В математике кватернион Гурвица (или целое число Гурвица ) — это кватернион , компоненты которого являются либо всеми целыми числами , либо всеми полуцелыми числами (половинами нечетных целых чисел; смесь целых и полуцелых чисел исключается). Множество всех кватернионов Гурвица — это
То есть, либо a , b , c , d являются целыми числами, либо они все являются полуцелыми числами. H замкнуто относительно умножения и сложения кватернионов, что делает его подкольцом кольца всех кватернионов H . Кватернионы Гурвица были введены Адольфом Гурвицем (1919).
Кватернион Липшица (или целое число Липшица ) — это кватернион, все компоненты которого являются целыми числами. Набор всех кватернионов Липшица
образует подкольцо кватернионов Гурвица H. Целые числа Гурвица имеют то преимущество перед целыми числами Липшица, что над ними можно выполнять евклидово деление , получая небольшой остаток.
Кватернионы Гурвица и Липшица являются примерами некоммутативных областей , которые не являются телами .
Как аддитивная группа , H является свободной абелевой с образующими {(1 + i + j + k ) / 2, i , j , k }. Поэтому она образует решетку в R 4 . Эта решетка известна как решетка F 4 , поскольку она является корневой решеткой полупростой алгебры Ли F 4 . Липшицевы кватернионы L образуют подрешетку индекса 2 алгебры H .
Группа единиц в L — это группа кватернионов порядка 8 Q = {±1, ± i , ± j , ± k }. Группа единиц в H — это неабелева группа порядка 24, известная как бинарная тетраэдрическая группа . Элементы этой группы включают 8 элементов Q вместе с 16 кватернионами {(±1 ± i ± j ± k ) / 2}, где знаки могут быть взяты в любой комбинации. Группа кватернионов — это нормальная подгруппа бинарной тетраэдрической группы U( H ). Элементы U( H ), все из которых имеют норму 1, образуют вершины 24-клетки , вписанной в 3-сферу .
Кватернионы Гурвица образуют порядок (в смысле теории колец ) в кольце деления кватернионов с рациональными компонентами. Фактически это максимальный порядок ; это объясняет его важность. Кватернионы Липшица, которые являются более очевидным кандидатом на идею целочисленного кватерниона , также образуют порядок. Однако этот последний порядок не является максимальным и, следовательно, (как оказывается) менее пригоден для разработки теории левых идеалов , сравнимой с теорией алгебраических чисел . Таким образом, Адольф Гурвиц понял, что это определение целочисленного кватерниона Гурвица является лучшим для работы. Для некоммутативного кольца, такого как H , максимальные порядки не обязательно должны быть уникальными, поэтому необходимо зафиксировать максимальный порядок, перенося концепцию алгебраического целого числа .
(Арифметическая или полевая) норма кватерниона Гурвица a + bi + cj + dk , заданная как a 2 + b 2 + c 2 + d 2 , всегда является целым числом. По теореме Лагранжа каждое неотрицательное целое число может быть записано в виде суммы не более четырех квадратов . Таким образом, каждое неотрицательное целое число является нормой некоторого кватерниона Липшица (или Гурвица). Точнее, число c ( n ) кватернионов Гурвица заданной положительной нормы n в 24 раза больше суммы нечетных делителей n . Производящая функция чисел c ( n ) задается модулярной формой веса 2 уровня 2
где
и
— ряд Эйзенштейна уровня 1 веса 2 (который является квазимодулярной формой ), а σ 1 ( n ) — сумма делителей n .
Целое число Гурвица называется неприводимым, если оно не равно 0 или единице и не является произведением неединиц. Целое число Гурвица является неприводимым тогда и только тогда, когда его норма является простым числом . Неприводимые кватернионы иногда называют простыми кватернионами, но это может ввести в заблуждение, поскольку они не являются простыми числами в обычном смысле коммутативной алгебры : неприводимый кватернион может делить произведение ab, не деля ни a, ни b . Каждый кватернион Гурвица можно разложить на множители как произведение неприводимых кватернионов. Эта факторизация в общем случае не является уникальной, даже с точностью до единиц и порядка, потому что положительное нечетное простое число p можно записать 24( p +1) способами как произведение двух неприводимых кватернионов Гурвица нормы p , и для больших p они не могут быть все эквивалентны при левом и правом умножении на единицы, поскольку имеется только 24 единицы. Однако, если исключить этот случай, то существует версия уникальной факторизации. Точнее, каждый кватернион Гурвица может быть записан единственным образом как произведение положительного целого числа и примитивного кватерниона (кватернион Гурвица, не делящийся ни на какое целое число, большее 1). Факторизация примитивного кватерниона на неприводимые единственна с точностью до порядка и единиц в следующем смысле: если
и
являются двумя факторизациями некоторого примитивного кватерниона Гурвица в неприводимые кватернионы, где p k имеет ту же норму, что и q k для всех k , тогда
для некоторых единиц u k .
Обычные целые числа и гауссовы целые числа допускают деление с остатком или евклидово деление .
Для положительных целых чисел N и D всегда существует частное Q и неотрицательный остаток R такие, что
Для комплексных или гауссовых целых чисел N = a + i b и D = c + i d с нормой N( D ) > 0 всегда существуют Q = p + i q и R = r + i s такие, что
Однако для целых чисел Липшица N = ( a , b , c , d ) и D = ( e , f , g , h ) может случиться, что N( R ) = N( D ). Это побудило перейти к целым числам Гурвица, для которых условие N( R ) < N( D ) гарантировано. [1]
Многие алгоритмы основаны на делении с остатком, например, алгоритм Евклида для наибольшего общего делителя .