Версор

Кватернион нормы 1 (единичный кватернион)

В математике версор — это кватернион первой нормы ( единичный кватернион ). Каждый версор имеет вид

${\displaystyle q=\exp(a\mathbf {r} )=\cos a+\mathbf {r} \sin a,\quad \mathbf {r} ^{2}=-1,\quad a\in [0,\pi ],}$

где условие r ² = −1 означает, что r является векторным кватернионом единичной длины (или что первый компонент r равен нулю, а последние три компонента r представляют собой единичный вектор в трех измерениях). Соответствующее трехмерное вращение имеет угол 2 a относительно оси r в представлении ось-угол . В случае a = π/2 ( прямой угол ), то , и результирующий единичный вектор называется прямым версором . ${\displaystyle q=\mathbf {r} }$

Совокупность версоров с умножением кватернионов образует группу , а набор версоров представляет собой 3-сферу в 4-мерной алгебре кватернионов.

Презентация по 3- и 2-сферам

дуга AB + дуга BC = дуга AC

Гамильтон обозначил версор кватерниона q символом U q . Затем он смог отобразить общий кватернион в форме полярных координат.

q знак равно Т q U q ,

где T q — норма q . Норма версора всегда равна единице; следовательно, они занимают единичную 3-сферу в H . Примеры версоров включают восемь элементов группы кватернионов . Особое значение имеют правые версоры , имеющие угол π/2 . Эти версоры имеют нулевую скалярную часть, как и векторы длины один (единичные векторы). Правые версоры образуют сферу квадратных корней из −1 в алгебре кватернионов. Генераторы i , j и k являются примерами правых версоров, а также их аддитивных инверсий . Другие версоры включают двадцать четыре кватерниона Гурвица , которые имеют норму 1 и образуют вершины 24-клеточного полихорона.

Гамильтон определил кватернион как частное двух векторов. Версор можно определить как частное двух единичных векторов. Для любой фиксированной плоскости Π частное двух единичных векторов, лежащих в Π, зависит только от угла (направленного) между ними, такого же a , как и в представлении орт-угол версора, объясненном выше. Поэтому может быть естественным понимать соответствующие версоры как направленные дуги , соединяющие пары единичных векторов и лежащие на большом круге , образованном пересечением П с единичной сферой , где плоскость П проходит через начало координат. Дуги одного и того же направления и длины (или, того же, стягиваемого угла в радианах ) эквивалентны , т.е. определяют один и тот же версор.

Такая дуга, хотя и лежит в трехмерном пространстве , не представляет собой путь точки, вращающейся, как описано, с зажатым изделием с версором. Действительно, оно представляет собой левое умножающее действие версора на кватернионы, сохраняющее плоскость Π и соответствующий большой круг 3-векторов. Трехмерное вращение, определяемое версором, имеет угол, в два раза превышающий угол стягиваемой дуги, и сохраняет ту же плоскость. Это вращение вокруг соответствующего вектора r , перпендикулярного Π .

О трех единичных векторах Гамильтон пишет ^[1]

${\displaystyle q=\beta :\alpha =OB:OA\ }$и

${\displaystyle q'=\gamma :\beta =OC:OB}$

подразумевать

${\displaystyle q'q=\gamma :\alpha =OC:OA.}$

Умножение кватернионов нормы один соответствует (некоммутативному) «добавлению» дуг большого круга на единичной сфере. Любая пара больших кругов либо является одним и тем же кругом, либо имеет две точки пересечения . Следовательно, всегда можно переместить точку B и соответствующий вектор в одну из этих точек так, чтобы начало второй дуги совпадало с концом первой дуги.

Уравнение

${\displaystyle \exp(c\mathbf {r} )\exp(a\mathbf {s} )=\exp(b\mathbf {t} )\!}$

неявно задает представление единичного вектора угла для произведения двух версоров. Его решение является примером общей формулы Кэмпбелла-Бейкера-Хаусдорфа в теории групп Ли . Поскольку 3-сфера, представленная версорами, представляет собой 3-параметрическую группу Ли, практика с версорными композициями является шагом в теорию Ли . Очевидно, версоры — это образ экспоненциального отображения , примененного к шару радиуса π в кватернионном подпространстве векторов. ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Версоры представляют собой вышеупомянутые векторные дуги, и Гамильтон назвал эту групповую операцию «суммой дуг», но как кватернионы они просто умножаются.

Геометрия эллиптического пространства была описана как пространство версоров. ^[2]

Представление SO (3)

Ортогональная группа в трех измерениях, группа вращения SO(3) , часто интерпретируется с помощью версоров через внутренний автоморфизм, где u - версор. Действительно, если ${\displaystyle q\mapsto u^{-1}qu}$

${\displaystyle u=\exp(ar)}$и вектор s перпендикулярен r ,

затем

${\displaystyle u^{-1}su=s\cos 2a+sr\sin 2a}$

по расчету. ^[3] Плоскость изоморфна , и внутренний автоморфизм в силу коммутативности сводится к тождественному отображению. Поскольку кватернионы можно интерпретировать как алгебру двух комплексных измерений, действие вращения также можно рассматривать через специальную унитарную группу SU(2) . ${\displaystyle \{x+yr:(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\}\subset H}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

При фиксированном r версоры вида exp( a r ), где a  ∈  (−π, π] , образуют подгруппу , изоморфную группе окружностей . Орбиты левого действия умножения этой подгруппы являются слоями расслоения над 2-сфера, известная как расслоение Хопфа в случае r  =  i ; другие векторы дают изоморфные, но не тождественные расслоения. В 2003 году Дэвид В. Лайонс ^[4] написал: «Слои отображения Хопфа представляют собой круги в S3 ^» (стр. 95) Лайонс дает элементарное введение в кватернионы, чтобы объяснить расслоение Хопфа как отображение единичных кватернионов.

Версоры использовались для представления вращения сферы Блоха с умножением кватернионов. ^[5]

Эллиптическое пространство

Средства версоров иллюстрируют эллиптическую геометрию , в частности эллиптическое пространство , трехмерную область вращений. Версоры — это точки этого эллиптического пространства, хотя они относятся к вращениям в 4-мерном евклидовом пространстве . Учитывая два фиксированных версора u и v , отображение представляет собой эллиптическое движение . Если один из фиксированных версоров равен 1, то движение представляет собой клиффордовский перевод эллиптического пространства, названный в честь Уильяма Кингдона Клиффорда , который был сторонником этого пространства. Эллиптическая линия, проходящая через версор u , есть параллелизм в пространстве, выражаемый параллелями Клиффорда . Один из методов просмотра эллиптического пространства использует преобразование Кэли для отображения версоров в ${\displaystyle q\mapsto uqv}$ ${\displaystyle \{ue^{ar}:0\leq a<\pi \}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Гиперболический верс

Гиперболический версор является обобщением кватернионных версоров на неопределенные ортогональные группы , такие как группа Лоренца . Она определяется как величина вида

${\displaystyle \exp(a\mathbf {r} )=\cosh a+\mathbf {r} \sinh a}$где ${\displaystyle \mathbf {r} ^{2}=+1.}$

Такие элементы возникают в алгебрах смешанной сигнатуры , например расщепляемые комплексные числа или расщепляемые кватернионы . Именно алгебра тессаринов , открытая Джеймсом Коклом в 1848 году, впервые предоставила гиперболические версоры. Фактически, Джеймс Кокл написал приведенное выше уравнение (с j вместо r ), когда обнаружил, что тессарины включают в себя новый тип воображаемого элемента.

Этот версор использовался Гомершамом Коксом (1882/83) применительно к умножению кватернионов. ^{[6] [7]} Основным сторонником гиперболических версоров был Александр Макфарлейн , когда он работал над формированием теории кватернионов для служения физической науке. ^[8] Он увидел возможности моделирования гиперболических версоров, работающих на плоскости расщепленных комплексных чисел, и в 1891 году ввел гиперболические кватернионы , чтобы расширить эту концепцию до 4-мерного пространства. Проблемы в этой алгебре привели к использованию бикватернионов после 1900 года. В широко распространенном обзоре 1899 года Макфарлейн сказал:

... корень квадратного уравнения может быть версорным или скалярным по своей природе. Если это версор по своей природе, то часть, на которую воздействует радикал, включает в себя ось, перпендикулярную плоскости отсчета, и это так, независимо от того, включает ли радикал квадратный корень из минус единицы или нет. В первом случае версор круглый, во втором — гиперболический. ^[9]

Сегодня концепция однопараметрической группы включает в себя концепции версора и гиперболического версора, поскольку терминология Софуса Ли заменила терминологию Гамильтона и Макфарлейна. В частности, для каждого r такого, что rr = +1 или rr = −1 , отображение переводит действительную прямую в группу гиперболических или обычных версоров. В обычном случае, когда r и − r являются антиподами на сфере, однопараметрические группы имеют одинаковые точки, но противоположно направлены. В физике этот аспект вращательной симметрии называется дублетом . ${\displaystyle a\mapsto \exp(a\,\mathbf {r} )}$

В 1911 году Альфред Робб опубликовал свою работу «Оптическая геометрия движения» , в которой определил параметр быстроты , который определяет изменение системы отсчета . Этот параметр быстроты соответствует действительной переменной в однопараметрической группе гиперболических версоров. С дальнейшим развитием специальной теории относительности действие гиперболического версора стало называться усилением Лоренца .

Теория лжи

Софусу Ли было меньше года, когда Гамильтон впервые описал кватернионы, но имя Ли стало ассоциироваться со всеми группами, генерируемыми возведением в степень. Множество версоров с их умножением было обозначено Робертом Гилмором в его тексте по теории Ли как Sl(1,q). ^[10] Sl(1,q) — специальная линейная группа одного измерения над кватернионами, «специальная» указывает на то, что все элементы имеют норму один. Группа изоморфна SU(2,c), специальной унитарной группе , часто используемому обозначению, поскольку кватернионы и версоры иногда считаются архаичными для теории групп. Специальная ортогональная группа SO(3,r) вращений в трех измерениях тесно связана с ней: это гомоморфный образ SU(2,c) 2:1.

Подпространство называется алгеброй Ли группы версоров. Коммутаторное произведение, в два раза превышающее векторное произведение двух векторов, образует умножение в алгебре Ли. Тесная связь с SU(1,c) и SO(3,r) проявляется в изоморфизме их алгебр Ли. ^[10] ${\displaystyle \{xi+yj+zk:x,y,z\in R\}\subset H}$ ${\displaystyle [u,v]=uv-vu\ ,}$

Группы Ли, содержащие гиперболические версоры, включают группу единичной гиперболы и специальную унитарную группу SU(1,1) .

Этимология

Слово происходит от латинского versari = «поворачивать» с суффиксом - или образует существительное от глагола (т.е. versor = «токарь»). Он был введен Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1840-х годах в контексте его теории кватернионов .

Смотрите также

• цис (математика) ( цис( x ) = cos( x ) + я sin( x ) )
• Кватернионы и пространственное вращение
• Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве
• Поворот (геометрия)

Примечания

1. Элементы кватернионов , 2-е издание, т. 1, с. 146
2. Гарольд Скотт Макдональд Коксетер (1950) Обзор «Кватернионов и эллиптического пространства» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} ( Жоржа Леметра ) из Mathematical Reviews
3. Представление вращения
4. Лайонс, Дэвид В. (апрель 2003 г.), «Элементарное введение в расслоение Хопфа» (PDF) , Mathematics Magazine , 76 (2): 87–98, CiteSeerX  10.1.1.583.3499 , doi : 10.2307/3219300, ISSN  0025-570X, JSTOR  3219300
5. КБ Уортон, Д. Кох (2015) «Единичные кватернионы и сфера Блоха», Journal of Physics A 48 (23) doi : 10.1088/1751-8113/48/23/235302 MR 3355237
6. Кокс, Х. (1883) [1882]. «О применении кватернионов и Ausdehnungslehre Грассмана к различным видам однородного пространства». Труды Кембриджского философского общества . 13 : 69–143.
7. Кокс, Х. (1883) [1882]. «О применении кватернионов и Ausdehnungslehre Грассмана к различным видам однородного пространства». Учеб. Кэмб. Фил. Соц . 4 : 194–196.
8. Александр Макфарлейн (1894) Статьи по космическому анализу, особенно статьи № 2, 3 и 5, Б. Вестерман, Нью-Йорк, веб-ссылка с archive.org
9. Наука , 9:326 (1899)
10. Роберт Гилмор (1974) Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения , глава 5: Некоторые простые примеры, страницы 120–35, Wiley ISBN 0-471-30179-5 . Гилмор обозначает действительные, комплексные и кватернионные алгебры с делением. на r, c и q, а не на более распространенные R, C и H. 

Рекомендации

• Уильям Роуэн Гамильтон (1844–1850) «О кватернионах или новой системе воображаемых чисел в алгебре», «Философский журнал» , ссылка на коллекцию Дэвида Р. Уилкинса в Тринити-колледже в Дублине .
• Уильям Роуэн Гамильтон (1899) Элементы кватернионов , 2-е издание, под редакцией Чарльза Джаспера Джоли, Longmans Green & Company. См. стр. 135–147.
• Артур Шерберн Харди (1887) Элементы кватернионов , стр. 71,2 «Представление версоров сферическими дугами» и стр. 112–8 «Приложения к сферической тригонометрии».
• Артур Стаффорд Хэтэуэй (1896) Букварь по кватернионам, Глава 2: Повороты, вращения, дуговые шаги, из проекта Гутенберг
• Сибелле Селестино Сильва, Роберто де Андраде Мартинс (2002) «Полярные и осевые векторы против кватернионов», Американский журнал физики 70:958. Раздел IV: Версоры и унитарные векторы в системе кватернионов. Раздел V: Версор и унитарные векторы в векторной алгебре.
• Питер Моленбрук (1891) Theorie der Quaternionen , Seite 48, «Darstellung der Versoren mittelst Bogen auf der Einheitskugel», Лейден: Brill.

Внешние ссылки

• Версор в Математической энциклопедии .
• Учебное пособие Луиса Ибаньеса по кватернионам. Архивировано 4 февраля 2012 г. в Wayback Machine из Национальной медицинской библиотеки.