Изменение базы

Изменение координат в линейной алгебре

В математике упорядоченный базис векторного пространства конечной размерности n позволяет однозначно представить любой элемент векторного пространства координатным вектором , который представляет собой последовательность n скаляров , называемых координатами . Если рассматриваются две разные базы, вектор координат, который представляет вектор v на одном базисе, как правило, отличается от вектора координат, который представляет вектор v на другом базисе. Изменение базиса состоит в преобразовании каждого утверждения, выраженного в координатах относительно одного базиса, в утверждение, выраженного в координатах относительно другого базиса. ^{[1] [2] [3]}

Такое преобразование является результатом формулы изменения базиса , которая выражает координаты относительно одного базиса через координаты относительно другого базиса. Используя матрицы , эту формулу можно записать

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }=A\,\mathbf {x} _{\mathrm {new} },}$

где «старый» и «новый» относятся соответственно к первому определенному базису и другому базису, являются векторами - столбцами координат одного и того же вектора в двух базисах, а также является матрицей изменения базиса (также называемой переходом) . матрица ), которая представляет собой матрицу, столбцы которой являются координатами новых базисных векторов на старом базисе. ${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {new} }}$ ${\displaystyle A}$

Эта статья посвящена в основном конечномерным векторным пространствам. Однако многие принципы справедливы и для бесконечномерных векторных пространств.

Изменение базовой формулы

Пусть – базис конечномерного векторного пространства V над полем F . ^[а] ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$

Для j = 1, ..., n можно определить вектор w _j по его координатам над ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }\colon }$

${\displaystyle w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}.}$

Позволять

${\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}}$

— матрица , j -й столбец которой образован координатами w _j . (Здесь и далее индекс i всегда относится к строкам A , а индекс j всегда относится к столбцам A , и такое соглашение полезно для избежания ошибок в явных вычислениях.) ${\displaystyle v_{i},}$ ${\displaystyle w_{j};}$

Установка одного имеет базис V тогда и только тогда, когда матрица A обратима или, что то же самое , если она имеет ненулевой определитель . В этом случае говорят, что A представляет собой матрицу перехода от базиса к базису. ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=(w_{1},\ldots ,w_{n}),}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}$

Для вектора пусть будут координаты over и его координаты над этим. ${\displaystyle z\in V,}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} },}$ ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} };}$

${\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}.}$

(Можно было бы взять один и тот же индекс суммирования для двух сумм, но систематический выбор индексов i для старого базиса и j для нового делает более понятными последующие формулы и помогает избежать ошибок в доказательствах и явных вычислениях.)

Формула изменения базиса выражает координаты старого базиса через координаты нового базиса. С учетом приведенных выше обозначений это

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

В терминах матриц формула замены базиса равна

${\displaystyle \mathbf {x} =A\,\mathbf {y} ,}$

где и – векторы-столбцы координат z по и соответственно. ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} },}$

Доказательство. Используя приведенное выше определение матрицы замены базиса, имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}}$

Поскольку формула замены базиса является результатом единственности разложения вектора по базису. ${\displaystyle z=\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},}$

Пример

Рассмотрим евклидово векторное пространство. Его стандартный базис состоит из векторов . Если повернуть их на угол t , получится новый базис, образованный и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle v_{1}=(1,0)}$ ${\displaystyle v_{2}=(0,1).}$ ${\displaystyle w_{1}=(\cos t,\sin t)}$ ${\displaystyle w_{2}=(-\sin t,\cos t).}$

Итак, матрица изменения базиса имеет вид ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.}$

Формула замены базиса утверждает, что если — новые координаты вектора, то ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2}),}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.}$

То есть,

${\displaystyle x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\qquad {\text{and}}\qquad x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.}$

Это можно проверить, написав

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}&=(y_{1}\cos t-y_{2}\sin t)v_{1}+(y_{1}\sin t+y_{2}\cos t)v_{2}\\&=y_{1}(\cos(t)v_{1}+\sin(t)v_{2})+y_{2}(-\sin(t)v_{1}+\cos(t)v_{2})\\&=y_{1}w_{1}+y_{2}w_{2}.\end{aligned}}}$

С точки зрения линейных карт

Обычно матрица представляет собой линейную карту , а произведение матрицы и вектор-столбца представляет собой применение функции соответствующей линейной карты к вектору, координаты которого образуют вектор-столбец. Формула смены базиса представляет собой частный случай этого общего принципа, хотя это не сразу ясно из ее определения и доказательства.

Когда кто-то говорит, что матрица представляет собой линейное отображение, он неявно ссылается на базы неявных векторных пространств и на тот факт, что выбор базиса вызывает изоморфизм между векторным пространством и F ⁿ , где F — поле скаляров. Когда для каждого векторного пространства рассматривается только один базис, стоит оставить этот изоморфизм неявным и перейти к изоморфизму. Поскольку здесь рассматриваются несколько базисов одного и того же векторного пространства, требуется более точная формулировка.

Пусть F — поле , набор n -кортежей представляет собой F -векторное пространство, сложение и скалярное умножение которого определяются покомпонентно. Его стандартным базисом является базис, i -м элементом которого является кортеж, все компоненты которого равны 0 , кроме i- го элемента, который равен 1 . ${\displaystyle F^{n}}$

Базис F -векторного пространства V определяет линейный изоморфизм формулой ${\displaystyle B=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle \phi \colon F^{n}\to V}$

${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}.}$

И наоборот, такой линейный изоморфизм определяет базис, который является образом стандартного базиса ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F^{n}.}$

Пусть — «старый базис» изменения базиса и связанный с ним изоморфизм. Учитывая матрицу замены базиса A , рассмотрим ее как матрицу эндоморфизма Наконец , определим ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle \psi _{A}}$ ${\displaystyle F^{n}.}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$

(где обозначает композицию функции ), и ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {new} }(\phi _{\mathrm {old} }^{-1}(B_{\mathrm {old} })).}$

Непосредственная проверка позволяет показать, что это определение такое же, как и в предыдущем разделе. ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$

Теперь, составив уравнение с слева и справа, получим ${\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }^{-1}}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}=\psi _{A}\circ \phi _{\mathrm {new} }^{-1}.}$

Отсюда следует, что, поскольку у человека есть ${\displaystyle v\in V,}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}(v)=\psi _{A}(\phi _{\mathrm {new} }^{-1}(v)),}$

это формула изменения базиса, выраженная в виде линейных карт вместо координат.

Функция, определенная в векторном пространстве

Функция , областью определения которой является векторное пространство, обычно определяется как многомерная функция , переменные которой являются координатами некоторого вектора, к которому применяется функция .

При изменении базиса меняется выражение функции. Это изменение можно вычислить, заменив «старые» координаты их выражениями в «новых» координатах. Точнее, если f ( x ) является выражением функции в терминах старых координат, и если x = A y является формулой замены базы, то f ( A y ) является выражением той же функции в условиях новых координат.

Тот факт, что формула смены базиса выражает старые координаты через новые, может показаться неестественным, но оказывается полезным, поскольку здесь не требуется никакого обращения матрицы .

Поскольку формула смены базиса включает только линейные функции , многие свойства функции сохраняются при смене базиса. Это позволяет определить эти свойства как свойства функций вектора переменной, не связанные с каким-либо конкретным базисом. Итак, функция, областью определения которой является векторное пространство или его подмножество, называется

• линейная функция,
• полиномиальная функция ,
• непрерывная функция ,
• дифференцируемая функция ,
• плавная функция ,
• аналитическая функция ,

если многомерная функция, которая представляет его на каком-то базисе (и, следовательно, на каждом базисе), обладает тем же свойством.

Это особенно полезно в теории многообразий , поскольку позволяет распространить понятия непрерывных, дифференцируемых, гладких и аналитических функций на функции, определенные на многообразии.

Линейные карты

Рассмотрим линейное отображение T : W → V векторного пространства W размерности n в векторное пространство V размерности m . На «старых» базисах V и W он представлен матрицей M размером m × n . Смена базисов определяется матрицей смены базиса размера m × m P для V и матрицей смены базы размера n × n Q для W .

На «новых» базисах матрица T равна

${\displaystyle P^{-1}MQ.}$

Это прямое следствие формулы изменения базиса.

Эндоморфизмы

Эндоморфизмы — это линейные отображения векторного пространства V в себя. Для смены основы применяется формула предыдущего раздела с одинаковой матрицей смены основы с обеих сторон формулы. То есть, если M — квадратная матрица эндоморфизма V на «старом» базисе, а P — матрица смены базиса, то матрица эндоморфизма на «новом» базисе равна

${\displaystyle P^{-1}MP.}$

Поскольку каждую обратимую матрицу можно использовать в качестве матрицы смены базиса, это означает, что две матрицы подобны тогда и только тогда, когда они представляют один и тот же эндоморфизм на двух разных базисах.

Билинейные формы

Билинейная форма в векторном пространстве V над полем F — это функция V × V → F , линейная по обоим аргументам. То есть B  : V × V → F билинейно, если отображения и линейны для каждого фиксированного ${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$ ${\displaystyle v\mapsto B(w,v)}$ ${\displaystyle w\in V.}$

Матрица B билинейной формы B на базисе (в дальнейшем «старый» базис) — это матрица, элементом i- й строки и j -го столбца которой является B ( i , j ) . Отсюда следует, что если v и w — векторы-столбцы координат двух векторов v и w , то ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$

${\displaystyle B(v,w)=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \mathbf {w} ,}$

где обозначает транспонирование матрицы v . ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}$

Если P — замена базисной матрицы, то прямое вычисление показывает, что матрица билинейной формы на новом базисе равна

${\displaystyle P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P.}$

Симметричная билинейная форма — это билинейная форма B такая, что для любых v и w в V . Отсюда следует, что матрица B на любом базисе симметрична . Это означает, что свойство симметричной матрицы должно сохраняться в приведенной выше формуле смены базы. Это также можно проверить, заметив, что транспонирование матричного произведения — это произведение транспонирований, вычисленных в обратном порядке. В частности, ${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)}$

${\displaystyle (P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}P,}$

и два члена этого уравнения равны, если матрица B симметрична. ${\displaystyle P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P}$

Если характеристика основного поля F не равна двум, то для каждой симметричной билинейной формы существует базис, для которого матрица диагональна . При этом результирующие ненулевые элементы на диагонали определяются с точностью до умножения на квадрат. Итак, если основное поле является полем действительных чисел , эти ненулевые записи могут быть выбраны как 1 или –1 . Закон инерции Сильвестра — это теорема, утверждающая, что числа 1 и –1 зависят только от билинейной формы, а не от смены базиса. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Симметричные билинейные формы над вещественными числами часто встречаются в геометрии и физике , обычно при изучении квадрик и инерции твердого тела . В этих случаях особенно полезны ортонормированные базы ; это означает, что обычно предпочитают ограничивать изменения базиса теми, которые имеют ортогональную матрицу замены базы, то есть такую ​​матрицу, что такие матрицы обладают фундаментальным свойством, заключающимся в том, что формула замены базы одинакова для симметричная билинейная форма и эндоморфизм, представленный той же симметричной матрицей. Спектральная теорема утверждает, что для такой симметричной матрицы существует ортогональная замена базиса, так что результирующая матрица (как билинейной формы, так и эндоморфизма) представляет собой диагональную матрицу с собственными значениями исходной матрицы на диагонали. Отсюда следует, что над вещественными числами, если матрица эндоморфизма симметрична, то она диагонализуема . ${\displaystyle P^{\mathsf {T}}=P^{-1}.}$

Смотрите также

• Активная и пассивная трансформация
• Ковариантность и контравариантность векторов
• Интегральное преобразование , непрерывный аналог изменения базиса.

Примечания

1. Хотя базис обычно определяется как набор векторов (например, как остовное множество, линейно независимое), кортежная запись здесь удобна, поскольку индексация первыми положительными целыми числами делает базис упорядоченным базисом .

Рекомендации

1. Антон (1987, стр. 221–237)
2. Борегар и Фрели (1973, стр. 240–243)
3. Неринг (1970, стр. 50–52)

Библиография

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-Х
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646

Внешние ссылки

• Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института об изменении базиса от MIT OpenCourseWare
• Лекция Академии Хана об изменении основы от Академии Хана