67–71. дои : 10.3905/jfi.1997.408212. ISSN  1059-8596.
9. Ливингстон, Майлз (1 марта 1979). «Налогообложение облигаций и форма кривой доходности к погашению». Журнал финансов . 34 (1): 189–196. doi :10.1111/j.1540-6261.1979.tb02079.x. ISSN  0022-1082.
10. Фонг, Х. Гиффорд; Васичек, Олдрич А. (31 июля 1991 г.). «Управление волатильностью фиксированного дохода». Журнал управления портфелем . 17 (4): 41–46. дои : 10.3905/jpm.1991.409345. ISSN  0095-4918.
11. Фабоцци, Фрэнк Дж., изд. (15 сентября 2008 г.). Справочник по финансам (1-е изд.). Уайли. дои : 10.1002/9780470404324.hof003014. ISBN 978-0-470-04256-4.
12. Ши, Гэри С. (1984). «Подводные камни при сглаживании данных о временной структуре процентных ставок: равновесные модели и сплайн-аппроксимации». Журнал финансового и количественного анализа . 19 (3): 253–269. дои : 10.2307/2331089. ISSN  0022-1090.
13. Гейгер, Феликс (2011), Гейгер, Феликс (редактор), «Теория временной структуры процентных ставок», Кривая доходности и премии за финансовый риск: последствия для денежно-кредитной политики , Конспекты лекций по экономике и математическим системам, Берлин , Гейдельберг: Springer, стр. 43–82, номер документа : 10.1007/978-3-642-21575-9_3, ISBN. 978-3-642-21575-9, получено 6 ноября 2023 г.
14. Свищук, Анатолий (4 января 2009 г.). «Производные процентные ставки на основе сборов: изменение метода времени и PIDE» (PDF) . Эконометрика: модели с одним уравнением, электронный журнал . doi :10.2139/ssrn.1322532 – через SSRN.
15. Грантье, Брюс Дж. (1 ноября 1988 г.). «Выпуклость и эффективность соединения: чем Бентер, тем лучше». Журнал финансовых аналитиков . 44 (6): 79–81. дои : 10.2469/faj.v44.n6.79. ISSN  0015-198X.
16. Фонг, Х. Гиффорд; Васичек, Олдрич А. (31 июля 1991 г.). «Управление волатильностью фиксированного дохода». Журнал управления портфелем . 17 (4): 41–46. дои : 10.3905/jpm.1991.409345. ISSN  0095-4918.
17. Смит, Линда; Сварт, Барбара (31 января 2006 г.). «Расчет цены выпуклости облигаций». Журнал управления портфелем . 32 (2): 99–106. дои : 10.3905/jpm.2006.611809. ISSN  0095-4918.
18. Фабоцци, Фрэнк Дж., изд. (15 сентября 2008 г.). Справочник по финансам (1-е изд.). Уайли. дои : 10.1002/9780470404324.hof003014. ISBN 978-0-470-04256-4.
19. Чоудри, Мурад (01 января 2004 г.), Чоудри, Мурад (редактор), «3 - Динамика цен на активы», Расширенный анализ фиксированного дохода , Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн, стр. 35–54, doi : 10.1016 /b978-075066263-5.50005-7, ISBN 978-0-7506-6263-5, получено 6 ноября 2023 г.
20. Милтерсен, Кристиан Р.; Шварц, Эдуардо С. (1998). «Оценка опционов на товарные фьючерсы со стохастическими временными структурами удобной доходности и процентных ставок». Журнал финансового и количественного анализа . 33 (1): 33–59. дои : 10.2307/2331377. ISSN  0022-1090.

дальнейшее чтение

• Фрэнк Фабоцци , Справочник по ценным бумагам с фиксированной доходностью, 7-е изд. , Нью-Йорк: МакГроу Хилл, 2005.
• Фабоцци, Фрэнк Дж. (1999). «Основы длительности и выпуклости». Дюрация, выпуклость и другие меры риска облигаций . Серия Фрэнка Дж. Фабоцци. Том. 58. Джон Уайли и сыновья. ISBN 9781883249632.
• Мэйл, Январь (1994), Стандартные методы расчета ценных бумаг: формулы для ценных бумаг с фиксированным доходом для аналитических показателей , vol. 2 (1-е изд.), Ассоциация индустрии ценных бумаг и финансовых рынков , ISBN 1-882936-01-9. Стандартный справочник конвенций, применимых к ценным бумагам США.

Внешние ссылки

• Инвестиционный фонд для фондов объясняет опасность покупки облигаций с высокой отрицательной выпуклостью
• Видеоурок: объяснение продолжительности и выпуклости облигаций
• Объяснение выпуклости в Инвестопедии