В линейной алгебре координатный вектор — это представление вектора в виде упорядоченного списка чисел ( кортежа ), который описывает вектор в терминах определенного упорядоченного базиса . [1] Простым примером может быть такая позиция, как (5, 2, 1) в 3-мерной декартовой системе координат с базисом в качестве осей этой системы. Координаты всегда указываются относительно упорядоченного базиса. Базисы и связанные с ними координатные представления позволяют реализовать векторные пространства и линейные преобразования конкретно как векторы-столбцы , векторы-строки и матрицы ; следовательно, они полезны в расчетах.
Идея координатного вектора также может быть использована для бесконечномерных векторных пространств, как описано ниже.
Пусть V — векторное пространство размерности n над полем F и пусть
быть упорядоченным базисом для V . Тогда для каждого существует уникальная линейная комбинация базисных векторов, равная :
Координатный вектор относительно B представляет собой последовательность координат _
Это также называется представлением относительно B или B-представлением . Их называют координатами . Здесь важен порядок базиса, поскольку он определяет порядок, в котором коэффициенты перечислены в координатном векторе.
Координатные векторы конечномерных векторных пространств могут быть представлены матрицами в виде векторов- столбцов или строк . В приведенных выше обозначениях можно написать
и
где транспонирование матрицы . _
Мы можем механизировать вышеуказанное преобразование, определив функцию , называемую стандартным представлением V относительно B , которая переводит каждый вектор в его координатное представление: . Тогда — линейное преобразование из V в Fn . На самом деле это изоморфизм , а его обратный просто
В качестве альтернативы мы могли бы с самого начала определить вышеуказанную функцию, осознать, что это изоморфизм, и определить ее как обратную.
Пусть - пространство всех алгебраических многочленов степени не выше 3 (т.е. старший показатель x может быть равен 3). Это пространство линейно и натянуто на следующие полиномы:
соответствие
то вектор координат, соответствующий многочлену
является
Согласно этому представлению оператор дифференцирования d / dx , который мы обозначим D, будет представлен следующей матрицей :
Используя этот метод, легко изучить свойства оператора, такие как: обратимость , эрмитово или антиэрмитово или ни одно из них , спектр и собственные значения и многое другое.
Матрицы Паули , которые представляют оператор вращения при преобразовании собственных состояний спина в векторные координаты.
Пусть B и C — два разных базиса векторного пространства V и отметим матрицу , столбцы которой состоят из C -представления базисных векторов b 1 , b 2 , …, bn :
Эта матрица называется базовой матрицей преобразования из B в C. Его можно рассматривать как автоморфизм над . Любой вектор v , представленный в B , можно преобразовать в представление в C следующим образом:
При преобразовании базиса обратите внимание, что верхний индекс матрицы преобразования M и нижний индекс координатного вектора v одинаковы и, по-видимому, сокращаются, оставляя оставшийся нижний индекс. Хотя это может служить средством запоминания, важно отметить, что никакой такой отмены или подобной математической операции не происходит.
Матрица M является обратимой матрицей , а M −1 является матрицей базисного преобразования из C в B . Другими словами,
Предположим, что V — бесконечномерное векторное пространство над полем F. Если размерность равна κ , то для V существует некоторый базис из κ элементов . После выбора порядка базис можно считать упорядоченным. Элементы V представляют собой конечные линейные комбинации элементов в базисе, которые приводят к уникальным представлениям координат точно так, как описано ранее. Единственное изменение состоит в том, что набор индексов для координат не является конечным. Поскольку данный вектор v является конечной линейной комбинацией базисных элементов, единственными ненулевыми элементами координатного вектора для v будут ненулевые коэффициенты линейной комбинации, представляющей v . Таким образом, координатный вектор для v равен нулю, за исключением конечного числа записей.
Линейные преобразования между (возможно) бесконечномерными векторными пространствами можно моделировать, аналогично конечномерному случаю, с помощью бесконечных матриц . Частный случай преобразований из V в V описан в статье о полном линейном кольце .