Вращение (математика)

Движение некоторого пространства, сохраняющее хотя бы одну точку

Вращение объекта в двух измерениях вокруг точки О.

Вращение в математике — это понятие, возникшее в геометрии . Любое вращение — это движение определенного пространства , сохраняющее хотя бы одну точку . Оно может описывать, например, движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Вращение может иметь знак (как знак угла ): вращение по часовой стрелке имеет отрицательную величину, а поворот против часовой стрелки имеет положительную величину. Вращение отличается от других типов движений: переносов , которые не имеют неподвижных точек, и (гиперплоскостных) отражений , каждое из которых имеет целую ( n  − 1) -мерную плоскость неподвижных точек в n -мерном пространстве.

Математически вращение — это отображение . Все вращения вокруг неподвижной точки образуют группу под названием группа вращений (определенного пространства). Но в механике и, в более общем смысле, в физике это понятие часто понимается как преобразование координат (что важно, преобразование ортонормированного базиса ), потому что для любого движения тела существует обратное преобразование, которое, если его применить к системе отсчета, приводит к тому, что тело оказывается в тех же координатах. Например, в двух измерениях вращение тела по часовой стрелке вокруг точки, сохраняя оси неподвижными, эквивалентно вращению осей против часовой стрелки вокруг той же точки, пока тело остается неподвижным. Эти два типа вращения называются активными и пассивными преобразованиями . ^{[1] [2]}

Сопутствующие определения и терминология

Группа вращений — это группа Ли вращений вокруг неподвижной точки . Эта (общая) неподвижная точка или центр называется центром вращения и обычно отождествляется с началом координат . Группа вращений — это стабилизатор точки в более широкой группе (сохраняющих ориентацию) движений .

Для конкретного поворота:

• Ось вращения — это линия его неподвижных точек. Они существуют только при n = 3 .
• Плоскость вращения — это плоскость , которая инвариантна относительно вращения. В отличие от оси, ее точки сами по себе не фиксированы. Ось (там, где она есть) и плоскость вращения ортогональны .

Представление вращений — это особый формализм, алгебраический или геометрический, используемый для параметризации карты вращения. Это значение каким-то образом обратно значению в теории групп .

Вращения (аффинных) пространств точек и соответствующих векторных пространств не всегда четко различаются. Первые иногда называют аффинными вращениями (хотя этот термин вводит в заблуждение), тогда как вторые — векторными вращениями . Подробности см. в статье ниже.

Определения и представления

В евклидовой геометрии

Вращение плоскости вокруг точки, за которым следует еще одно вращение вокруг другой точки, приводит к общему движению, которое является либо вращением (как на этом рисунке), либо поступательным движением .

Движение евклидова пространства то же самое, что и его изометрия : оно оставляет расстояние между любыми двумя точками неизменным после преобразования. Но (собственное) вращение также должно сохранять структуру ориентации . Термин « несобственное вращение » относится к изометриям, которые меняют (переворачивают) ориентацию. На языке теории групп это различие выражается как прямая и косвенная изометрия в евклидовой группе , где первые содержат компонент тождества . Любое прямое евклидово движение можно представить как композицию вращения вокруг неподвижной точки и переноса.

В одномерном пространстве существуют только тривиальные вращения. В двух измерениях для задания вращения вокруг начала координат требуется только один угол — угол вращения , который задает элемент группы окружности (также известной как U(1) ). Вращение действует, чтобы повернуть объект против часовой стрелки на угол θ вокруг начала координат ; подробности см. ниже. Композиция вращений суммирует их углы по модулю 1 поворот , что подразумевает, что все двумерные вращения вокруг одной и той же точки коммутируют . Вращения вокруг разных точек, в общем случае, не коммутируют. Любое двумерное прямое движение является либо переносом, либо вращением; подробности см. в изометрии евклидовой плоскости .

Эйлеровы вращения Земли. Внутреннее (зеленый), прецессия (синий) и нутация (красный)

Вращения в трехмерном пространстве отличаются от вращений в двух измерениях рядом важных способов. Вращения в трех измерениях, как правило, не коммутативны , поэтому порядок, в котором применяются вращения, важен даже относительно одной и той же точки. Кроме того, в отличие от двумерного случая, трехмерное прямое движение в общем положении является не вращением, а винтовой операцией . Вращения вокруг начала координат имеют три степени свободы (см. формализмы вращения в трех измерениях для получения подробной информации), столько же, сколько и число измерений. Трехмерное вращение можно задать несколькими способами. Наиболее распространенными методами являются:

• Углы Эйлера (на фото слева). Любое вращение вокруг начала координат можно представить как композицию трех вращений, определенных как движение, полученное путем изменения одного из углов Эйлера при сохранении двух других постоянными. Они составляют смешанную систему осей вращения , поскольку углы измеряются относительно смеси различных систем отсчета , а не одной системы, которая является чисто внешней или чисто внутренней. В частности, первый угол перемещает линию узлов вокруг внешней оси z , второй вращается вокруг линии узлов, а третий является внутренним вращением (спином) вокруг оси, закрепленной в движущемся теле. Углы Эйлера обычно обозначаются как α , β , γ или φ , θ , ψ . Такое представление удобно только для вращений вокруг фиксированной точки.

• Представление ось-угол (изображено справа) определяет угол с осью, вокруг которой происходит вращение. Его можно легко визуализировать. Существует два варианта его представления:
  • как пара, состоящая из угла и единичного вектора для оси, или
  • как евклидов вектор, полученный путем умножения угла на этот единичный вектор, называемый вектором вращения (хотя, строго говоря, это псевдовектор ).
• Матрицы, версоры (кватернионы) и другие алгебраические вещи: подробности см. в разделе Линейный и полилинейный алгебраический формализм.

Перспективная проекция на три измерения тессеракта, вращающегося в четырехмерном евклидовом пространстве.

Общее вращение в четырех измерениях имеет только одну неподвижную точку, центр вращения, и не имеет оси вращения; см. вращения в четырехмерном евклидовом пространстве для получения подробной информации. Вместо этого вращение имеет две взаимно ортогональные плоскости вращения, каждая из которых фиксирована в том смысле, что точки в каждой плоскости остаются внутри плоскостей. Вращение имеет два угла поворота, по одному для каждой плоскости вращения , через которые вращаются точки в плоскостях. Если это ω ₁ и ω ₂ , то все точки, не лежащие в плоскостях, вращаются на угол между ω ₁ и ω ₂ . Вращения в четырех измерениях вокруг неподвижной точки имеют шесть степеней свободы. Четырехмерное прямое движение в общем положении является вращением вокруг определенной точки (как во всех четных евклидовых измерениях), но существуют также винтовые операции.

Линейный и полилинейный алгебраический формализм

При рассмотрении движений евклидова пространства, сохраняющих начало координат , различие между точками и векторами , важное в чистой математике, может быть стерто, поскольку существует каноническое взаимно-однозначное соответствие между точками и векторами положения . То же самое верно для геометрий, отличных от евклидовой , но пространство которых является аффинным пространством с дополнительной структурой ; см. пример ниже. В качестве альтернативы векторное описание вращений можно понимать как параметризацию геометрических вращений вплоть до их композиции с трансляциями. Другими словами, одно векторное вращение представляет множество эквивалентных вращений вокруг всех точек в пространстве.

Движение, сохраняющее начало координат, то же самое, что и линейный оператор на векторах, сохраняющий ту же геометрическую структуру, но выраженный в терминах векторов. Для евклидовых векторов это выражение является их величиной ( евклидовой нормой ). В компонентах такой оператор выражается с помощью ортогональной матрицы n  ×  n , которая умножается на векторы-столбцы .

Как уже было сказано, (собственное) вращение отличается от произвольного движения неподвижной точки сохранением ориентации векторного пространства. Таким образом, определитель ортогональной матрицы вращения должен быть равен 1. Единственная другая возможность для определителя ортогональной матрицы — −1 , и этот результат означает, что преобразование является гиперплоскостным отражением , точечным отражением (для нечетных n ) или другим видом несобственного вращения . Матрицы всех собственных вращений образуют специальную ортогональную группу .

Два измерения

В двух измерениях для выполнения поворота с использованием матрицы точка ( x ,  y ), которую нужно повернуть против часовой стрелки, записывается в виде вектора-столбца, а затем умножается на матрицу поворота, вычисленную из угла θ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$.

Координаты точки после поворота равны x′ ,  y′ , а формулы для x′ и y′ следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}}$

Векторы и имеют одинаковую величину и разделены углом θ, как и ожидалось. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}}$

Точки на плоскости R ² также могут быть представлены в виде комплексных чисел : точка ( x ,  y ) на плоскости представлена ​​комплексным числом

${\displaystyle z=x+iy}$

Его можно повернуть на угол θ, умножив его на e ^iθ , а затем разложив произведение с помощью формулы Эйлера следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta \\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy',\end{aligned}}}$

и приравнивание действительной и мнимой частей дает тот же результат, что и двумерная матрица:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}}$

Поскольку комплексные числа образуют коммутативное кольцо , вращения векторов в двух измерениях являются коммутативными, в отличие от более высоких измерений. Они имеют только одну степень свободы , поскольку такие вращения полностью определяются углом вращения. ^[3]

Три измерения

Как и в двух измерениях, матрица может быть использована для поворота точки ( x ,  y ,  z ) в точку ( x′ ,  y′ ,  z′ ) . Используемая матрица — это матрица 3 × 3 ,

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}}$

Это умножается на вектор, представляющий точку, чтобы получить результат.

${\displaystyle \mathbf {A} {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}}$

Набор всех соответствующих матриц вместе с операцией умножения матриц является группой вращения SO(3) . Матрица A является членом трехмерной специальной ортогональной группы SO(3) , то есть является ортогональной матрицей с определителем 1. То, что это ортогональная матрица, означает, что ее строки являются набором ортогональных единичных векторов (поэтому они являются ортонормированным базисом ), как и ее столбцы, что упрощает обнаружение и проверку того, является ли матрица допустимой матрицей вращения.

Вышеупомянутые углы Эйлера и представления ось-угол можно легко преобразовать в матрицу вращения.

Другой возможностью представления вращения трехмерных евклидовых векторов являются кватернионы, описанные ниже.

Кватернионы

Единичные кватернионы , или версоры , в некотором смысле являются наименее интуитивным представлением трехмерных вращений. Они не являются трехмерным примером общего подхода. Они более компактны, чем матрицы, и с ними легче работать, чем со всеми другими методами, поэтому их часто предпочитают в реальных приложениях. ^{[ необходима цитата ]}

Версор (также называемый кватернионом вращения ) состоит из четырех действительных чисел, ограниченных так, что норма кватерниона равна 1. Это ограничение ограничивает степени свободы кватерниона тремя, как и требуется. В отличие от матриц и комплексных чисел, необходимы два умножения:

${\displaystyle \mathbf {x'} =\mathbf {qxq} ^{-1},}$

где q — версор, q ⁻¹ — его обратный , а x — вектор, рассматриваемый как кватернион с нулевой скалярной частью . Кватернион может быть связан с формой вектора вращения угла оси с помощью экспоненциального отображения по кватернионам,

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{\mathbf {v} /2},}$

где v — вектор вращения, рассматриваемый как кватернион.

Однократное умножение на версор, левое или правое , само по себе является вращением, но в четырех измерениях. Любое четырехмерное вращение вокруг начала координат может быть представлено двумя кватернионными умножениями: одним левым и одним правым, на два различных единичных кватерниона.

Дополнительные примечания

В более общем смысле, повороты координат в любом измерении представлены ортогональными матрицами. Набор всех ортогональных матриц в n измерениях, которые описывают собственные повороты (детерминант = +1), вместе с операцией умножения матриц образует специальную ортогональную группу SO( n ) .

Матрицы часто используются для выполнения преобразований, особенно когда преобразуется большое количество точек, так как они являются прямым представлением линейного оператора . Вращения, представленные другими способами, часто преобразуются в матрицы перед использованием. Их можно расширить для представления вращений и преобразований одновременно с использованием однородных координат . Проективные преобразования представлены матрицами 4 × 4. Они не являются матрицами вращения, но преобразование, представляющее евклидово вращение, имеет матрицу вращения 3 × 3 в верхнем левом углу.

Главным недостатком матриц является то, что они более дороги в расчетах и ​​выполнении вычислений. Кроме того, в расчетах, где численная нестабильность является проблемой, матрицы могут быть более склонны к ней, поэтому вычисления по восстановлению ортонормальности , которые дороги для матриц, необходимо выполнять чаще.

Больше альтернатив матричному формализму

Как было показано выше, существуют три формализма вращения полилинейной алгебры : один с U(1) или комплексными числами для двух измерений и два других с версорами или кватернионами для трех и четырех измерений.

В общем случае (даже для векторов, снабженных неевклидовой квадратичной формой Минковского ) вращение векторного пространства может быть выражено как бивектор . Этот формализм используется в геометрической алгебре и, в более общем случае, в представлении групп Ли в алгебре Клиффорда .

В случае положительно определенной евклидовой квадратичной формы двойная накрывающая группа группы изометрий известна как группа Spin , . Ее удобно описывать в терминах алгебры Клиффорда. Единичные кватернионы дают группу . ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)}$

В неевклидовых геометриях

В сферической геометрии прямое движение ^{[ требуется разъяснение ]} n -мерной сферы ( пример эллиптической геометрии ) равносильно вращению ( n  + 1) -мерного евклидова пространства вокруг начала координат ( SO( n  + 1) ). При нечетном n большинство этих движений не имеют неподвижных точек на n -мерной сфере и, строго говоря, не являются вращениями сферы ; такие движения иногда называют переносами Клиффорда . ^{[ требуется цитирование ]} Вращения вокруг неподвижной точки в эллиптической и гиперболической геометриях не отличаются от евклидовых. ^{[ требуется разъяснение ]}

Аффинная геометрия и проективная геометрия не имеют отдельного понятия вращения.

В теории относительности

Обобщение вращения применяется в специальной теории относительности , где его можно рассматривать как работающее в четырехмерном пространстве, пространстве-времени , охватывающем три пространственных измерения и одно временное. В специальной теории относительности это пространство называется пространством Минковского , а четырехмерные вращения, называемые преобразованиями Лоренца , имеют физическую интерпретацию. Эти преобразования сохраняют квадратичную форму, называемую интервалом пространства-времени .

Если вращение пространства Минковского происходит в пространственноподобной плоскости, то это вращение совпадает с пространственным вращением в евклидовом пространстве. Напротив, вращение в плоскости, охватываемой пространственноподобным измерением и времениподобным измерением, является гиперболическим вращением , и если эта плоскость содержит ось времени системы отсчета, называется «усилением Лоренца». Эти преобразования демонстрируют псевдоевклидову природу пространства Минковского. Гиперболические вращения иногда описываются как отображения сжатия и часто появляются на диаграммах Минковского , которые визуализируют (1 + 1)-мерную псевдоевклидову геометрию на плоских рисунках. Изучение теории относительности имеет дело с группой Лоренца, порожденной пространственными вращениями и гиперболическими вращениями. ^[4]

В то время как вращения SO(3) в физике и астрономии соответствуют вращениям небесной сферы как 2-сферы в евклидовом 3-пространстве, преобразования Лоренца из SO(3;1) ⁺ вызывают конформные преобразования небесной сферы. Это более широкий класс преобразований сферы, известных как преобразования Мёбиуса .

Дискретные вращения

Важность

Вращения определяют важные классы симметрии : вращательная симметрия является инвариантностью относительно конкретного вращения . Круговая симметрия является инвариантностью относительно всех вращений вокруг фиксированной оси.

Как было сказано выше, евклидовы вращения применяются к динамике твердого тела . Более того, большая часть математического формализма в физике (например, векторное исчисление ) инвариантна к вращению; см. вращение для получения дополнительных физических аспектов. Евклидовы вращения и, в более общем смысле, симметрия Лоренца, описанная выше, считаются законами симметрии природы . Напротив, отражательная симметрия не является точным законом симметрии природы.

Обобщения

Комплексные матрицы , аналогичные действительным ортогональным матрицам, являются унитарными матрицами , которые представляют вращения в комплексном пространстве. Набор всех унитарных матриц в заданном измерении n образует унитарную группу степени n ; а ее подгруппа, представляющая собственные вращения (те, которые сохраняют ориентацию пространства), является специальной унитарной группой степени n . Эти комплексные вращения важны в контексте спиноров . Элементы используются для параметризации трехмерных евклидовых вращений (см. выше), а также соответствующих преобразований спина ( см. теорию представлений SU(2) ). ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

Смотрите также

• Главные оси самолета
• Изменение основы
• Диаграммы на SO(3)
• Вращения и отражения в двух измерениях
• КОРДИК
• Сжатие карт
• Матрица бесконечно малого вращения
• Иррациональное вращение
• Ориентация (геометрия)
• Формула вращения Родригеса
• Вращение осей
• Вихрь

Сноски

1. Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование алиби». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование псевдонимов». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
3. Лоунесто 2001, стр. 30.
4. Hestenes 1999, стр. 580–588.

Ссылки

• Хестенес, Дэвид (1999). Новые основы классической механики . Дордрехт : Kluwer Academic Publishers . ISBN 0-7923-5514-8.

• Lounesto, Pertti (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры . Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-00551-7.

• Брэннон, Ребекка М. (2002). «Обзор полезных теорем, включающих правильные ортогональные матрицы, относящиеся к трехмерному физическому пространству» (PDF) . Альбукерке : Sandia National Laboratories .