Граница 24-клеток состоит из 24 октаэдрических ячеек, по шесть сходящихся в каждой вершине и по три на каждом ребре. Вместе они имеют 96 треугольных граней, 96 ребер и 24 вершины. Вершинная фигура представляет собой куб . 24-ячейка самодвойственна . [a] 24-клеточный и тессеракт — единственные выпуклые правильные 4-многогранники, в которых длина ребра равна радиусу. [б]
У 24-клеточного нет обычного аналога в 3-х измерениях. Это единственный из шести выпуклых правильных 4-многогранников, который не является четырехмерным аналогом одного из пяти правильных платоновых тел. Это единственный правильный многогранник в любом количестве измерений, который не имеет правильного аналога в соседнем измерении, ни внизу, ни вверху. [4] Однако его можно рассматривать как аналог пары неправильных тел: кубооктаэдра и двойственного ему ромбического додекаэдра . [5]
Переведенные копии 24-ячеечных ячеек могут выстраивать четырехмерное пространство лицом к лицу, образуя 24-клеточные соты . Как многогранник, который можно замостить путем перевода, 24-клеточный является примером параллелотопа , простейшего из них, который также не является зонотопом . [6]
Геометрия
24-ячеечный включает в себя геометрию каждого выпуклого правильного многогранника в первых четырех измерениях, за исключением 5-ячеечного, тех, у которых в символе Шлефли есть цифра 5, [ c] и правильных многоугольников с 7 или более сторонами. Особенно полезно исследовать 24-ячейку, поскольку можно увидеть геометрические отношения между всеми этими правильными многогранниками в одной 24-ячейке или ее сотах .
24-клеточный является четвертым в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности). [d] Его можно разобрать на 3 перекрывающихся экземпляра своего предшественника, тессеракта ( 8-ячеечного), так же как 8-ячеечный можно разобрать на 2 перекрывающихся экземпляра своего предшественника, 16-ячеечного . [8] Обратная процедура построения каждого из них из экземпляра его предшественника сохраняет радиус предшественника, но обычно создает преемника с меньшей длиной ребра. [э]
Эти координаты [9] можно построить как, выпрямляя 16 -клеточнуюс 8 перестановками вершин (±2,0,0,0). Вершинная фигура 16-клеточного числа — октаэдр ; таким образом, разрезание вершин 16-ячеистой ячейки в середине ее инцидентных ребер дает 8 октаэдрических ячеек. Этот процесс [10] также выпрямляет тетраэдрические ячейки 16-ячеечной системы, которые становятся 16 октаэдрами, давая 24-ячеечной 24 октаэдрические ячейки.
В этой системе отсчета 24-клетка имеет ребра длиной √ 2 и вписана в 3-сферу радиуса √ 2 . Примечательно, что длина ребра равна радиусу описанной окружности, как в шестиугольнике или кубооктаэдре . Такие многогранники радиально равносторонние . [б]
24 вершины образуют 18 больших квадратов [f] (3 набора по 6 ортогональных [h] центральных квадратов), 3 из которых пересекаются в каждой вершине. Если просмотреть только один квадрат в каждой вершине, 24 ячейки можно рассматривать как вершины трех пар полностью ортогональных [g] больших квадратов, которые не пересекаются [k] ни в одной вершине. [л]
Шестиугольники
24-ячейка самодвойственна , имеет такое же количество вершин (24), что и ячейки, и такое же количество ребер (96), что и грани.
Если двойная к вышеуказанным 24 ячейкам с длиной ребра √ 2 взять путем возвратно-поступательного движения вокруг вписанной сферы, будет найдена еще одна 24-ячейка, имеющая длину ребра и радиус описанной окружности 1, и ее координаты откроют большую структуру. В этой системе отсчета 24-ячейка лежит вершиной вверх, и ее вершины можно задать следующим образом:
все 24 из которых лежат на расстоянии 1 от начала координат.
Если рассматривать их как кватернионы, [m] это единичные кватернионы Гурвица .
24-ячейка имеет единичный радиус и единичную длину ребра [b] в этой системе координат. Мы называем эту систему координатами единичного радиуса , чтобы отличить ее от других, таких как координаты радиуса √ 2 , использованные выше. [н]
24 вершины и 96 ребер образуют 16 неортогональных больших шестиугольников, [q] четыре из которых пересекаются [k] в каждой вершине. [s] Если рассматривать только один шестиугольник в каждой вершине, 24-ячейку можно рассматривать как 24 вершины 4 непересекающихся больших шестиугольных кругов, которые по Клиффорду параллельны друг другу. [т]
12 осей и 16 шестиугольников 24-клетки составляют конфигурацию Рея , которая на языке конфигураций записывается как 12 4 16 3 , чтобы указать, что каждая ось принадлежит 4 шестиугольникам, а каждый шестиугольник содержит 3 оси. [11]
Треугольники
24 вершины образуют 32 равносторонних больших треугольника с длиной ребра √ 3 в 24-ячейке единичного радиуса [w] , вписанных в 16 больших шестиугольников. [x] Каждый большой треугольник представляет собой кольцо, соединяющее три совершенно непересекающихся [y] больших квадрата. [аб]
Гиперкубические аккорды
Геометрия вершин радиально равносторонней [b] 24-клетки, показывающая 3 многоугольника большого круга и 4 длины хорд между вершинами.
24 вершины 24-ячейки распределены [12] на четырех разных длинах хорд друг от друга: √ 1 , √ 2 , √ 3 и √ 4 .
Каждая вершина соединена с 8 другими [ac] ребром длиной 1, охватывающим 60° =π/3дуги. Следующие ближайшие идут 6 вершин [ad] , расположенных под углом 90° =π/2в сторону, по внутренней хорде длины √ 2 . Еще 8 вершин лежат под углом 120° =2 π/3в сторону, по внутренней хорде длины √ 3 . [ae] Противоположная вершина находится на расстоянии 180 ° = π по диаметру длиной 2. Наконец, поскольку 24-ячейка радиально равносторонняя, ее центр находится на расстоянии 1 ребра от всех вершин.
Чтобы визуализировать, как внутренние многогранники 24-клеточного многогранника сочетаются друг с другом (как описано ниже), имейте в виду, что четыре длины хорд ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) представляют собой большие диаметры гиперкубов размерностей 1. до 4: длинный диаметр квадрата равен √ 2 ; длинный диаметр куба равен √ 3 ; а длинный диаметр тессеракта равен √ 4 . [af] Более того, длинный диаметр октаэдра равен √ 2 , как и квадрат; а длинный диаметр самой 24-клеточной ячейки равен √ 4 , как и у тессеракта. В 24-клетке хорды √ 2 — это края центральных квадратов, а хорды √ 4 — диагонали центральных квадратов.
Геодезика
Стереографическая проекция 16 центральных шестиугольников 24-клеток на их большие круги. Каждый большой круг разделен на 6 дуговых ребер в местах пересечения четырех больших кругов.
Вершинные хорды 24-ячеечной ячейки расположены в виде геодезических многоугольников большого круга . [ah] Геодезическое расстояние между двумя 24-клеточными вершинами на пути из √ 1 ребра всегда равно 1, 2 или 3, и оно равно 3 только для противоположных вершин. [ай]
Ребра √ 1 расположены в 16 больших шестиугольных кругах (в плоскостях, наклоненных под углом 60 градусов друг к другу), 4 из которых пересекают [s] в каждой вершине. [r] 96 различных ребер √ 1 делят поверхность на 96 треугольных граней и 24 октаэдрических ячейки: 24 ячейки. 16 больших шестиугольных кругов можно разделить на 4 набора по 4 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда , так что только один большой шестиугольный круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 4 шестиугольника в каждом наборе достигают всех 24 вершин. [ал]
Хорды √ 2 образуют 18 больших квадратных кругов (3 набора по 6 ортогональных плоскостей [j] ), 3 из которых пересекаются в каждой вершине. [am] 72 различных хорды √ 2 не проходят в тех же плоскостях, что и большие шестиугольные круги; они не следуют за краями 24-клеток, а проходят через центры ее восьмиугольных ячеек. [an] Хорды 72 √ 2 — это 3 ортогональные оси 24 октаэдрических ячеек, соединяющие вершины, находящиеся на расстоянии 2 √ 1 ребра друг от друга. 18 больших квадратных кругов можно разделить на 3 набора по 6 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда [ag] так, что только один большой квадратный круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 6 квадратов в каждом наборе достигают всех 24 вершин. [ар]
Хорды √ 3 расположены в 32 больших треугольных кругах в 16 плоскостях, 4 из которых пересекаются в каждой вершине. [ae] 96 различных хорд √ 3 [w] проходят от вершины к каждой другой вершине в тех же плоскостях, что и большие шестиугольные круги. [x] Это три ребра 32 больших треугольников, вписанных в 16 больших шестиугольников, соединяющих вершины большого круга, находящиеся на расстоянии 2 √ 1 ребра друг от друга. [в]
Хорды √ 4 представляют собой 12 диаметров между вершинами (3 набора по 4 ортогональных оси), 24 радиуса вокруг 25-й центральной вершины.
Сумма квадратов длин [as] всех этих различных хорд 24-клетки равна 576 = 24 2 . [at] Это все центральные многоугольники через вершины, но в 4-мерном пространстве на 3-сфере есть геодезические, которые вообще не лежат в центральных плоскостях. Между двумя 24-клеточными вершинами существуют геодезические кратчайшие пути, которые являются спиральными, а не просто круговыми; они соответствуют диагональным изоклиническим вращениям, а не простым вращениям. [ау]
Ребра √ 1 встречаются в 48 параллельных парах на расстоянии √ 3 друг от друга. Хорды √ 2 встречаются в 36 параллельных парах на расстоянии √ 2 друг от друга. Хорды √ 3 встречаются в 48 параллельных парах на расстоянии √ 1 друг от друга. [средний]
Центральные плоскости 24-клеточной ячейки можно разделить на 4 ортогональные центральные гиперплоскости (3-пространства), каждая из которых образует кубооктаэдр . Большие шестиугольники расположены на расстоянии 60 градусов друг от друга; большие квадраты расположены на расстоянии 90 или 60 градусов друг от друга; Большой квадрат и большой шестиугольник находятся на расстоянии 90 градусов и 60 градусов друг от друга. [ax] Каждый набор подобных центральных многоугольников (квадратов или шестиугольников) можно разделить на 4 набора непересекающихся параллельных многоугольников Клиффорда (из 6 квадратов или 4 шестиугольников). [ay] Каждый набор параллельных больших кругов Клиффорда представляет собой параллельный пучок расслоений , который посещает все 24 вершины только один раз.
Каждый большой круг пересекается [k] с другими большими кругами, которым он не параллелен Клиффорду, на одном диаметре √ 4 24-клетки. [az] Большие круги, которые полностью ортогональны [g] или, иначе, параллельны Клиффорду [ag], вообще не пересекаются: они проходят через непересекающиеся множества вершин. [ба]
Конструкции
Треугольники и квадраты объединяются уникальным образом в 24-ячейке, образуя в качестве внутренних элементов [bb] все правильные выпуклые многогранники с треугольными и квадратными гранями в первых четырех измерениях (с оговорками для 5-ячеечных и 600 -ячеечных многогранников). -клетка ). [bc] Следовательно, существует множество способов построить или деконструировать 24-клеточную структуру.
Взаимные конструкции из 8- и 16-клеточных
8 целочисленных вершин (±1, 0, 0, 0) являются вершинами обычной 16-клеточной ячейки , а 16 полуцелых вершин (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2) являются вершинами его двойника, тессеракта ( 8-клеточного). [21] Тессеракт дает конструкцию Госсета [22] из 24 ячеек, эквивалентную разрезанию тессеракта на 8 кубических пирамид , а затем прикреплению их к граням второго тессеракта. Аналогичная конструкция в трехмерном пространстве дает ромбдодекаэдр , который, однако, не является правильным. [bd] 16-ячеечная конструкция дает обратную конструкцию 24-клеточной, конструкцию Чезаро, [23] эквивалентную исправлению 16-ячеечной (усечению ее углов на средних краях, как описано выше). Аналогичная конструкция в трехмерном пространстве дает кубооктаэдр (двойственный ромбододекаэдру), который, однако, не является правильным. Тессеракт и 16-клеточный — единственные правильные 4-многогранники в 24-клеточном. [24]
Далее мы можем разделить 16 полуцелых вершин на две группы: те, координаты которых содержат четное количество знаков минус (-), и вершины с нечетным числом. Каждая из этих групп по 8 вершин также определяет правильную 16-клетку. Это показывает, что вершины 24-ячеечной структуры могут быть сгруппированы в три непересекающихся набора по восемь ячеек, причем каждый набор определяет регулярную 16-ячеечную структуру, а дополнение определяет двойственный тессеракт. [25] Это также показывает, что симметрии 16-клетки образуют подгруппу индекса 3 группы симметрии 24-клетки. [аа]
Уменьшения
Мы можем фасетовать 24-клетку, разрезая [be] внутренние ячейки, ограниченные хордами вершин, чтобы удалить вершины, обнажая грани внутренних 4-многогранников, вписанных в 24-клетку. Можно разрезать 24-клетку через любой плоский шестиугольник с 6 вершинами, любой плоский прямоугольник с 4 вершинами или любой треугольник с 3 вершинами. Центральные плоскости большого круга (вверху) — лишь некоторые из этих плоскостей. Здесь мы рассмотрим некоторые другие: грани [bf] внутренних многогранников. [бг]
8-ячеечный
Начиная с полных 24 ячеек, удалите 8 ортогональных вершин (4 противоположные пары на 4 перпендикулярных осях) и 8 ребер, исходящих от каждой, разрезав 8 кубических ячеек, ограниченных √ 1 ребром, чтобы удалить 8 кубических пирамид , вершины которых вершины, которые нужно удалить. При этом из каждого большого шестиугольного круга удаляются 4 ребра (остается только одна пара противоположных ребер), поэтому непрерывных больших шестиугольных кругов не остается. Теперь 3 перпендикулярных ребра встречаются и образуют угол куба в каждой из 16 оставшихся вершин, [bh] , а 32 оставшихся ребра делят поверхность на 24 квадратных грани и 8 кубических ячеек: тессеракт . Сделать это можно тремя способами (выберите набор из 8 ортогональных вершин из 24), поэтому в 24-клетку вписано три таких тессеракта. [v] Они перекрываются друг с другом, но большинство их наборов элементов не пересекаются: у них общее количество вершин, но нет длины ребра, площади грани или объема ячейки. [bi] У них есть общий 4-контент, их общее ядро. [bj]
16-ячеечный
Начиная с полной 24-ячейки, удалите 16 вершин тессеракта (сохранив 8 вершин, которые вы удалили выше), разрезав 16 тетраэдрических ячеек, ограниченных √ 2 хордами , чтобы удалить 16 тетраэдрических пирамид , вершины которых являются вершинами, которые нужно удалить. При этом удаляются 12 больших квадратов (сохраняется только один ортогональный набор) и все √ 1 ребра, открывая √ 2 хорды как новые ребра. Теперь оставшиеся 6 больших квадратов пересекаются перпендикулярно, по 3 в каждой из 8 оставшихся вершин, [bk] и их 24 ребра делят поверхность на 32 треугольные грани и 16 тетраэдрических ячеек: 16-клеточный . Это можно сделать тремя способами (удалить 1 из 3 наборов вершин тессеракта), поэтому в 24-клетку вписано три таких 16-ячейки. [z] Они перекрываются друг с другом, но все их наборы элементов не пересекаются: [y] у них нет общего количества вершин, длины ребра, [bl] или площади грани, но у них есть общий объем ячеек. У них также есть 4-контент, их общее ядро. [bj]
Тетраэдрические конструкции
24-ячейка может быть построена радиально из 96 равносторонних треугольников с длиной ребра √ 1 , которые встречаются в центре многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро. [b] Они образуют 96 √ 1 тетраэдров (каждый из которых составляет одну грань из 24 ячеек), все они имеют общую 25-ю центральную вершину. Они образуют 24 октаэдрические пирамиды (полу-16 ячеек) с вершинами в центре.
24-ячейку можно построить из 96 равносторонних треугольников с длиной ребра √ 2 , где три вершины каждого треугольника расположены под углом 90° =π/2друг от друга на 3-сфере. Они образуют 48 √ 2 тетраэдров (ячейки трех 16-ячеек), с центром в 24 радиусах средних ребер 24-ячеек. [бл]
24-клетка, три тессеракта и три 16-клетки глубоко переплетены вокруг общего центра и пересекаются в общем ядре. [bj] Тессеракты и 16-ячейки повернуты на 60° изоклинически [o] относительно друг друга. Это означает, что соответствующие вершины двух тессерактов или двух 16-клеток находятся на расстоянии √3 ( 120°) друг от друга. [в]
Тессеракты вписаны в 24-клетку [bn] так, что их вершины и ребра являются внешними элементами 24-клетки, а их квадратные грани и кубические ячейки лежат внутри 24-клетки (они не являются элементами 24-клетки). ). 16-клетки вписаны в 24-клетку [бо] так, что только их вершины являются внешними элементами 24-клетки: их ребра, треугольные грани и тетраэдрические ячейки лежат внутри 24-клетки. Внутренние [bp] 16-клеточные ребра имеют длину √ 2 . [аб]
Рисунок Кеплера тетраэдров в кубе. [28]
В тессеракты также вписаны 16-клеток: их √ 2 ребра являются диагоналями граней тессеракта, а их 8 вершин занимают каждую вторую вершину тессеракта. В каждый тессеракт вписаны две 16-клетки (занимающие противоположные вершины и диагонали грани), поэтому каждая 16-клетка вписана в две из трёх 8-клеток. [29] [aa] Это напоминает способ, как в трёх измерениях два противоположных правильных тетраэдра могут быть вписаны в куб, как это открыл Кеплер. [28] Фактически это точная размерная аналогия ( полугиперкубы ), и 48 тетраэдрических ячеек вписаны в 24 кубические ячейки именно таким образом. [30] [бл]
24-ячейка заключает три тессеракта в оболочку из октаэдрических граней, оставляя в некоторых местах четырехмерное пространство между ее оболочкой и оболочкой из кубов каждого тессеракта. Каждый тессеракт заключает в себе две из трех 16-ячеек, оставляя в некоторых местах 4-мерное пространство между его оболочкой и оболочкой из тетраэдров каждой 16-ячейки. Таким образом, существуют измеримые [7] 4-мерные промежутки [bq] между 24-, 8- и 16-клеточными оболочками. Формы, заполняющие эти пробелы, представляют собой 4-пирамиды , упомянутые выше. [бр]
Граничные клетки
Несмотря на четырехмерные промежутки между 24-, 8- и 16-клеточными оболочками, их трехмерные объемы перекрываются. Различные оболочки в одних местах разделены, а в других соприкасаются (где между ними не лежит 4-пирамида). Там, где они соприкасаются, они сливаются и делят объем клеток: в этих местах они представляют собой одну и ту же 3-мембрану, а не два отдельных, а смежных трехмерных слоя. [bt] Поскольку всего конвертов 7, есть места, где несколько конвертов сходятся вместе и сливаются в объем, а также места, где конверты взаимопроникают (пересекаются изнутри наружу друг друга).
Некоторые внутренние особенности лежат в пределах 3-пространства (внешней) граничной оболочки самой 24-клетки: каждая октаэдрическая ячейка разделена пополам тремя перпендикулярными квадратами (по одному от каждого из тессерактов), а диагонали этих квадратов (которые пересекают друг другу перпендикулярно в центре октаэдра) представляют собой 16-клеточные ребра (по одному от каждой 16-клетки). Каждый квадрат делит октаэдр пополам на две квадратные пирамиды, а также связывает две соседние кубические ячейки тессеракта вместе, образуя их общую грань. [бс]
Как мы видели выше, 16-клеточные √ 2 тетраэдрические ячейки вписаны в тессеракт √ 1 кубические ячейки, имеющие одинаковый объем. 24-ячеечные √ 1 октаэдрические ячейки перекрывают своим объемом √ 1 кубические ячейки: они разделены квадратной гранью пополам на две квадратные пирамиды, [32] вершины которых также лежат в вершине куба. [bu] Октаэдры делят объем не только с кубами, но и с вписанными в них тетраэдрами; таким образом, 24-клеточные, тессеракты и 16-ячеечные имеют общий граничный объем. [бт]
В качестве конфигурации
Эта матрица конфигурации [33] представляет собой 24 ячейки. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа показывают, сколько каждого элемента встречается во всей 24-клеточной ячейке. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.
Поскольку 24-ячейка самодвойственна, ее матрица идентична повороту на 180 градусов.
Симметрии, корневые системы и мозаика
Соединение 24 вершин 24-ячеечного (красные узлы) и его немасштабированного двойника (желтые узлы) представляют собой 48 корневых векторов группы F 4 , как показано на этой проекции плоскости Кокстера F 4 .
24 корневых вектора корневой системы D 4 простой группы Ли SO(8) образуют вершины 24-клетки. Вершины можно увидеть в 3 гиперплоскостях , [aw] с 6 вершинами ячейки октаэдра на каждой из внешних гиперплоскостей и 12 вершинами кубооктаэдра на центральной гиперплоскости. Эти вершины в сочетании с 8 вершинами 16-клеточного , представляют 32 корневых вектора простых групп Ли B 4 и C 4 .
48 вершин (или, строго говоря, их радиус-векторы) объединения 24-клетки и двойственной ей образуют корневую систему типа F 4 . [35] 24 вершины исходной 24-клеточной ячейки образуют корневую систему типа D 4 ; его размер имеет соотношение √ 2 :1. Это справедливо и для 24 вершин его двойника. Полная группа симметрии 24-клетки — это группа Вейля F 4 , которая генерируется отражениями через гиперплоскости, ортогональные корням F 4 . Это разрешимая группа порядка 1152. Группа вращательной симметрии 24-клетки имеет порядок 576.
При интерпретации как кватернионы [ m] корневая решетка F 4 (которая представляет собой целую совокупность вершин 24-клетки) замкнута при умножении и, следовательно, является кольцом . Это кольцо интегральных кватернионов Гурвица . Вершины 24-клеточной ячейки образуют группу единиц (т.е. группу обратимых элементов) в кольце кватернионов Гурвица (эта группа также известна как бинарная тетраэдрическая группа ). Вершины 24-ячейки - это в точности 24 кватерниона Гурвица с квадратом нормы 1, а вершины двойственной 24-ячейки - это вершины с квадратом нормы 2. Корневая решетка D 4 является двойственной к F 4 и задается формулой подкольцо кватернионов Гурвица с четным квадратом нормы. [37]
Если рассматривать их как 24-элементные кватернионы Гурвица , координаты единичного радиуса 24-ячейки представляют (в антиподальных парах) 12 вращений правильного тетраэдра. [38]
Вершины других выпуклых правильных 4-многогранников также образуют мультипликативные группы кватернионов, но лишь немногие из них порождают корневую решетку. [39]
Клетки Вороного
Ячейки Вороного корневой решетки D 4 представляют собой правильные 24-клетки. Соответствующая мозаика Вороного дает мозаику 4-мерного евклидова пространства обычными 24 ячейками, 24-клеточными сотами . 24 ячейки центрированы в точках решетки D 4 (кватернионы Гурвица с четным квадратом нормы), а вершины находятся в точках решетки F 4 с квадратом нечетной нормы. Каждая 24-ячейка этой мозаики имеет 24 соседа. С каждым из них он разделяет октаэдр. У него также есть 24 других соседа, с которыми он разделяет только одну вершину. Восемь 24-клеток встречаются в любой вершине этой мозаики. Символ Шлефли для этой мозаики — {3,4,3,3}. Это одна из трех правильных мозаик R 4 .
Двойная тесселяция сот из 24 ячеек {3,4,3,3} представляет собой сот из 16 ячеек {3,3,4,3} . Третья регулярная мозаика четырехмерного пространства — это тессерактические соты {4,3,3,4} , вершины которых можно описать 4-целыми декартовыми координатами. [m] Конгруэнтные отношения между этими тремя мозаиками могут быть полезны при визуализации 24-клеточной структуры, в частности радиальной равносторонней симметрии, которую она разделяет с тессерактом. [б]
Соты с единичной длиной ребра, равные 24 ячейкам, могут быть наложены на соты, состоящие из тессерактов с единичными ребрами, так что каждая вершина тессеракта (каждая 4-целая координата) также является вершиной 24-ячеечной ячейки (а ребра тессеракта также равны 24 ячейкам). -грани ячейки), и каждый центр 24-клетки также является центром тессеракта. [40] 24-ячейки в два раза больше тессерактов по 4-мерному содержимому (гиперобъему), поэтому в целом на каждую 24-ячейку приходится два тессеракта, только половина из которых вписана в 24-ячейку. Если эти тессеракты окрашены в черный цвет, а соседние с ними тессеракты (с которыми они имеют общую кубическую грань) окрашены в красный цвет, получится четырехмерная шахматная доска. [41] Из 24 радиусов от центра к вершине [bv] каждой 24-ячейки 16 также являются радиусами черного тессеракта, вписанного в 24-ячейку. Остальные 8 радиусов простираются за пределы черного тессеракта (через центры его кубических граней) к центрам 8 соседних красных тессерактов. Таким образом, соты из 24 ячеек и тессерактические соты совпадают особым образом: 8 из 24 вершин каждых 24 ячеек не находятся в вершине тессеракта (вместо этого они находятся в центре тессеракта). Каждый черный тессеракт вырезается из 24 ячеек путем усечения его по этим 8 вершинам и отсечения 8 кубических пирамид (как в обратной конструкции Госсета [22] , но вместо удаления пирамиды просто окрашиваются в красный цвет и оставляются на месте). Восемь 24-клеток встречаются в центре каждого красного тессеракта: каждая встречается со своей противоположностью в этой общей вершине, а шесть других — в общей октаэдрической ячейке.
Красные тессеракты представляют собой заполненные ячейки (они содержат центральную вершину и радиусы); черные тессеракты — пустые ячейки. Набор вершин этого объединения двух сот включает вершины всех 24-клеток и тессерактов, а также центры красных тессерактов. Добавление центров из 24 ячеек (которые также являются центрами черного тессеракта) к этой соте дает соту из 16 ячеек, набор вершин которой включает в себя все вершины и центры всех 24 ячеек и тессерактов. Ранее пустые центры соседних 24-клеток становятся противоположными вершинами 16-клетки единичной длины ребра. 24 полу-16-ячейки (октаэдрические пирамиды) встречаются в каждом ранее пустом центре, чтобы заполнить каждую 24-ячейку, а их октаэдрические основания представляют собой 6-вершинные октаэдрические грани 24-ячейки (общие с соседней 24-ячейкой). [чб]
Обратите внимание на полное отсутствие пятиугольников в этом союзе трех сот. Подобно 24-клеточному, 4-мерное евклидово пространство само по себе целиком заполнено комплексом всех многогранников, которые можно построить из правильных треугольников и квадратов (кроме 5-клеточного), но этот комплекс не требует (или не позволяет) любой из пятиугольных многогранников. [с]
Ротации
Правильные выпуклые 4-многогранники являются выражением лежащей в их основе симметрии , известной как SO(4) — группы вращений [42] вокруг фиксированной точки в 4-мерном евклидовом пространстве. [бз]
3 декартовых основания 24-клеточного числа.
Существуют три различные ориентации тессерактической соты, которые можно совместить с сотами из 24 ячеек, в зависимости от того, какой из трех непересекающихся наборов 24 ячеек из 8 ортогональных вершин (который состоит из 4 перпендикулярных осей или, что эквивалентно, вписанных базис 16-ячейка) [p] был выбран для ее выравнивания, подобно тому, как в 24-ячейку можно вписать три тессеракта, повернутых относительно друг друга. [v] Расстояние от одной из этих ориентаций до другой представляет собой изоклинический поворот на 60 градусов ( двойной поворот на 60 градусов в каждой паре ортогональных инвариантных плоскостей вокруг одной фиксированной точки). [ca] Это вращение наиболее четко можно увидеть в шестиугольных центральных плоскостях, где каждый шестиугольник вращается, чтобы изменить, какой из трех его диаметров совмещен с осью системы координат. [д]
Плоскости вращения
Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве можно рассматривать как композицию двух 2-мерных вращений в полностью ортогональных плоскостях. [44] Таким образом, общее вращение в 4-мерном пространстве является двойным вращением . [45] Есть два важных частных случая, называемых простым вращением и изоклиническим вращением . [се]
В трехмерном пространстве вращающийся многогранник имеет единственную инвариантную центральную плоскость вращения . Плоскость называется инвариантной , потому что каждая точка плоскости движется по окружности, но остается внутри плоскости. Только одна из центральных плоскостей многогранника может быть инвариантной во время определенного вращения; выбор инвариантной центральной плоскости, а также углового расстояния и направления ее вращения полностью определяет вращение. Точки вне инвариантной плоскости также движутся по кругам (если только они не находятся на фиксированной оси вращения, перпендикулярной инвариантной плоскости), но круги не лежат внутри центральной плоскости.
Когда 4-многогранник вращается только с одной инвариантной центральной плоскостью, происходит такое же простое вращение , которое происходит в 3 измерениях. Единственное отличие состоит в том, что вместо фиксированной оси вращения существует целая фиксированная центральная плоскость, в которой точки не перемещаются. Неподвижная плоскость — это одна центральная плоскость, которая полностью ортогональна [g] инвариантной плоскости вращения. В 24-ячейке существует простой поворот, который переносит любую вершину непосредственно в любую другую вершину, а также перемещает большинство других вершин, но оставляет неподвижными по крайней мере 2 и не более 6 других вершин (вершины, которые пересекает фиксированная центральная плоскость). ). Вершина движется по большому кругу в инвариантной плоскости вращения между соседними вершинами большого шестиугольника, большого квадрата или большого двуугольника , а полностью ортогональная неподвижная плоскость представляет собой двуугольник, квадрат или шестиугольник соответственно. [ба]
Точки в полностью ортогональной центральной плоскости не обязаны фиксироваться. Также возможно, что они вращаются по кругу, как вторая инвариантная плоскость, со скоростью, не зависящей от вращения первой инвариантной плоскости: двойное вращение в двух перпендикулярных непересекающихся плоскостях [i] вращения одновременно. [cd] При двойном вращении нет фиксированной плоскости или оси: каждая точка перемещается, кроме центральной точки. Повернутое угловое расстояние может быть разным в двух полностью ортогональных центральных плоскостях, но они всегда обе инвариантны: их вращающиеся по кругу точки остаются внутри плоскости, поскольку вся плоскость наклоняется в сторону при полностью ортогональном вращении. Вращение в 4-мерном пространстве всегда имеет (по крайней мере) две полностью ортогональные инвариантные плоскости вращения, хотя при простом вращении угол поворота в одной из них равен 0.
Двойные вращения бывают двух хиральных форм: левые и правые вращения. [cf] При двойном вращении каждая вершина движется по спирали одновременно по двум ортогональным большим кругам. [cb] Либо путь имеет правую резьбу (как у большинства винтов и болтов), движущийся по окружностям в «одних и тех же» направлениях, либо левую резьбу (как болт с обратной резьбой), движущийся по окружностям. в том, что мы обычно называем «противоположными» направлениями (в соответствии с правилом правой руки , согласно которому мы условно говорим, какой путь находится «вверх» на каждой из 4 координатных осей). [47]
При двойных поворотах 24-клетки, которые переводят вершины в вершины, одна инвариантная плоскость вращения содержит либо большой шестиугольник, либо большой квадрат, либо только ось (две вершины, большой двуугольник). Полностью ортогональная инвариантная плоскость вращения обязательно будет содержать большой двуугольник, большой квадрат или большой шестиугольник соответственно. Выбор инвариантной плоскости вращения, направления вращения и угла, на который ее следует повернуть, а также направления вращения и угла, на который можно повернуть ее полностью ортогональную плоскость, полностью определяет характер вращательного перемещения. В 24-ячеечной камере существует несколько примечательных видов двойного вращения, допускаемых этими параметрами. [48]
Изоклинические вращения
Когда углы поворота в двух инвариантных плоскостях совершенно одинаковы, происходит удивительно симметричное преобразование : [49] все плоскости большого круга Клиффорда, параллельные [ag] инвариантным плоскостям, сами становятся инвариантными плоскостями вращения на тот же самый угол: а 4-многогранник вращается изоклинически во многих направлениях одновременно. [50] Каждая вершина перемещается на одинаковое расстояние в четырех ортогональных направлениях одновременно. [o] В 24-ячейке любой изоклинический поворот на 60 градусов в шестиугольной плоскости переносит каждую вершину в вершину, расположенную на расстоянии двух ребер, поворачивает все 16 шестиугольников на 60 градусов и принимает каждый многоугольник большого круга (квадрат, шестиугольник [ao] или треугольник) к параллельному Клиффорду многоугольнику большого круга того же типа, расположенному на расстоянии 120 градусов. Изоклиническое вращение также называют смещением Клиффорда по имени его первооткрывателя . [ок]
Кажется, что 24-ячейка в анимации двойного вращения выворачивается наизнанку. [ci] Похоже, потому что на самом деле это так, меняет хиральность всего 4-многогранника точно так же, как зеркало в ванной меняет хиральность вашего изображения путем отражения на 180 градусов. Каждое изоклиническое вращение на 360 градусов похоже на то, как если бы поверхность из 24 ячеек была снята, как перчатка, и вывернута наизнанку, превращая правую перчатку в левую перчатку (или наоборот). [51]
При простом вращении 24-ячейки в шестиугольной плоскости каждая вершина в плоскости сначала вращается вдоль края к соседней вершине, отстоящей на 60 градусов. Но при изоклиническом вращении в двух полностью ортогональных плоскостях, одна из которых представляет собой большой шестиугольник, [ba] каждая вершина сначала поворачивается к вершине, расположенной на расстоянии двух ребер ( на расстоянии √ 3 и 120 °). Спиральные геодезические двойного вращения на 60 градусов проходят через каждую вторую вершину, пропуская вершины между ними. [u] Каждая хорда √ 3 винтовой геодезической [co] пересекает две центральные плоскости шестиугольника, параллельные Клиффорду, и лежит в другой центральной плоскости шестиугольника, которая пересекает их обе. [ct] Хорды √ 3 встречаются под углом 60 °, но, поскольку они лежат в разных плоскостях, они образуют спираль, а не треугольник. Три хорды √ 3 и вращение на 360° переводят вершину в соседнюю вершину, а не обратно в себя. Спираль из √ 3 хорд замыкается в петлю только после шести √ 3 хорд: дважды поворот на 720° вокруг 24-клетки [cc] на перекошенной гексаграмме с √ 3 ребрами. [cs] Несмотря на то, что все 24 вершины и все шестиугольники вращаются одновременно, изоклиническое вращение на 360 градусов перемещает каждую вершину только наполовину вокруг ее окружности. После поворота на 360 градусов каждая спираль вышла из трех вершин и достигла четвертой вершины, смежной с исходной вершиной, но не вернулась точно в ту вершину, из которой она вышла. Каждая центральная плоскость (каждый шестиугольник или квадрат в 24-ячейке) повернулась на 360 градусов и наклонена вбок на 360 градусов обратно в исходное положение (как монета, подброшенная дважды), но ориентация 24-ячейки в 4-х ячейках -пространство, в которое он встроен, теперь другое. [53] Поскольку 24-ячейка теперь вывернута наизнанку, если изоклиническое вращение продолжится в том же направлении еще на 360 градусов, 24 движущиеся вершины пройдут через другую половину вершин, которые были пропущены при первом обороте ( 12 противоположных вершин из 12, которые были затронуты в первый раз), и каждая изоклиническая геодезическая вернется в вершину, из которой она вышла, образуя замкнутую шестихордовую спиральную петлю. Для каждой геодезической гексаграммы2 требуется изоклинический поворот на 720 градусов, чтобы завершить обход через каждую вторую вершину из шести ее вершин путем намоткивокруг 24-клетки дважды, возвращая 24-клетку в исходную хиральную ориентацию. [да]
Шестиугольный извилистый путь, который проходит каждая вершина, дважды оборачиваясь вокруг 24-ячейки, образует двойную спираль, согнутую в кольцо Мёбиуса , так что две нити двойной спирали образуют непрерывную одинарную нить в замкнутой петле. [cv] При первом обороте вершина пересекает одну треххордовую цепь двойной спирали; во втором обороте он пересекает вторую треххордовую нить, двигаясь в том же направлении вращения с той же рукой (сгибаясь влево или вправо). Хотя это изоклиническое кольцо Мёбиуса представляет собой замкнутую спираль, а не двумерный круг, оно, как и большой круг, является геодезической, поскольку представляет собой кратчайший путь от вершины к вершине. [ау]
Параллельные многогранники Клиффорда
Две плоскости также называются изоклиническими , если изоклиническое вращение сводит их вместе. [ax] Изоклинические плоскости — это в точности те центральные плоскости, к которым параллельны Клиффордовы большие геодезические круги. [55] Параллельные большие круги Клиффорда не пересекаются, [ag] поэтому изоклинические многоугольники большого круга имеют непересекающиеся вершины. В 24-ячейке каждая шестиугольная центральная плоскость изоклинична трем другим, а каждая квадратная центральная плоскость изоклинична пяти другим. Мы можем выделить 4 взаимно изоклинических (параллель Клиффорда) больших шестиугольника (четырьмя разными способами), охватывающих все 24 вершины 24-клетки только один раз (шестиугольное расслоение). [al] Мы можем выделить 6 взаимно изоклинических (параллель Клиффорда) больших квадратов [ck] (три разных способа), покрывающих все 24 вершины 24-клетки только один раз (квадратное расслоение). [ar] Каждое изоклиническое вращение, переводящее вершины в вершины, соответствует дискретному расслоению. [де]
Двумерные многоугольники большого круга - не единственные многогранники в 24-ячейке, параллельные в смысле Клиффорда. [57] Конгруэнтные многогранники 2, 3 или 4 измерений можно назвать клиффордовскими параллельными в 4 измерениях, если все их соответствующие вершины находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Три 16-клетки, вписанные в 24-клетку, представляют собой параллели Клиффорда. Параллельные многогранники Клиффорда — это полностью непересекающиеся многогранники. [y] Изоклинический поворот на 60 градусов в шестиугольных плоскостях превращает каждую 16-ячейку в непересекающуюся 16-ячейку. Как и все двойные вращения, изоклинические вращения имеют две хиральные формы: слева от каждой 16- клетки имеется непересекающаяся 16-ячейка , а справа от нее — еще одна . [з]
Все параллельные 4-многогранники Клиффорда связаны изоклиническим вращением, [ca] , но не все изоклинические многогранники являются параллелями Клиффорда (полностью непересекающимися). [df] Три 8-клетки в 24-клетке изоклиничны, но не параллельны Клиффорду. Как и 16-ячейки, они повернуты на 60 градусов изоклинически относительно друг друга, но не все их вершины не пересекаются (и, следовательно, не все равноудалены). Каждая вершина встречается в двух из трех 8-клеток (поскольку каждая 16-ячейка встречается в двух из трех 8-клеток). [в]
Изоклинические вращения связывают выпуклые правильные 4-многогранники друг с другом. Изоклиническое вращение одной 16-клеточной ячейки приведет к образованию [dg] 24-клеточной ячейки. Простого поворота одной 16-ячейки этого не произойдет, поскольку ее вершины не достигнут вершин ни одной из двух других 16-ячеек в ходе вращения. Изоклиническое вращение 24-ячейки приведет к образованию 600-ячейки, а изоклиническое вращение 600-ячейки приведет к образованию 120-ячейки. (Или все они могут быть созданы непосредственно путем изоклинического вращения 16-ячейки, генерируя изоклинические копии самой себя.) Выпуклые правильные 4-многогранники вкладываются друг в друга и прячутся рядом друг с другом в параллельных пространствах Клиффорда, которые составляют 3-сфера. [58] Для объекта более чем одного измерения единственный способ напрямую достичь этих параллельных подпространств — это изоклиническое вращение. [дх]
Кольца
В 24-ячейке имеются наборы колец шести разных видов, отдельно подробно описанные в других разделах этой статьи. В этом разделе описывается, как переплетаются различные виды колец.
24-ячейка содержит четыре типа геодезических волокон (многоугольные кольца, проходящие через вершины): квадраты большого круга и их изоклинические спиральные октаграммы , [ar] и шестиугольники большого круга и их изоклинические спиральные гексаграммы. [al] Он также содержит два вида клеточных колец (цепочек октаэдров, согнутых в кольцо в четвертом измерении): четыре октаэдра, соединенных вершина с вершиной и согнутых в квадрат, и шесть октаэдров, соединенных лицом к лицу и согнутых в шестиугольник.
4-клеточные кольца
Четыре октаэдра с единичной длиной ребра можно соединить вершина с вершиной вдоль общей оси длины 4 √ 2 . Затем ось можно согнуть в квадрат с длиной ребра √ 2 . Хотя это возможно сделать только в трехмерном пространстве, в 24-клеточном пространстве это происходит не так. Хотя оси √ 2 четырех октаэдров занимают одну и ту же плоскость, образуя один из 18 √ 2 больших квадратов 24-ячеечного, каждый октаэдр занимает отдельную трехмерную гиперплоскость [di] , и используются все четыре измерения. 24-клеточную ячейку можно разделить на 6 таких 4-клеточных колец (три разных способа), связанных между собой, как соседние звенья в цепи (но все эти звенья имеют общий центр). Изоклинический поворот в плоскости большого квадрата на угол, кратный 90°, превращает каждый октаэдр в кольце в октаэдр в кольце.
6-клеточные кольца
Четырехмерное кольцо из шести октаэдров, соединенных гранями, ограниченное двумя пересекающимися наборами из трех параллельных больших шестиугольников Клиффорда разных цветов, вырезанных и расположенных плоско в трехмерном пространстве. [диджей]
Шесть правильных октаэдров могут быть соединены лицом к лицу по общей оси, проходящей через их центры объема, образуя стопку или столбец только с треугольными гранями. Затем в четырехмерном пространстве ось может быть согнута на 60 ° в четвертом измерении в каждом из шести центров октаэдра в плоскости, ортогональной всем трем ортогональным центральным плоскостям каждого октаэдра, так что верхняя и нижняя треугольные грани столбец станет совпадающим. Столбец становится кольцом вокруг шестиугольной оси. 24-ячейку можно разделить на 4 таких кольца (четырьмя разными способами), связанных между собой. Поскольку шестиугольная ось соединяет центры ячеек (а не вершины), она не является большим шестиугольником из 24 ячеек. [dl] Однако шесть больших шестиугольников можно найти в кольце из шести октаэдров, проходящих по краям октаэдров. В колонне из шести октаэдров (до того, как она согнута в кольцо) вдоль ребер, идущих вверх по колонне, проходят шесть спиральных путей: три параллельные спирали, закручивающиеся по часовой стрелке, и три параллельные спирали, закручивающиеся против часовой стрелки. Каждая спираль, направленная по часовой стрелке, пересекает каждую спираль, направленную против часовой стрелки, в двух вершинах, находящихся на расстоянии трех ребер друг от друга. Сгибание колонны в кольцо превращает эти спирали в большие шестиугольники. [dj] Кольцо состоит из двух наборов по три больших шестиугольника, каждый из которых представляет собой три параллельных больших круга Клиффорда. [dn] Большие шестиугольники в каждом параллельном наборе из трех не пересекаются, но каждый пересекает три других больших шестиугольника (которым он не параллелен Клиффорду) в двух противоположных вершинах.
Простое вращение любой из плоскостей большого шестиугольника на угол, кратный 60°, инвариантно вращает только этот шестиугольник, перенося каждую вершину этого шестиугольника в вершину того же шестиугольника. Изоклинический поворот на 60 ° в любой из шести плоскостей большого шестиугольника инвариантно вращает все три параллельных больших шестиугольника Клиффорда и переносит каждый октаэдр в кольце в несмежный октаэдр в кольце. [дп]
Каждый изоклинически смещенный октаэдр также вращается сам. После изоклинического поворота на 360° каждый октаэдр возвращается в то же положение, но в другой ориентации. При повороте изоклины на 720° ее вершины возвращаются в исходную ориентацию .
Четыре параллельных больших шестиугольника Клиффорда составляют дискретный пучок расслоений, охватывающий все 24 вершины расслоения Хопфа . Четыре непересекающихся 6-клеточных кольца составляют одно и то же дискретное расслоение. 24-ячейка имеет четыре таких дискретных гексагональных расслоения, каждое из которых является областью (контейнером) уникальной лево-правой пары изоклинических вращений (левого и правого расслоений Хопфа). Каждый большой шестиугольник принадлежит только одному расслоению [60] , но каждое шестиклеточное кольцо принадлежит трем расслоениям. 24-клетка содержит 16 больших шестиугольников, разделенных на четыре расслоения, каждое из которых представляет собой набор из четырех 6-клеточных колец, но 24-клетка имеет только четыре отдельных 6-клеточных кольца. Каждое 6-клеточное кольцо содержит по 3 больших шестиугольника в каждом из трёх расслоений: только 3 из 4 параллельных шестиугольников Клиффорда каждого из трёх расслоений и только 18 из 24 вершин. [де]
Спиральные гексаграммы и их 4𝝅 изоклины.
Другой вид геодезического волокна — спиральные изоклины гексаграммы — можно найти внутри шестиячеечного кольца октаэдров. Каждая из этих геодезических проходит через каждую вторую вершину косой гексаграммы 2 , которая в 24-ячейке единичного радиуса и единичной длины ребра имеет шесть √ 3 ребер. Гексаграмма не лежит в одной центральной плоскости, а состоит из шести связанных √ 3 хорд из шести различных больших кругов шестиугольника в кольце из 6 ячеек. Изоклинное геодезическое волокно — это путь изоклинического вращения, [au] спиральный, а не просто круговой путь вокруг 24-ячейки, который соединяет вершины на расстоянии двух ребер друг от друга и, следовательно, должен дважды обернуться вокруг 24-ячейки, прежде чем завершить ее шестивершинную структуру. петля. [ch] Вместо плоского шестиугольника он образует косую гексаграмму из двух трехсторонних полупетлей на 360 градусов: открытые треугольники, соединенные друг с другом встык в шестистороннюю петлю Мёбиуса. [резюме]
Каждое 6-клеточное кольцо содержит шесть таких изоклин гексаграммы, три черных и три белых, которые соединяют четные и нечетные вершины соответственно. [dm] Каждая из трех черно-белых пар изоклин принадлежит одному из трех расслоений, в которых встречается 6-клеточное кольцо. Правое (или левое) вращение каждого слоя пересекает две черные изоклины и две белые изоклины параллельно, вращая все 24 вершины. [ты]
Начиная с любой вершины на одном конце столбца из шести октаэдров, мы можем следовать изоклиническому пути из √ 3 хорд изоклины от октаэдра к октаэдру. В 24-ячейке ребра √ 1 представляют собой ребра большого шестиугольника (и ребра октаэдра); в столбце из шести октаэдров мы видим шесть больших шестиугольников, идущих по ребрам октаэдров. Хорды √ 3 представляют собой большие диагонали шестиугольника, соединяющие вершины большого шестиугольника на расстоянии √ 1 ребра друг от друга. Мы находим их в кольце из шести октаэдров, идущих от вершины одного октаэдра к вершине следующего октаэдра, проходя через грань, общую для двух октаэдров (но не касаясь ни одной из трех вершин грани). Каждая хорда √ 3 является хордой всего лишь одного большого шестиугольника (ребра большого треугольника, вписанного в этот большой шестиугольник), но последующие хорды √ 3 принадлежат разным большим шестиугольникам. [ct] В каждой вершине изоклинический путь √ 3 хорд изгибается на 60 градусов одновременно в двух центральных плоскостях [dq] : на 60 градусов вокруг большого шестиугольника, которому принадлежит хорда перед вершиной, и на 60 градусов в плоскость другой большой шестиугольник целиком, которому принадлежит хорда после вершины. [dt] Таким образом, путь следует по одному большому шестиугольнику от каждого октаэдра к следующему, но переключается на другой из шести больших шестиугольников в следующем звене пути гексаграммы 2 . Если следовать вдоль колонны из шести октаэдров (и «вокруг конца», где колонна согнута в кольцо), путь на первый взгляд может показаться зигзагообразным между тремя соседними параллельными шестиугольными центральными плоскостями (как многоугольник Петри ), но на самом деле это не так. Это не так: любой изоклинический путь, который мы можем выделить, всегда зигзагообразен между двумя наборами из трех соседних параллельных шестиугольных центральных плоскостей, пересекая только каждую четную (или нечетную) вершину и никогда не меняя присущей ей четности/нечетности, поскольку он посещает все шесть из большие шестиугольники в 6-клеточном кольце вращаются. [cg] Когда он прошел по одной хорде от каждого из шести больших шестиугольников, после 720 градусов изоклинического вращения (влево или вправо), он замыкает свою косую гексаграмму и начинает повторяться, снова кружась через черное (или белое) вершины и ячейки.
В каждой вершине есть четыре больших шестиугольника [dv] и четыре изоклины гексаграммы (все черные или все белые), которые пересекаются в вершине. [dw] Четыре изоклины гексаграммы (две черные и две белые) составляют уникальный (левый или правый) пучок расслоений изоклин, охватывающий все 24 вершины в каждом отдельном (левом или правом) изоклиническом вращении. Каждое расслоение имеет уникальное левое и правое изоклиническое вращение и соответствующие уникальные левые и правые расслоения изоклин. [dx] В 24-ячейке имеется 16 различных изоклин гексаграмм (8 черных и 8 белых). [dy] Каждая изоклина представляет собой косой многоугольник Клиффорда , не имеющий присущей киральности, но действует как левая (или правая) изоклина при прохождении через левое (или правое) вращение в различных расслоениях. [ч]
Спиральные октаграммы и их 8𝝅 изоклины.
24-ячейка содержит 18 изоклин спиральных октаграмм , 9 левых и 9 правых. Три левые-правые пары реберных спиралей октаграммы находятся в каждой из трех вписанных 16-ячеек, описанных в другом месте как спиральная конструкция 16-ячеек . Таким образом, каждые 16 ячеек можно разложить (три разных способа) на левую-правую пару колец из 8 ячеек из √ 2 -реберных тетраэдрических ячеек. Каждое кольцо из 8 ячеек закручивается влево или вправо вокруг осевой спирали октаграммы из восьми хорд. В каждой 16-клетке имеется ровно 6 различных спиралей, одинаковых октаграмм, каждая из которых проходит через все восемь вершин. Каждый из них действует либо как левая спираль, либо как правая спираль, либо как многоугольник Петри в каждом из шести различных изоклинических вращений (три левых и три правых) и не имеет присущей им киральности, за исключением определенного вращения. Хорды этих изоклин соединяют противоположные вершины гране-связанных тетраэдрических ячеек, которые также являются противоположными вершинами (антиподальными вершинами) 16-клетки, поэтому они представляют собой √ 4 хорды.
В 24-ячеечной структуре эти 18 изоклин спиральных октаграмм можно найти внутри шести ортогональных 4-клеточных колец октаэдров. В каждом 4-клеточном кольце есть ячейки, связанные вершина с вершиной вокруг оси большого квадрата, и мы находим антиподальные вершины в противоположных вершинах большого квадрата. Их соединяет хорда √ 4 (диагональ большого квадрата); это хорда каждого отдельного квадратного изоклинического вращения. Граничные ячейки описывают, как √ 2 оси октаэдрических ячеек из 24 ячеек являются ребрами тетраэдрических ячеек из 16 ячеек, каждый тетраэдр вписан в куб (тессеракт), а каждый октаэдр вписан в пару кубов (из разных тессеракты), соединяющие их. [bs] Октаэдры четырехклеточного кольца, связанные вершинами, также лежат в разных тессерактах. [bi] В 24-ячейке хорды изоклин из 16 ячеек описывают октаграмму 12 {2} с √ 4 ребрами, которые идут от вершины одного куба, октаэдра и тетраэдра к вершине другого куба, октаэдра и тетраэдра. (в другом тессеракте), прямо через центр 24-клетки по одной из 12 √ 4 осей.
Октаэдры в кольцах из 4 ячеек связаны вершинами более чем с двумя другими октаэдрами, поскольку три кольца из 4 ячеек (и их три осевых больших квадрата, которые принадлежат разным 16 ячейкам) пересекаются под углом 90 ° в каждой связывающей вершине. В этой вершине октаграмма делает одновременно два прямоугольных поворота: на 90° вокруг большого квадрата и на 90° ортогонально в совершенно другое четырехклеточное кольцо. Дуга 180° каждой хорды √ 4 октаграммы проходит через объёмы и противоположные вершины двух гране-связанных тетраэдров √ 2 (в одной и той же 16-ячейке), которые одновременно являются противоположными вершинами двух вершинно-связанных октаэдров в разных 4-клеточные кольца (и разные тессеракты). Дуга не затрагивает ни одну вершину этих двух октаэдров, кроме конечных точек хорды; в частности, он пропускает вершину рядом со средней точкой хорды, где два октаэдра соединены вершинами. Изоклина октаграммы 720° проходит через одну вершину одного октаэдра в шести различных четырехклеточных кольцах (из 18 четырехклеточных колец в 24-клеточном) и через объемы 16 тетраэдров. В каждой вершине есть три больших квадрата и шесть изоклин октаграмм (три пары левая-правая), которые пересекаются в вершине. [кк]
Каждое из трех расслоений 18 больших квадратов 24-клеточной матрицы соответствует отдельному левому (и правому) изоклиническому вращению в инвариантных плоскостях большого квадрата. Каждый шаг поворота на 60 ° переносит 6 непересекающихся больших квадратов (по 2 из каждой 16-ячейки) в большие квадраты в соседней 16-ячейке на 8-хордовых спиральных изоклинах, характерных для 16-ячейки . [дз]
Это характерное вращение 16-клетки, а не характерное вращение 24-клетки, и оно не переносит целые 16-клеток 24-клетки друг к другу, как это происходит при вращении 24-клеток в плоскостях большого шестиугольника. [еа]
Характеристическая 5-ячейка (4-ортосхема) имеет на четыре ребра больше, чем ее базовый характеристический тетраэдр (3-ортосхема), соединяя четыре вершины основания с ее вершиной (пятая вершина 4-ортосхемы, в центре обычный 24-клеточный). [ред] Если правильная 24-ячейка имеет радиус и длину ребра 𝒍 = 1, то десять ребер ее характеристической 5-клетки имеют длину , , вокруг ее внешней грани прямоугольного треугольника (ребра, противоположные характеристическим углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), [eb] плюс , , (остальные три ребра внешней 3-ортосхемы ограняют характерный тетраэдр, которые являются характерными радиусами октаэдра), плюс , , , (ребра, которые являются характеристическими радиусами 24-клетки). Путь с 4 ребрами вдоль ортогональных ребер ортосхемы равен , , , , сначала от вершины с 24 ячейками до центра ребра с 24 ячейками, затем поворот на 90° к центру грани с 24 ячейками, затем поворот на 90° к центру грани с 24 ячейками. -центр октаэдрической ячейки, затем поворачивающийся на 90° к центру 24-ячейки.
Размышления
24-ячейка может быть построена путем отражения ее характерной 5-ячейки в ее собственных гранях (ее тетраэдрических зеркальных стенках). [ee] Отражения и вращения связаны: отражение в четном числе пересекающихся зеркал — это вращение. [71] Следовательно, правильные многогранники могут быть созданы посредством отражений или вращений. Например, любое изоклиническое вращение 24-ячейки на 720° в шестиугольной инвариантной плоскости переносит каждую из 24 вершин в 5 других вершин, через них и обратно в себя на косой геодезической изоклине гексаграммы2, которая дважды обвивает 3-сферу на каждая вторая вершина гексаграммы. Любой набор из четырех ортогональных пар антиподальных вершин (8 вершин одной из трех вписанных 16-клеток), выполняющий половину такой орбиты, посещает 3 * 8 = 24 различных вершины и генерирует 24-ячейку последовательно за 3 шага одного 360°. ° изоклиническое вращение, точно так же, как любая отдельная характеристическая 5-ячейка, отражающаяся в своих зеркальных стенках, одновременно порождает 24 вершины путем отражения.
Отслеживание орбиты одной такой 16-ячеечной вершины во время изоклинического вращения на 360° позволяет больше узнать о взаимосвязи между отражениями и вращениями как генеративными операциями. [например] Вершина следует изоклине (двукратно изогнутому геодезическому кругу), а не любому из одинарно изогнутых геодезических кругов, которые являются сегментами большого круга на каждой √ 3 хорде вращения. [ct] Изоклина соединяет вершины на расстоянии двух ребер друг от друга, но изгибается в сторону от траектории большого круга по двум ребрам, соединяющим эти вершины, пропуская вершину между ними. [co] Хотя изоклина не следует ни одному большому кругу, она содержится в кольце другого типа: в 24-клеточном она остается в пределах 6-клеточного кольца сферических [73] октаэдрических ячеек, пересекающих по одной вершине в каждой ячейку, и проходящую через объём двух соседних ячеек вблизи пропущенной вершины.
Операции киральной симметрии
Операция симметрии — это вращение или отражение, которое оставляет объект в конгруэнтной ориентации, неотличимой от самого себя до преобразования. 24-ячейка имеет 1152 различные операции симметрии (576 вращений и 576 отражений). Каждое вращение эквивалентно двум отражениям в отдельной паре непараллельных зеркальных плоскостей. [например]
На фото изображены наборы непересекающихся многоугольников большого круга, каждый из которых находится в отдельной центральной плоскости 24-клеточного объекта. Например, {24/4}=4{6} — это ортогональная проекция 24-клетки, изображающая 4 из ее [16] больших шестиугольных плоскостей. [t] Четыре плоскости лежат Клиффордом параллельно плоскости проекции и друг другу, а их большие многоугольники вместе составляют дискретное расслоение Хопфа из четырех непересекающихся больших кругов, которые посещают все 24 вершины только один раз.
Каждая строка таблицы описывает класс различных вращений. Каждый класс вращения переносит изображенные левые плоскости в соответствующие изображенные правые плоскости . [эх] Вершины движущихся плоскостей движутся параллельно вдоль изображенных косых полигональных изоклин . Например, класс вращения состоит из [32] различных вращательных смещений на дуговое расстояние, равное2𝝅/3= 120° между 16 плоскостями большого шестиугольника, представленными группой кватернионов, и соответствующим набором из 16 плоскостей большого шестиугольника, представленными группой кватернионов . [ej] Одно из [32] различных вращений этого класса перемещает репрезентативную координату вершины в координату вершины . [ек]
В классе вращения каждая группа кватернионов может быть представителем не только своего собственного расслоения параллельных плоскостей Клиффорда [ej] , но и других конгруэнтных расслоений. [t] Например, класс вращения преобразует 4 плоскости шестиугольника в 4 плоскости шестиугольника при изоклиническом вращении на 120°. Но при таком жестком вращении [ew] все [16] плоскости шестиугольника движутся с конгруэнтными вращательными перемещениями, поэтому в этот класс вращения также входят , и . Название является общепринятым представлением для всех [16] смещений конгруэнтных плоскостей.
Все эти классы вращения являются подклассами, которые имеют [32] различные вращательные смещения, а не [16], поскольку существует два киральных способа выполнения любого класса вращений, обозначаемых его левым вращением и его правым вращением . Левые смещения [16] этого класса не конгруэнтны правым смещениям [16], а энантиаморфны, как пара обуви. [ex] Каждое левое (или правое) изоклиническое вращение переводит [16] левых плоскостей в [16] правые плоскости, но левая и правая плоскости по-разному соотносятся при левом и правом вращениях. Вращательные смещения влево и вправо одной и той же левой плоскости переводят ее в разные правые плоскости.
Каждый класс вращения (строка таблицы) описывает отдельное левое (и правое) изоклиническое вращение. Левое (или правое) изоклиническое вращение переносит левые плоскости в правые на характерный угол поворота. [ax] Например, вращение перемещает [16] плоскостей на2𝝅/3= 120° каждый. Повторенное 6 раз, это левое (или правое) изоклиническое вращение перемещает каждую плоскость на 720° и обратно в ту же ориентацию , проходя через все 4 плоскости левого набора и все 4 плоскости правого набора по одному разу. [ei] Изображение в столбце изоклин представляет собой объединение наборов левых и правых плоскостей. В примере это можно рассматривать как набор из 4 параллельных косых гексаграмм Клиффорда , каждая из которых имеет одно ребро в каждой плоскости большого шестиугольника и наклонена влево (или вправо) в каждой вершине на протяжении всего левого (или правого) изоклинического вращения. [см.]
24-ячейка ограничена 24 октаэдрическими ячейками . Для целей визуализации удобно, что октаэдр имеет противоположные параллельные грани (черта, которую он разделяет с ячейками тессеракта и 120 -ячеечного ). Октаэдры можно складывать лицом к лицу по прямой, изогнутой в 4-м направлении, в большой круг с окружностью в 6 ячеек. [75] [76] Расположение ячеек поддается гиперсферическому описанию . Выберите произвольную ячейку и назовите ее « Северный полюс ». Восемь меридианов большого круга (длиной в две ячейки) расходятся в трех измерениях и сходятся в третьей ячейке « Южного полюса ». На этот скелет приходится 18 из 24 клеток (2 + 8 × 2 ). См. таблицу ниже.
В 24-клеточном пространстве есть еще один родственный большой круг, двойственный приведенному выше. Путь, который проходит через 6 вершин исключительно по ребрам, находится в двойственном многограннике, который является самим собой, поскольку он самодвойственный. Это описанные выше шестиугольные геодезические. [al] По этому пути можно легко проследить, визуализировав поперечное сечение экваториального кубооктаэдра .
Начиная с Северного полюса, мы можем построить 24 ячейки в 5 широтных слоях. За исключением полюсов, каждый слой представляет собой отдельную 2-сферу, причем экватор представляет собой большую 2-сферу. [aq] Ячейки, помеченные как экваториальные в следующей таблице, являются интерстициальными по отношению к ячейкам меридиана большого круга. Интерстициальные «экваториальные» клетки своей стороной касаются клеток меридиана. Они касаются друг друга и полюсных ячеек в своих вершинах. Это последнее подмножество из восьми немеридианных и полюсных ячеек имеет то же относительное положение друг к другу, что и ячейки в тессеракте ( 8-ячейке), хотя они соприкасаются своими вершинами, а не гранями.
Перспективная проекция края и центра, показывающая одно из четырех колец из 6 октаэдров вокруг экватора.
24-клеточное кольцо можно разделить на непересекающиеся наборы из четырех из этих 6-клеточных колец большого круга, образуя дискретное расслоение Хопфа из четырех взаимосвязанных колец. [de] Одно кольцо является «вертикальным», охватывающим ячейки полюса и четыре ячейки меридиана. Остальные три кольца включают в себя две экваториальные ячейки и четыре меридианные ячейки, две из северного полушария и две из южного. [77]
Обратите внимание, что этот путь большого круга шестиугольника подразумевает, что внутренний / двугранный угол между соседними ячейками составляет 180–360/6 = 120 градусов. Это предполагает, что вы можете сложить рядом ровно три 24-ячейки в плоскости и сформировать 4-D соты из 24-х ячеек, как описано ранее.
Можно также пройти по большому кругу, проходящему через противоположные вершины октаэдров, длиной в четыре ячейки. Это квадратные геодезические вдоль четырех хорд √ 2 , описанных выше. Этот путь соответствует диагональному прохождению через квадраты поперечного сечения кубооктаэдра. 24-клеточный многогранник — единственный правильный многогранник, имеющий более двух измерений, в котором можно пройти большой круг исключительно через противоположные вершины (и внутреннюю часть) каждой ячейки. Этот большой круг двойственен. Об этом пути говорилось выше в связи с набором из 8 немеридианных (экваториальных) и полюсных ячеек.
24-клеточную ячейку можно равномерно разделить на три подмножества по 8 ячеек, каждая из которых имеет организацию тессеракта. Каждое из этих подмножеств можно дополнительно разделить на две взаимосвязанные цепи большого круга длиной в четыре ячейки. В совокупности эти три подмножества теперь образуют еще одно дискретное расслоение Хопфа, состоящее из шести колец.
Параллельные проекции
Проекционные конверты 24-клеток. (Каждая ячейка рисуется с гранями разного цвета, перевернутые ячейки не рисуются)
Параллельная проекция 24-клеток в трехмерное пространство, параллельная сначала вершине, имеет ромбическую додекаэдрическую оболочку . Двенадцать из 24 октаэдрических ячеек попарно выступают на шесть квадратных дипирамид, которые встречаются в центре ромбического додекаэдра. Остальные 12 октаэдрических ячеек проецируются на 12 ромбических граней ромбододекаэдра.
Параллельная проекция 24-клеточной ячейки в трехмерное пространство имеет кубооктаэдрическую оболочку. Две октаэдрические ячейки, ближайшая и дальняя от зрителя по оси w , проецируются на октаэдр, вершины которого лежат в центре квадратных граней кубооктаэдра. Вокруг этого центрального октаэдра лежат проекции 16 других ячеек, имеющих 8 пар, каждая из которых проецируется в один из 8 объемов, лежащих между треугольной гранью центрального октаэдра и ближайшей треугольной гранью кубооктаэдра. Остальные 6 ячеек проецируются на квадратные грани кубооктаэдра. Это соответствует разложению кубооктаэдра на правильный октаэдр и 8 неправильных, но равных октаэдров, каждый из которых имеет форму выпуклой оболочки куба с удаленными двумя противоположными вершинами.
Перспективная проекция 24 ячеек в трехмерное пространство сперва по вершине имеет шестигранную оболочку тетракиса . Расположение ячеек на этом изображении аналогично изображению в параллельной проекции.
Следующая последовательность изображений показывает структуру перспективной проекции 24-клеток в трех измерениях. Точка обзора 4D расположена на расстоянии, в пять раз превышающем радиус центра вершины 24-ячеечной ячейки.
Связанные многогранники
Три конструкции группы Кокстера
Существуют две формы более низкой симметрии 24-клеточной ячейки, полученные как выпрямленная 16-ячеечная , с симметрией B 4 или [3,3,4], нарисованной двухцветной с 8 и 16 октаэдрическими ячейками. Наконец, его можно построить на основе симметрии D 4 или [3 1,1,1 ] и нарисовать трехцветным с 8 октаэдрами в каждом.
Связанные сложные многоугольники
Правильный комплексный многоугольник 4 {3} 4 ,илисодержит 24 вершины 24-клеток и 24 4-ребра, которые соответствуют центральным квадратам 24 из 48 октаэдрических ячеек. Его симметрия 4 [3] 4 , порядок 96. [78]
Правильный комплексный многогранник 3 {4} 3 ,или, имеет реальное представление в виде 24 ячеек в 4-мерном пространстве. 3 {4} 3 имеет 24 вершины и 24 3-ребра. Его симметрия 3 [4] 3 , порядок 72.
96 ребер 24-ячеистой структуры можно разделить по принципу золотого сечения , чтобы получить 96 вершин курносой 24-ячеечной структуры . Это делается путем сначала размещения векторов вдоль краев 24 ячеек так, чтобы каждая двумерная грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разделяем каждое ребро на золотое сечение вдоль направления его вектора. Аналогичная модификация октаэдра дает икосаэдр , или « курносый октаэдр ».
24-клеточный — это уникальный выпуклый самодвойственный правильный евклидов многогранник, который не является ни многоугольником , ни симплексом . Ослабление условия выпуклости допускает две дополнительные фигуры: большую 120-клеточную и грандиозную звездчатую 120-клеточную . Сам по себе он может образовывать соединение многогранника : соединение двух 24-клеток.
Связанные однородные многогранники
24-ячейку также можно получить как выпрямленную 16-ячейку:
^ 24-клеточный — один из трех самодвойственных правильных евклидовых многогранников, которые не являются ни многоугольником , ни симплексом . Два других тоже являются 4-многогранниками, но не выпуклыми: большой звездчатый 120-клеточный и большой 120-клеточный . 24-клеточный многогранник почти уникален среди самодвойственных правильных выпуклых многогранников, поскольку он и четные многоугольники являются единственными такими многогранниками, грань которых не противоположна ребру.
^ abcdefghi Длинный радиус (от центра до вершины) 24-ячейки равен длине ее ребра; таким образом, его длинный диаметр (от вершины до противоположной вершины) равен двум длинам ребра. Лишь немногие однородные многогранники обладают этим свойством, включая четырехмерный 24-клеточный тессеракт , трехмерный кубооктаэдр и двумерный шестиугольник . (Кубооктаэдр — это экваториальное сечение 24-клеточного элемента, а шестиугольник — это экваториальное сечение кубооктаэдра.) Радиально равносторонние многогранники — это те, которые с длинными радиусами могут быть построены из равносторонних треугольников, соприкасающихся в центре. многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро.
^ ab Выпуклые правильные многогранники в первых четырех измерениях с цифрой 5 в символе Шлефли - это пятиугольник {5} , икосаэдр {3, 5}, додекаэдр {5, 3}, 600-ячеечный {3,3, 5} и 120-ячеечный {5,3,3}. Другими словами, 24-ячеечная структура обладает всеми треугольными и квадратными элементами, которые существуют в четырех измерениях, за исключением обычной 5-ячеечной структуры, но не имеет ни одного из пятиугольных элементов. (5-ячейка {3, 3, 3} также является пятиугольной в том смысле, что ее многоугольник Петри является пятиугольником.)
^ Выпуклые правильные 4-многогранники можно упорядочить по размеру как мере 4-мерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности более округлый , чем его предшественник, и содержит больше контента [7] в пределах того же радиуса. 4-симплекс (5-ячеечный) — это наименьший случай, а 120-ячеечный — самый большой. Сложность (измеряемая путем сравнения матриц конфигурации или просто количества вершин) следует тому же порядку. Это обеспечивает альтернативную схему числового именования для правильных многогранников, в которой 24-ячейка представляет собой 4-многогранник с 24 точками: четвертый в возрастающей последовательности, которая проходит от 4-многогранника с 5 точками до 4-многогранника с 600 точками.
^ Длина ребра всегда будет разной, если только предшественник и преемник не являются радиально равносторонними, т. е. длина их ребра равна их радиусу (поэтому оба сохраняются). Поскольку радиально равносторонние многогранники [b] редки, кажется, что единственная такая конструкция (в любом измерении) - это от 8-клеточного к 24-клеточному, что делает 24-клеточный уникальный правильный многогранник (в любом измерении), который имеет та же длина кромки, что и у его предшественника того же радиуса.
^ Края шести квадратов выровнены по линиям сетки системы координат радиуса √ 2 . Например: ( 0, −1, 1, 0) ( 0, 1, 1, 0) ( 0, −1, −1, 0) ( 0, 1, −1, 0) — квадрат в плоскости xy . Края квадратов не являются 24-клеточными ребрами, а являются внутренними хордами, соединяющими две вершины, отстоящие друг от друга на 90 o ; таким образом, квадраты представляют собой просто невидимые конфигурации четырех вершин из 24 ячеек, а не видимые 24-клеточные элементы.
^ abcdefghijk Две плоские плоскости A и B евклидова четырехмерного пространства называются полностью ортогональными тогда и только тогда, когда каждая прямая в A ортогональна каждой прямой в B. В этом случае плоскости A и B пересекаются в одной точке O, так что если линия в A пересекается с линией в B, они пересекаются в точке O. A и B перпендикулярны и параллельны Клиффорду. [Дж]
^ До 6 плоскостей могут быть взаимно ортогональными в 4 измерениях. Трехмерное пространство вмещает только 3 перпендикулярные оси и 3 перпендикулярные плоскости, проходящие через одну точку. В четырехмерном пространстве у нас может быть 4 перпендикулярные оси и 6 перпендикулярных плоскостей, проходящих через точку (по той же причине, по которой тетраэдр имеет 6 ребер, а не 4): есть 6 способов принять 4 измерения по 2 за раз. Три таких перпендикулярных плоскости (пары осей) встречаются в каждой вершине 24-клетки (по той же причине, по которой три ребра встречаются в каждой вершине тетраэдра). Каждая из 6 плоскостей полностью ортогональна [g] только одной из других плоскостей: единственной, с которой она не имеет общей линии (по той же причине, что каждое ребро тетраэдра ортогонально только одному из других ребер). : единственный, с которым не разделяет ни одной точки). Две полностью ортогональные плоскости перпендикулярны и противоположны друг другу, как два ребра тетраэдра перпендикулярны и противоположны.
^ ab Чтобы представить себе, как две плоскости могут пересекаться в одной точке четырехмерного пространства, рассмотрим евклидово пространство (w, x, y, z) и представьте, что измерение w представляет время, а не пространственное измерение. Центральная плоскость xy (где w=0, z=0) не имеет общей оси с центральной плоскостью wz (где x=0, y=0). Плоскость xy существует только в один момент времени (w=0); плоскость wz (и, в частности, ось w) существует постоянно. Таким образом, их единственный момент и место пересечения находятся в исходной точке (0,0,0,0).
^ abcdef В 4-мерном пространстве мы можем построить 4 перпендикулярные оси и 6 перпендикулярных плоскостей, проходящих через точку. Без ограничения общности мы можем считать их осями и ортогональными центральными плоскостями декартовой системы координат (w, x, y, z). В 4-х измерениях у нас есть те же 3 ортогональные плоскости (xy, xz, yz), что и в 3-х измерениях, а также еще 3 (wx, wy, wz). Каждая из шести ортогональных плоскостей имеет общую ось с четырьмя другими и полностью ортогональна только одной из остальных: единственной, с которой она не имеет общей оси. Таким образом, имеется 3 пары полностью ортогональных плоскостей: xy и wz пересекаются только в начале координат; xz и wy пересекаются только в начале координат; yz и wx пересекаются только в начале координат.
^ abcde Две плоскости в 4-мерном пространстве могут иметь четыре возможных взаимных положения: (1) они могут совпадать (быть точно одной и той же плоскостью); (2) они могут быть параллельны (только в этом случае они могут вообще не пересекаться); (3) они могут пересекаться по одной линии, как это делают две непараллельные плоскости в трехмерном пространстве; или (4) они могут пересекаться в одной точке [i] (и должны , если они полностью ортогональны). [г]
^ абкде24-ячейка как соединение шести непересекающихся больших квадратов {24/6}=6{4}.В 24-клеточной ячейке имеется 3 набора из 6 непересекающихся больших квадратов (из [18] различных больших квадратов), [er] обозначенных , , и . Каждое названное множество [es] из 6 параллельных [ag] квадратов Клиффорда представляет собой дискретное расслоение, охватывающее все 24 вершины.
^ abcd В четырехмерной евклидовой геометрии кватернион — это просто декартова координата (w, x, y, z). Гамильтон не рассматривал их как таковые, когда открыл кватернионы . Шлефли был первым, кто рассмотрел четырехмерное евклидово пространство , опубликовав свое открытие правильных полисхем в 1852 году, но Гамильтон никогда не находился под влиянием этой работы, которая оставалась неясной в 20 веке. Гамильтон обнаружил кватернионы, когда понял, что четвертое измерение в некотором смысле необходимо для моделирования вращения в трехмерном пространстве. [36] Хотя он описал кватернион как упорядоченное четырехэлементное кратное вещественному числу , кватернионы были для него расширением комплексных чисел, а не евклидовым четырехмерным пространством.
^ Края ортогональных больших квадратов не совпадают с линиями сетки системы координат единичного радиуса . Шесть квадратов лежат в 6 ортогональных плоскостях этой системы координат, но их края представляют собой √ 2 диагонали квадратов с единичной длиной ребра координатной решетки. Например: ( 0, 0, 1, 0) ( 0, −1, 0, 0) ( 0, 1, 0, 0) ( 0, 0, −1, 0) — квадрат в плоскости xy . Обратите внимание, что 8 целочисленных координат содержат вершины 6 ортогональных квадратов.
^ abcdefg При изоклиническом вращении каждая точка в любом месте 4-мерного многогранника перемещается на равное расстояние одновременно в четырех ортогональных направлениях по 4-мерной диагонали . Точка смещается на общее пифагорово расстояние , равное квадратному корню из четырехкратного квадрата этого расстояния. Все вершины смещаются к вершине, расположенной на расстоянии не менее двух длин ребра. [u] Например, когда 24-ячейка с единичным радиусом изоклинически вращается на 60° в инвариантной плоскости шестиугольника и на 60° в его полностью ортогональной инвариантной плоскости, [ba] каждая вершина смещается на другую вершину на √ 3 (120°) дальше. , перемещаясь на √ 3/4 ≈ 0,866 в четырех ортогональных направлениях.
^ abc Каждый большой шестиугольник из 24 ячеек содержит одну ось (одну пару противоположных вершин), принадлежащую каждой из трех вписанных 16 ячеек. 24-ячейка содержит три непересекающиеся вписанные 16-ячейки, повернутые на 60 ° изоклинически [o] относительно друг друга (поэтому их соответствующие вершины находятся на расстоянии 120 ° = √ 3 друг от друга). 16- ячейка является ортонормированным базисом для 4-мерной системы координат, поскольку ее 8 вершин определяют четыре ортогональные оси. При любом выборе системы координат «вершина вверх» (например, координаты единичного радиуса, используемые в этой статье) одна из трех вписанных 16-клеток является основой системы координат, и каждый шестиугольник имеет только одну ось, которая является координатой. ось системы.
^ abcde Шестиугольники наклонены (наклонены) на 60 градусов относительно ортогональных плоскостей системы координат единичного радиуса. Каждая шестиугольная плоскость содержит только одну из 4 осей системы координат. [p] Шестиугольник состоит из 3 пар противоположных вершин (три диаметра по 24 ячейки): одной противоположной пары целочисленных координатных вершин (одна из четырех координатных осей) и двух противоположных пар полуцелых координатных вершин (не координатных осей). ). Например: ( 0, 0, 1, 0) (1/2, −1/2,1/2, −1/2) (1/2,1/2,1/2,1/2) (−1/2, −1/2, −1/2, −1/2) (−1/2,1/2, −1/2,1/2) ( 0, 0, −1, 0) — шестиугольник на оси y . В отличие от квадратов √ 2 , шестиугольники на самом деле состоят из 24-клеточных ребер, поэтому они являются видимыми элементами 24-клеточного.
^ abc Восемь √ 1 ребер сходятся в искривленном трехмерном пространстве из углов кубической вершинной фигуры из 24 ячеек [aj] и встречаются в ее центре (вершине), где они образуют 4 прямые линии, которые там пересекаются. 8 вершин куба — это восемь ближайших других вершин 24-клетки. Прямые линии - это геодезические: два отрезка длиной √ 1 явно прямой линии (в 3-мерном пространстве изогнутой поверхности 24-клеток), которая изогнута в 4-м измерении в большой шестиугольник (в 4-мерном пространстве). Если представить это искривленное трехмерное пространство изнутри, то изгибы шестиугольников будут невидимы. Снаружи (если бы мы могли рассматривать 24 ячейки в 4-мерном пространстве) можно было бы видеть, что прямые линии изгибаются в 4-м измерении в центрах куба, потому что центр смещается наружу в 4-м измерении, за пределы определенной гиперплоскости. по вершинам куба. Таким образом, вершинный куб на самом деле представляет собой кубическую пирамиду . В отличие от куба, он кажется радиально равносторонним (как тессеракт и сам 24-клеточный): его «радиус» равен длине ребра. [ак]
^ abcd Нетрудно представить себе четыре шестиугольные плоскости, пересекающиеся под углом 60 градусов друг к другу, даже в трех измерениях. Четыре шестиугольные центральные плоскости пересекаются под углом 60 градусов в кубооктаэдре . Четыре из 16 шестиугольных центральных плоскостей 24-клеток (лежащих в одной и той же трехмерной гиперплоскости) пересекаются в каждой из вершин 24-клеток точно так же, как они пересекаются в центре кубооктаэдра. Но края вокруг вершины не пересекаются, как радиусы в центре кубооктаэдра; 24-ячеечная структура имеет 8 ребер вокруг каждой вершины, а не 12, поэтому фигурой ее вершины является куб, а не кубооктаэдр. Восемь ребер сходятся точно так же, как восемь ребер встречаются в вершине канонической кубической пирамиды . [р]
^ abcdefghijk24-ячейка как соединение четырех непересекающихся больших шестиугольников {24/4}=4{6}.В 24-ячейке имеется 4 набора из 4 непересекающихся больших шестиугольников (из общего числа [16] различных больших шестиугольников), обозначенных , , и . [ei] Каждый именованный набор из 4 параллельных [ag] шестиугольников Клиффорда содержит дискретное расслоение, охватывающее все 24 вершины.
^ abcdefghij При изоклиническом вращении вершины движутся по диагонали, как слоны в шахматах . Вершины изоклинического вращения не могут достичь ни одной из своих ближайших соседних вершин, поскольку они не вращаются прямо к ним; [ac] они движутся между ними по диагонали, пропуская их, к более дальней вершине в окружающей оболочке вершин большего радиуса, [ae] так же, как слоны ограничены белыми или черными клетками шахматной доски и не могут достичь полей шахматной доски. противоположного цвета, даже непосредственно соседствующего. [cn] Вещи, движущиеся по диагонали, перемещаются дальше, чем на 1 единицу расстояния за каждый шаг движения ( √ 2 на шахматной доске, √ 3 в 24-клеточной), но ценой пропуска половины пунктов назначения. [cc] Однако при изоклиническом вращении твердого тела все вершины вращаются одновременно, поэтому к каждому пункту назначения будет достигнута некоторая вершина.
^ abcdefghij 24-ячейка содержит 3 отдельные 8-ячейки (тессеракты), изоклинически повернутые на 60 ° относительно друг друга. Соответствующие вершины двух 8-клеток находятся на расстоянии √3 ( 120°) друг от друга. Каждая 8-клетка содержит 8 кубических ячеек, а каждый куб содержит четыре √3 хорды (его длинные диаметры). Восьмерки не полностью не пересекаются (они имеют общие вершины), [y] , но каждый куб и каждая хорда √ 3 принадлежат только одной восьмерке. Хорды √ 3 , соединяющие соответствующие вершины двух восьмиклеток, принадлежат третьей восьмерке. [аэ]
^ ab Ребра этих треугольников длиной √ 3 представляют собой диагонали [u] кубических ячеек с единичной длиной ребра, найденных в 24-ячейке, но эти кубические (тессерактные) [v] ячейки не являются ячейками координатной решетки единичного радиуса.
^ ab Эти треугольники лежат в тех же плоскостях, что и шестиугольники; [q] в каждый шестиугольник вписано два треугольника с длиной ребра √ 3 . Например, в координатах единичного радиуса: ( 0, 0, 1, 0) (1/2, −1/2,1/2, −1/2) (1/2,1/2,1/2,1/2) (−1/2, −1/2, −1/2, −1/2) (−1/2,1/2, −1/2,1/2) ( 0, 0, −1, 0) — два противоположных центральных треугольника на оси y , каждый из которых образован вершинами, расположенными чередующимися рядами. В отличие от шестиугольников, треугольники √ 3 не состоят из ребер из 24 ячеек, поэтому они являются невидимыми элементами 24-клеток, как квадраты √ 2 .
^ abcdef Многогранники полностью не пересекаются, если все их наборы элементов не пересекаются: у них нет общих вершин, ребер, граней или ячеек. Они по-прежнему могут перекрываться в пространстве, разделяя 4-содержание, объем, область или родословную.
^ abc Визуализируйте три 16-ячейки , вписанные в 24-ячейку (левую, правую и среднюю), и вращение, которое приводит их друг к другу. Вершины средней 16-клетки лежат на координатных осях (w, x, y, z); [j] два других повернуты на 60° изоклинически влево и вправо. 24-вершинная 24-ячейка представляет собой соединение трех 16-ячеек, три набора по 8 вершин которых распределены вокруг 24-ячейки симметрично; каждая вершина окружена 8 другими (в трехмерном пространстве четырехмерной поверхности из 24 ячеек ), подобно тому, как вершины куба окружают его центр. [r] 8 окружающих вершин (углов куба) лежат в других 16-клетках: 4 в других 16-ячейках слева и 4 в других 16-ячейках справа. Они представляют собой вершины двух вписанных в куб тетраэдров, по одному принадлежащему (как ячейке) каждой 16-ячейке. Если ребра 16 ячеек равны √ 2 , каждая вершина соединения трех 16 ячеек находится на расстоянии √ 1 от 8 окружающих ее вершин в других 16 ячейках. Теперь визуализируйте эти расстояния √ 1 как края 24-клеток (продолжая визуализировать непересекающиеся 16-клеток). Ребра √ 1 образуют большие шестиугольники из 6 вершин, которые огибают 24-ячейку в центральной плоскости. В каждой вершине (и ее антиподальной вершине) пересекаются четыре шестиугольника, наклоненные под углом 60° друг к другу. [s] Шестиугольники не перпендикулярны друг другу или центральным плоскостям перпендикулярных квадратов из 16 ячеек. [q] Левая и правая 16-клетки образуют тессеракт. [aa] Две 16-клетки имеют пары вершин, которые находятся на расстоянии √ 1 ребра (одного ребра шестиугольника). Но простой поворот на 60° не перенесет одну целую 16-ячейку в другую 16-ячейку, потому что их вершины находятся на расстоянии 60° друг от друга в разных направлениях, а простой поворот имеет только одну шестиугольную плоскость вращения. Одна 16-ячейка может быть перенесена в другую 16-ячейку путем изоклинического вращения на 60°, поскольку изоклиническое вращение симметрично 3-сфере : четыре параллельные шестиугольные плоскости Клиффорда вращаются вместе, но в четырех разных направлениях вращения, [ca] принимая каждые 16 -ячейку в другую 16-ячейку. Но поскольку изоклинический поворот на 60° представляет собой диагональный поворот на 60° сразу в двух ортогональных больших кругах, [au] соответствующие вершины 16-клетки и 16-клетки, за которые он берется, находятся на расстоянии 120° друг от друга: две √ 1 ребра шестиугольника (или одну хорду шестиугольника на √ 3 ) друг от друга, а не на одну √ 1край (60°) друг от друга. [o] Из-за киральной диагональной природы изоклинических вращений 16-ячейка не может достичь соседней 16-ячейки (вершины которой находятся на расстоянии одного √ 1 ребра), вращаясь к ней; [u] он может достичь только 16-ячейки за ней (на расстоянии 120°). Но, конечно, 16-ячейка, находящаяся за 16-ячейкой справа, — это 16-ячейка слева. Таким образом, изоклинический поворот на 60° перенесет каждую 16-ячейку в другую 16-ячейку: правый изоклинический поворот на 60° перенесет среднюю 16-ячейку в 16-ячейку, которую мы, возможно, первоначально визуализировали как левую 16-ячейку, и Поворот левой изоклины на 60° переместит среднюю 16-ячейку в 16-ячейку, которую мы визуализировали как правую 16-ячейку. (Если это так, то это была наша ошибка в визуализации; 16-ячейка «слева» на самом деле является той, которая достигается в результате левого изоклинического вращения, поскольку это единственный смысл, в котором две 16-ячейки находятся слева или справа от друг друга.) [см.]
^ abcd Каждая пара из трех 16-ячеек, вписанных в 24-ячейку, образует 4-мерный гиперкуб (тессеракт или 8-ячейку) по размерной аналогии с тем, как два тетраэдра образуют куб: две 8-вершины 16- ячейки вписаны в 16-вершинный тессеракт, занимая его чередующиеся вершины. Третья 16-ячеечная не лежит внутри тессеракта; его 8 вершин выступают из сторон тессеракта, образуя кубическую пирамиду на каждой кубической ячейке тессеракта (как в конструкции Госсета из 24 ячеек). Три пары 16-клеток образуют три тессеракта. [v] Тессеракты имеют общие вершины, но 16 ячеек полностью не пересекаются. [й]
^ ab 18 больших квадратов из 24 ячеек представляют собой три набора из 6 ортогональных больших квадратов, каждый из которых образует 16 ячеек . [z] Три 16-клетки полностью не пересекаются (и параллельны по Клиффорду): каждая имеет свои 8 вершин (на 4 ортогональных осях) и свои 24 ребра (длиной √ 2 ). 18 больших квадратных кругов пересекаются 16 большими шестиугольными кругами; каждый шестиугольник имеет одну ось (2 вершины) в каждой 16-клетке. [q] Два больших треугольника, вписанные в каждый большой шестиугольник (занимающие его альтернативные вершины и ребра, которые являются его √ 3 хордами), имеют по одной вершине в каждой 16-клетке. Таким образом, каждый большой треугольник представляет собой кольцо, соединяющее три совершенно непересекающиеся 16-клетки . Существует четыре разных способа (четыре разных расслоения 24-клеток), в которых 8 вершин 16-клеток соответствуют друг другу, будучи треугольниками, состоящими из вершин на расстоянии √ 3 друг от друга: существует 32 различных соединяющих треугольника. Каждая пара из 16 ячеек образует тессеракт (8 ячеек). [aa] Каждый большой треугольник имеет одно ребро √ 3 в каждом тессеракте, поэтому он также является кольцом, соединяющим три тессеракта.
^ ab 8 ближайших соседних вершин окружают вершину (в искривленном трехмерном пространстве граничной поверхности из 24 ячеек) так же, как 8 углов куба окружают его центр. ( Вершинная фигура 24-клеточного числа представляет собой куб.)
^ 6 вторых ближайших соседних вершин окружают вершину в искривленном трехмерном пространстве так же, как 6 углов октаэдра окружают его центр.
^ abcd Восемь √ 3 хорд сходятся в углах кубической вершинной фигуры [aj] из 24 ячеек и встречаются в ее центре (вершине), где они образуют 4 прямые линии, которые там пересекаются. Каждая из восьми хорд √ 3 проходит от центра этого куба к центру соседнего по диагонали (связанного вершинами) куба [u] , который является еще одной вершиной 24-клетки: вершиной, расположенной на расстоянии 120 ° в третьей концентрической оболочке куба. восемь √ 3 -отдаленных вершин, окружающих вторую оболочку из шести √ 2 -отдалённых вершин, окружающую первую оболочку из восьми √ 1 -отдалённых вершин.
^ Таким образом ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) — это длины хорд вершин тессеракта, а также 24-клеточной ячейки. Это также диаметры тессеракта (от короткого до длинного), но не 24-клеточного.
^ abcdefghijklmnopqДва параллельных больших круга Клиффорда, охватываемых скрученным кольцом .Параллели Клиффорда — это непересекающиеся кривые линии, параллельные в том смысле, что перпендикулярное (кратчайшее) расстояние между ними одинаково в каждой точке. [14] Двойная спираль является примером клиффордовского параллелизма в обычном трехмерном евклидовом пространстве. В 4-мерном пространстве параллели Клиффорда представляют собой большие геодезические круги на 3-сфере . [15] В то время как в 3-мерном пространстве любые два геодезических больших круга на 2-сфере всегда будут пересекаться в двух противоположных точках, в 4-мерном пространстве не все большие круги пересекаются; На трехмерной сфере можно найти различные наборы параллельных непересекающихся больших геодезических кругов Клиффорда. Возможно, самым простым примером является то, что на трехмерной сфере можно нарисовать шесть взаимно ортогональных больших кругов как три пары полностью ортогональных больших кругов. [j] Каждая полностью ортогональная пара параллельна по Клиффорду. Эти два круга вообще не могут пересекаться, потому что они лежат в плоскостях, пересекающихся только в одной точке: центре трехмерной сферы. [ap] Поскольку они перпендикулярны и имеют общий центр, [aq] эти два круга, очевидно, не параллельны и разделены обычным способом параллельных кругов в трех измерениях; скорее они связаны, как соседние звенья в цепи, каждое проходит через другое, не пересекаясь ни в каких точках, образуя звено Хопфа .
^ Большой геодезический круг лежит в двумерной плоскости, проходящей через центр многогранника. Обратите внимание, что в 4-х измерениях эта центральная плоскость не делит многогранник пополам на две части одинакового размера, как это было бы в 3-х измерениях, точно так же, как диаметр (центральная линия) делит круг пополам, но не делит пополам сферу. Еще одно отличие состоит в том, что в четырех измерениях не все пары больших кругов пересекаются в двух точках, как в трех измерениях; некоторые пары да, но некоторые пары больших кругов представляют собой непересекающиеся параллели Клиффорда. [аг]
^ ab Если пифагорово расстояние между любыми двумя вершинами равно √ 1 , их геодезическое расстояние равно 1; это могут быть две соседние вершины (в искривленном трехмерном пространстве поверхности) или вершина и центр (в четырехмерном пространстве). Если их пифагорово расстояние равно √ 2 , их геодезическое расстояние равно 2 (будь то через 3-мерное или 4-мерное пространство, поскольку путь вдоль краев представляет собой ту же прямую линию с одним изгибом на 90 o , что и путь через центр). Если их пифагорово расстояние равно √ 3 , их геодезическое расстояние по-прежнему равно 2 (будь то большой шестиугольный круг после одного изгиба в 60 o или прямая линия с одним изгибом в 60 o , проходящая через центр). Наконец, если их пифагорово расстояние равно √ 4 , их геодезическое расстояние по-прежнему равно 2 в 4-мерном пространстве (прямо через центр), но достигает 3 в 3-мерном пространстве (пройдя половину большого шестиугольного круга).
^ abcde Фигура вершины — это фасет, полученный путем усечения вершины; канонически — на средних ребрах, инцидентных вершине. Но можно создать подобные вершинные фигуры разных радиусов, усекая в любой точке вдоль этих ребер, вплоть до усечения в соседних вершинах, чтобы получить полноразмерную вершинную фигуру. Стиллвелл определяет фигуру вершины как «выпуклую оболочку соседних вершин данной вершины». [13] Именно это служит здесь иллюстративной целью.
^ Куб не является радиально равносторонним в евклидовом 3-мерном пространстве , но кубическая пирамида радиально равносторонняя в искривленном 3-мерном пространстве поверхности из 24 ячеек, 3-сфере . В четырехмерном пространстве восемь ребер, исходящих из ее вершины, на самом деле не являются ее радиусами: вершина кубической пирамиды на самом деле не ее центр, а всего лишь одна из ее вершин. Но в искривленном трехмерном пространстве ребра, исходящие симметрично от вершины, являются радиусами, поэтому куб в этом искривленном трехмерном пространстве является радиально равносторонним . В евклидовом 4-мерном пространстве 24 ребра, симметрично исходящие из центральной точки, образуют радиально равносторонний 24-клеточный [b], а симметричное подмножество из 16 таких ребер образует радиально равносторонний тессеракт .
^ abcdefg 24-ячейка имеет четыре набора из 4 непересекающихся параллельных Клиффорда [ag] больших кругов, каждый из которых проходит через 6 вершин (большой шестиугольник), причем только один большой шестиугольник в каждом наборе проходит через каждую вершину, и 4 шестиугольника в каждый набор достигает всех 24 вершин. [t] Каждый набор представляет собой дискретное расслоение Хопфа взаимосвязанных больших кругов. 24-ячейку также можно разделить (восемью различными способами) на 4 непересекающихся подмножества по 6 вершин (гексаграмм), которые не лежат в шестиугольной центральной плоскости, причем каждая косая гексаграмма образует изоклиническую геодезическую или изоклину, которая представляет собой круг вращения, через который проходят эти 24 ячейки. 6 вершин в одном конкретном левом или правом изоклиническом вращении. Каждый из этих наборов четырех параллельных изоклин Клиффорда принадлежит одному из четырех дискретных расслоений Хопфа шестиугольных больших кругов. [дд]
^ Шесть √ 2 хорд сходятся в 3-мерном пространстве от центров граней кубической вершинной фигуры из 24 ячеек [aj] и встречаются в ее центре (вершине), где они образуют 3 прямые линии, которые пересекаются там перпендикулярно. 8 вершин куба являются восемью ближайшими другими вершинами 24-клетки, и отсюда сходятся восемь √ 1 ребер, но давайте сейчас проигнорируем их, поскольку 7 прямых линий, пересекающихся в центре, сложно визуализировать все сразу. Каждая из шести хорд √ 2 проходит от центра этого куба (вершины) через центр грани к центру соседнего (связанного гранями) куба, который является еще одной вершиной 24-клетки: не ближайшей вершиной (в углы куба), но один расположен на расстоянии 90° во второй концентрической оболочке из шести √ 2 -отстоящих вершин, которая окружает первую оболочку из восьми √ 1 -отдаленных вершин. Центр грани, через который проходит хорда √ 2 , является серединой хорды √ 2 , поэтому он лежит внутри 24-клетки.
^ Можно разрезать 24-ячейку через 6 вершин (в любой плоскости большого шестиугольного круга) или через 4 вершины (в любой плоскости большого квадратного круга). Это можно увидеть в кубооктаэдре (центральная гиперплоскость 24-клеточного элемента), где есть четыре больших шестиугольных круга (по краям) и шесть больших квадратных кругов (поперек квадратных граней по диагонали).
^ abcd В 16-ячейке 6 ортогональных больших квадратов образуют 3 пары полностью ортогональных больших кругов; каждая пара параллельна Клиффорду. В 24-ячейке 3 вписанные 16-ячейки расположены изоклинически [o] повернуты на 60 градусов относительно друг друга; следовательно, их соответствующие вершины находятся на расстоянии 120 градусов друг от друга в большом шестиугольном круге. Соединение их вершин, находящихся на расстоянии 90 градусов друг от друга, дает соответствующие квадратные большие круги, параллельные Клиффорду. Каждый из 18 квадратных кругов Клиффорда параллелен не только одному другому квадратному большому кругу в той же 16-клетке (полностью ортогональному), но и двум квадратным большим кругам (которые полностью ортогональны друг другу) в каждом из 18 квадратных кругов. два других 16-ячеечных. (Полностью ортогональные большие круги параллельны Клиффорду, но не все параллели Клиффорда ортогональны. [ap] ) Изоклинический поворот 24-х ячеек на 60 градусов в шестиугольных инвариантных плоскостях переводит каждый квадратный большой круг в параллель Клиффорда (но неортогональную). квадрат большого круга в другой 16-клеточной ячейке.
^ ab Каждая квадратная плоскость изоклинична (параллель Клиффорда) пяти другим квадратным плоскостям, но полностью ортогональна [g] только одной из них. [ao] Каждая пара полностью ортогональных плоскостей имеет параллельные Клиффорду большие круги, но не все параллельные Клиффорду большие круги ортогональны (например, ни одна из шестиугольных геодезических в 24-клетке не является взаимно ортогональной).
^ abc В 4-мерном пространстве два больших круга могут быть перпендикулярны и иметь общий центр, который является их единственной точкой пересечения , поскольку в 3-сфере имеется более одной большой 2-сферы . По размерам структура, аналогичная большому кругу (большой 1-сфере), представляет собой большую 2-сферу, [16] которая представляет собой обычную сферу, образующую границу экватора , разделяющую 3-сферу на две равные половины, точно так же, как большой круг делит 2-сферу. Хотя два параллельных больших круга Клиффорда [ag] занимают одну и ту же 3-сферу, они лежат на разных больших 2-сферах. Большие 2-сферы представляют собой параллельные трехмерные объекты Клиффорда, смещенные друг относительно друга на фиксированное расстояние d в четвертом измерении. Их соответствующие точки (на их двух поверхностях) отстоят друг от друга. 2-сферы (под которыми мы подразумеваем их поверхности) вообще не пересекаются, хотя имеют общую центральную точку в 4-мерном пространстве. Смещение d между парой соответствующих им точек представляет собой хорду большого круга, пересекающую обе 2-сферы, поэтому d можно эквивалентно представить как линейное хордовое расстояние или как угловое расстояние.
^ abcd 24-ячейка имеет три набора из 6 непересекающихся параллельных больших кругов Клиффорда, каждый из которых проходит через 4 вершины (большой квадрат), причем только один большой квадрат в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 6 квадратов в каждом наборе достигают все 24 вершины. [1] Каждый набор представляет собой дискретное расслоение Хопфа из 6 взаимосвязанных больших квадратов, которое представляет собой просто соединение трех вписанных 16-клеточных дискретных расслоений Хопфа из 2 взаимосвязанных больших квадратов. 24-ячейку также можно разделить (шестью различными способами) на 3 непересекающихся подмножества по 8 вершин (октаграмм), которые не лежат в центральной плоскости квадрата, а составляют 16-ячейку и лежат на косой октаграмме3, образуя изоклиническую геодезическую или изоклина, которая представляет собой круг вращения, через который проходят эти 8 вершин за одно конкретное левое или правое изоклиническое вращение , когда они вращают позиции внутри 16-ячейки.
^ Сумма 1・96 + 2・72 + 3・96 + 4・12 равна 576.
^ Сумма квадратов длин всех различных хорд любого правильного выпуклого n-многогранника единичного радиуса равна квадрату числа вершин. [17]
^ abcdefghijk Точка при изоклиническом вращении пересекает диагональную [o] прямую линию одной изоклинической геодезической , напрямую достигая пункта назначения, вместо изогнутой линии двух последовательных простых геодезических . [cd] Геодезическая – это кратчайший путь через пространство (интуитивно , между двумя точками натянута веревка). Простые геодезические — это большие круги, лежащие в центральной плоскости (единственный вид геодезических, встречающийся в трехмерном пространстве на двухсфере). Изоклинические геодезические устроены иначе: они не лежат в одной плоскости; это четырехмерные спирали , а не простые двумерные круги. [cb] Но они также не похожи на трехмерную резьбу , потому что образуют замкнутый контур, как любой круг. [cv] Изоклинические геодезические — это 4-мерные большие круги , и они такие же круглые, как и 2-мерные круги: фактически, в два раза круглее, потому что они изгибаются одновременно в двух ортогональных больших кругах. [cw] Это настоящие круги, [cc] и они даже образуют расслоения, как обычные двумерные большие круги. [al] [ar] Эти изоклины представляют собой одномерные геодезические линии, вложенные в четырехмерное пространство. На 3-сфере [cx] они всегда встречаются парами [cz] как круги Вильярсо на торе Клиффорда , геодезические пути, пройденные вершинами при изоклиническом вращении . Это спирали , согнутые в петлю Мёбиуса в четвертом измерении, проходящие по диагональному вьющемуся маршруту вокруг 3-сферы через несмежные вершины [u] скошенного многоугольника Клиффорда 4-многогранника . [ч]
^ Каждая пара параллельных √ 1 ребер соединяет пару параллельных √ 3 хорд, образуя один из 48 прямоугольников (вписанных в 16 центральных шестиугольников), а каждая пара параллельных √ 2 хорд соединяет другую пару параллельных √ 2 хорд, образуя одну. из 18 центральных площадей.
^ abcd Один из способов визуализировать n -мерные гиперплоскости - это n -пространства, которые могут быть определены n + 1 точкой. Точка — это 0-пространство, которое определяется 1 точкой. Линия — это 1-пространство, определяемое двумя несовпадающими точками. Плоскость — это двумерное пространство, определяемое тремя точками, которые не являются коллинеарными (любой треугольник). В четырехмерном пространстве трехмерная гиперплоскость — это трехмерное пространство, определенное четырьмя точками, которые не являются компланарными (любой тетраэдр). В 5-мерном пространстве 4-мерная гиперплоскость — это 4-мерное пространство, которое определяется 5 точками, которые не являются коклеточными (любая 5-ячейка). Эти симплексные фигуры делят гиперплоскость на две части (внутри и снаружи фигуры), но кроме того делят объемлющее пространство на две части (над и под гиперплоскостью). n точек ограничивают конечную симплексную фигуру (снаружи) и определяют бесконечную гиперплоскость (изнутри). [34] Эти два деления ортогональны, поэтому определяющий симплекс делит пространство на шесть областей: внутри симплекса и в гиперплоскости, внутри симплекса, но выше или ниже гиперплоскости, вне симплекса, но в гиперплоскости, и вне симплекса выше или ниже гиперплоскости.
^ abcdefg Два угла необходимы для фиксации относительного положения двух плоскостей в 4-мерном пространстве. [18] Поскольку все плоскости в одной и той же гиперплоскости [aw] находятся на расстоянии 0 градусов друг от друга по одному из двух углов, в трехмерном пространстве требуется только один угол. Большие шестиугольники в разных гиперплоскостях отстоят друг от друга под обоими углами на 60 градусов . Большие квадраты в разных гиперплоскостях отстоят друг от друга на 90 градусов по обоим углам (полностью ортогонально) [g] или на 60 градусов по обоим углам. [ао] Плоскости, разделенные двумя равными углами, называются изоклиническими . Изоклинические плоскости имеют параллельные большие круги Клиффорда . [ag] Большой квадрат и большой шестиугольник в разных гиперплоскостях могут быть изоклиническими, но часто они разделены углом 90 градусов и углом 60 градусов.
^ Каждая пара параллельных многоугольников Клиффорда лежит в двух разных гиперплоскостях (кубооктаэдрах). Четыре параллельных шестиугольника Клиффорда лежат в четырех разных кубооктаэдрах.
^ Два пересекающихся больших квадрата или больших шестиугольника имеют общие две противоположные вершины, но квадраты или шестиугольники на параллельных больших кругах Клиффорда не имеют общих вершин. Два пересекающихся больших треугольника имеют общую только одну вершину, поскольку у них нет противоположных вершин.
^ abcde В 24-ячейке каждая плоскость большого квадрата полностью ортогональна [g] другой плоскости большого квадрата, а каждая плоскость большого шестиугольника полностью ортогональна плоскости, которая пересекает только две противоположные вершины: плоскости большого двуугольника .
^ abc Внутренние элементы не считаются элементами многогранника. Например, центр 24-клеточного элемента является примечательным элементом (как и его длинные радиусы), но эти внутренние элементы не считаются элементами в его матрице конфигурации, которая учитывает только элементарные элементы (которые не являются внутренними ни для одного другого элемента). включая сам многогранник). Внутренние элементы не показаны на большинстве диаграмм и иллюстраций в этой статье (обычно они невидимы). На иллюстрациях, показывающих внутренние элементы, мы всегда рисуем внутренние края пунктирными линиями, чтобы отличить их от элементарных краев.
^ 600-ячеечный больше, чем 24-ячеечный, и содержит 24-ячеечный элемент в качестве внутренней детали. [19] Правильный 5-клеточный не встречается внутри какого-либо выпуклого правильного 4-клеточного многогранника, кроме 120-клеточного , [20] хотя каждый выпуклый 4-клеточный многогранник можно разложить на неправильные 5-клеточные.
^Построение ромбододекаэдра из куба.Эта анимация показывает построение ромбододекаэдра из куба путем инвертирования пирамид куба, расположенных между центром и гранью. Конструкция Госсета из 24 ячеек из тессеракта является 4-мерным аналогом этого процесса, инвертирующим пирамиды из центра в ячейки 8-ячеечного (тессеракта). [22]
^ Мы можем отрезать вершину многоугольника с помощью 0-мерного режущего инструмента (например, острия ножа или головки молнии), проведя ее вдоль 1-мерной линии, обнажив новый край. Мы можем отрезать вершину многогранника одномерной режущей кромкой (например, ножом), проведя ее через двумерную плоскость грани, обнажая новую грань. Мы можем отрезать вершину от полихорона (4-многогранника) двумерной секущей плоскостью (например, снегоочистителем), проведя ее через трехмерный объем ячейки, обнажая новую ячейку. Обратите внимание, что, как и в пределах новой длины ребра многоугольника или новой области грани многогранника, каждая точка в новом объеме ячеек теперь отображается на поверхности многогранника.
^ Каждая плоскость грани ячейки пересекается с другими плоскостями граней такого же типа, которым она не полностью ортогональна или параллельна на их характерном крае вершинной хорды. Соседние грани ячеек с ортогональными гранями (например, кубов) пересекаются по ребру, поскольку они не полностью ортогональны. [k] Хотя их двугранный угол составляет 90 градусов в граничном трехмерном пространстве, они лежат в одной и той же гиперплоскости [aw] (в четвертом измерении они совпадают, а не перпендикулярны); таким образом, они пересекаются по прямой, как это делают непараллельные плоскости в любом трехмерном пространстве.
^ ab Единственные плоскости, проходящие ровно через 6 вершин 24-клетки (не считая центральной вершины), - это 16 больших шестиугольных кругов . Не существует плоскостей, проходящих ровно через 5 вершин. Существует несколько видов плоскостей, проходящих ровно через 4 вершины: квадратные большие круги 18 √ 2 , квадратные грани (тессеракт) 72 √ 1 и прямоугольники 144 √ 1 на √ 2 . Плоскости, проходящие ровно через 3 вершины, представляют собой грани 96 √ 2 равностороннего треугольника (16 ячеек) и грани 96 √ 1 равностороннего треугольника (24 ячейки) . Существует бесконечное число центральных плоскостей, проходящих ровно через две вершины (большие двуугольники круга ); Различают 16, поскольку каждый полностью ортогонален [g] одному из 16 больших шестиугольных кругов. В проекциях и анимации вращения, иллюстрирующих эту статью, видны только многоугольники, состоящие из 24 ячеек √ 1 ребер; остальные содержат невидимые внутренние аккорды. [бб]
^ Кубическая вершинная фигура из 24 ячеек [aj] была усечена до тетраэдрической вершинной фигуры (см. рисунок Кеплера). Вершинный куб исчез, и теперь у вершинной фигуры осталось только 4 угла там, где раньше было 8. Четыре ребра тессеракта сходятся из вершин тетраэдра и встречаются в его центре, где они не пересекаются (поскольку у тетраэдра нет противоположных вершин). вершины).
^ abc Два тессеракта имеют общие только вершины, а не ребра, грани, кубы (с вписанными тетраэдрами) или октаэдры (центральные квадратные плоскости которых представляют собой квадратные грани кубов). Октаэдр, который касается другого октаэдра в вершине (но не на ребре или грани), касается октаэдра в другом тессеракте и пары соседних кубов в другом тессеракте, общую квадратную грань которого охватывает октаэдр, и тетраэдра, вписанного в каждый из этих кубиков.
^ abcd Общее ядро 24-ячеечной ячейки и вписанных в нее 8-ячеечной и 16-ячеечной ячеек представляет собой вписанную в сферу двойную 24-ячеечную сферу единичного радиуса с длиной ребра и радиусом 1/2. [26] Исправление любой из трех 16-ячеек обнаруживает эту меньшую 24-ячейку, в которой содержание 4-х элементов составляет только 1/8 (1/16 от содержания 24-ячеек с единичным радиусом). Его вершины лежат в центрах октаэдрических ячеек 24-клеток, которые также являются центрами квадратных граней тессерактов, а также центрами ребер 16-клеток. [27]
^ Кубическая вершинная фигура из 24 ячеек [aj] была усечена до октаэдрической вершинной фигуры. Вершинный куб исчез, и теперь в вершинной фигуре осталось только 6 углов там, где раньше их было 8. Хорды 6 √ 2 , которые раньше сходились из центров граней куба, теперь сходятся из вершин октаэдра; но, как и раньше, они встречаются в центре, где три прямые пересекаются перпендикулярно. Вершины октаэдра расположены на расстоянии 90° от исчезнувшего куба, в новых ближайших вершинах; до усечения это были 24-ячеечные вершины во второй оболочке окружающих вершин.
^ abcd Каждая из 72 √ 2 хорд в 24-клетке представляет собой грань диагонали в двух различных кубических ячейках (разных 8-клеток) и ребро четырех тетраэдрических ячеек (всего в одной 16-ячейке).
^ ab Ортосхема — это киральный неправильный симплекс с прямоугольными гранями, который характерен для некоторого многогранника, если он точно заполняет этот многогранник отражениями самого себя в своих собственных гранях (его зеркальных стенках ). Каждый правильный многогранник можно разрезать радиально на экземпляры его характерной ортосхемы , окружающей его центр. Характеристическая ортосхема имеет форму, описываемую той же диаграммой Кокстера-Дынкина, что и правильный многогранник без образующего точечного кольца.
^ 24 вершины 24-ячейки, каждая из которых используется дважды, являются вершинами трех тессерактов по 16 вершин.
^ 24 вершины 24-ячейки, каждая из которых используется один раз, являются вершинами трех 8-вершинных 16-ячеек. [п]
^ Края 16 ячеек не показаны ни на одной из визуализаций в этой статье; если бы мы хотели показать внутренние края, их можно было бы нарисовать пунктирными линиями. Края вписанных тессерактов всегда видны, поскольку они также являются краями 24-клетки.
^ 4-мерное содержимое тессеракта единичной длины ребра равно 1 (по определению). Содержимое единичной длины ребра 24-ячейки равно 2, поэтому половина его содержимого находится внутри каждого тессеракта, а половина — между их оболочками. Каждая 16-ячейка (длина ребра √ 2 ) содержит 2/3 содержимого, оставляя 1/3 окружающего тессеракта между их оболочками.
^ Между оболочкой из 24 ячеек и оболочкой из 8 ячеек мы имеем 8 кубических пирамид конструкции Госсета. Между оболочкой из 8 ячеек и оболочкой из 16 ячеек мы имеем 16 правильных тетраэдрических пирамид , вершины которых заполняют углы тессеракта.
^ abc Рассмотрим три перпендикуляра длиной √ 2 диаметра октаэдрической ячейки. [31] Каждый из них является ребром отдельной 16-клетки. Две из них — диагонали грани квадратной грани между двумя кубами; каждая представляет собой хорду √ 2 , которая соединяет две вершины этих 8-клеточных кубов на квадратной грани, соединяет две вершины двух 16-клеточных тетраэдров (вписанных в кубы) и соединяет две противоположные вершины 24-клеточного октаэдра (диагонально через две из трех ортогональных квадратных центральных секций). [bl] Третий перпендикулярный длинный диаметр октаэдра делает точно то же самое (по симметрии); поэтому он также соединяет две вершины пары кубов через их общую квадратную грань: но другую пару кубов, отличную от одного из других тессерактов в 24-клетке. [би]
^ abc Поскольку в 24-ячейку вписаны три перекрывающихся тессеракта, [v] каждая октаэдрическая ячейка лежит на кубической ячейке одного тессеракта (в кубической пирамиде, основанной на кубе, но не на объеме куба), а на двух кубические ячейки каждой из двух других тессерактов (кубические ячейки, которые он охватывает, разделяя их объем). [бс]
^ На первый взгляд это может показаться невозможным с угловой точки зрения, и действительно, это будет происходить в плоском пространстве всего в трех измерениях. Если два куба лежат лицом к лицу в обычном трехмерном пространстве (например, на поверхности стола в обычной трехмерной комнате), внутри них поместится октаэдр так, что четыре из шести его вершин находятся в четырех точках. углы квадратной грани между двумя кубиками; но тогда две другие вершины октаэдра не будут лежать в углу куба (они попадут в объем двух кубов, но не в вершину куба). В четырех измерениях это не менее верно! Две другие октаэдрические вершины не лежат в углах соседнего гране-связанного куба в том же тессеракте. Однако в 24-клетке имеется не один вписанный тессеракт (по 8 кубиков), а три перекрывающихся тессеракта (по 8 кубиков каждый). Две другие октаэдрические вершины лежат в углу куба, но куб находится в другом (перекрывающемся) тессеракте. [бт]
^ Важно визуализировать радиусы только как невидимые внутренние особенности 24 ячеек (пунктирные линии), поскольку они не являются краями сот. Аналогично, центр 24-ячейки пуст (это не вершина сот).
^ В отличие от 24-клеточного и тессеракта, 16-клеточный не является радиально равносторонним; поэтому в сотах с единичной длиной ребра встречаются 16 ячеек двух разных размеров (единичная длина ребра по сравнению с единичным радиусом). Двадцать четыре 16-ячейки, которые встречаются в центре каждой 24-ячейки, имеют единичную длину ребра и радиус.√ 2/2. Три 16-ячейки, вписанные в каждую 24-ячейку, имеют длину ребра √ 2 и единичный радиус.
^ Трехмерное вращение происходит вокруг оси. Вокруг плоскости могут происходить четырехмерные вращения . Таким образом, в трех измерениях мы можем складывать плоскости вокруг общей линии (как при складывании плоской сети из 6 квадратов в куб), а в четырех измерениях мы можем складывать ячейки вокруг общей плоскости (как при складывании плоской сети из 8 кубиков). превратился в тессеракт ). Сгибание квадратной грани — это просто одновременное сгибание двух его ортогональных краев ; для этого в трех измерениях недостаточно места, как не хватает места в двух измерениях, чтобы сложить линию (достаточно только для сгиба вокруг точки).
^ Существует (по крайней мере) два вида правильных аналогий измерений : обычный вид между измерением n и измерением n + 1 и гораздо более редкий и менее очевидный вид между измерением n и измерением n + 2. Примером последнего является то, что вращения в 4-мерном пространстве могут происходить вокруг одной точки, как и вращения в 2-мерном пространстве. Другое правило — правило n -сфер , согласно которому площадь поверхности сферы, заключенной в n +2 измерениях, в точности в 2 π r раза превышает объем , заключенный в сфере, заключенной в n измерениях. Наиболее известными примерами являются окружность круга. равна 2 π r, умноженная на 1, а площадь поверхности обычной сферы равна 2 π r, умноженная на 2 r . Коксетер приводит [43] это как пример того, что размерная аналогия может подвести нас как метод, но на самом деле это наша неспособность понять, является ли одномерная или двумерная аналогия подходящим методом.
^ Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве могут происходить вокруг плоскости, например, когда соседние ячейки сгибаются вокруг своей плоскости пересечения (по аналогии с тем, как соседние грани сгибаются вокруг своей линии пересечения). [bx] Но в четырех измерениях существует еще один способ вращения, называемый двойным вращением . Двойные вращения — это новое явление в четвёртом измерении, которое не имеет аналогов в трёх измерениях: складывание квадратных граней и складывание кубических ячеек являются примерами простых вращений , единственного вида, который происходит менее чем в четырёх измерениях. При трехмерном вращении точки линии остаются неподвижными во время вращения, в то время как все остальные точки перемещаются. При простом четырехмерном вращении точки плоскости остаются неподвижными во время вращения, в то время как все остальные точки перемещаются. При 4-мерном двойном вращении точка остается неподвижной во время вращения, а все остальные точки перемещаются (как при 2-мерном вращении!). [к]
^ abcde При клиффордовском смещении , также известном как изоклиническое вращение , все инвариантные плоскости, параллельные Клиффорду [ag], смещаются одновременно в четырех ортогональных направлениях: они поворачиваются на один и тот же угол и в то же время наклоняются вбок на тот же самый угол при полностью ортогональном вращении. [cc] Смещение Клиффорда является 4 -мерным диагональным . [о] Каждая плоскость, параллельная по Клиффорду одной из полностью ортогональных плоскостей (включая в данном случае весь параллельный Клиффорду пучок из 4 шестиугольников, но не всех 16 шестиугольников), инвариантна относительно изоклинического вращения: все точки в плоскости вращаются. по кругу, но остаются в плоскости, даже если вся плоскость наклоняется вбок. [ch] Все 16 шестиугольников вращаются на один и тот же угол (хотя только 4 из них делают это инвариантно). Все 16 шестиугольников повернуты на 60 градусов, а также смещены вбок на 60 градусов к параллельному шестиугольнику Клиффорда. Все остальные центральные многоугольники (например, квадраты) также смещаются в параллельный многоугольник Клиффорда на 60 градусов.
^ abc Можно сказать, что при двойном вращении каждая вершина движется по двум полностью ортогональным большим кругам одновременно, но она не остается в пределах центральной плоскости ни одного из этих исходных больших кругов; скорее, он движется по винтовой геодезической, которая проходит по диагонали между большими кругами. Две полностью ортогональные плоскости вращения называются инвариантными , поскольку точки в каждой из них остаются на своих местах в плоскости при движении плоскости , вращаясь и наклоняясь в сторону на угол, на который поворачивается другая плоскость.
^ abcdefg Изоклинический поворот на 60° — это два простых поворота на 60° одновременно. [cu] Он перемещает все вершины на 120° одновременно в разных направлениях. Шесть последовательных диагональных поворотных приращений, по 60°x60° каждый, перемещают каждую вершину на 720° по двойной петле Мёбиуса, называемой изоклиной , дважды вокруг 24-клеточной ячейки и обратно в исходную точку за одно и то же время (шесть вращательных единиц). ), что потребуется простое вращение, чтобы один раз обойти вершину 24-клетки обычного большого круга. [cv] Спиральная двойная петля 4𝝅 изоклины — это просто еще один вид одиночного полного круга, имеющего тот же временной интервал и период (6 хорд), что и простой большой круг. Изоклина — это один истинный круг, [cw] такой же идеально круглый и геодезический, как простой большой круг, даже несмотря на то, что его хорды на √ 3 длиннее, его длина равна 4𝝅 вместо 2𝝅, [cy] она проходит через четыре измерения вместо двух, [cz] и действует в двух киральных формах (левой и правой), хотя все такие круги одной и той же окружности прямо конгруэнтны. [ch] Тем не менее, чтобы избежать путаницы, мы всегда называем его изоклиной и оставляем термин « большой круг» для обычного большого круга на плоскости.
^ abcde Любое двойное вращение (включая изоклиническое вращение) можно рассматривать как композицию двух простых вращений a и b : левого двойного вращения как a , затем b и правого двойного вращения как b , затем a . Простые вращения не коммутативны; вращение влево и вправо (в целом) достигает разных пунктов назначения. Разница между двойным вращением и двумя составляющими его простыми вращениями заключается в том, что двойное вращение является четырехмерно диагональным: каждая движущаяся вершина достигает своего пункта назначения напрямую , не проходя через промежуточную точку, к которой прикасается a , а затем b , или другую промежуточную точку, к которой прикасается b. затем a , вращаясь по одной винтовой геодезической (так что это кратчайший путь). [cb] И наоборот, любое простое вращение можно рассматривать как композицию двух двойных вращений под равными углами (левое изоклиническое вращение и правое изоклиническое вращение), [cc] , как обнаружил Кэли ; Возможно, это удивительно, но эта композиция коммутативна и возможна также для любого двойного вращения. [46]
^ Вращение в 4-мерном пространстве полностью характеризуется выбором инвариантной плоскости, а также угла и направления (влево или вправо), на которые она вращается, а также другого угла и направления, на которые вращается ее одна полностью ортогональная инвариантная плоскость. Два вращательных перемещения являются идентичными, если они имеют одну и ту же пару инвариантных плоскостей вращения на одни и те же углы в одних и тех же направлениях (и, следовательно, также одно и то же киральное спаривание направлений). Таким образом, общее вращение в 4-мерном пространстве — это двойное вращение , характеризующееся двумя углами. Простое вращение — это особый случай, в котором один угол вращения равен 0. [cd] Изоклиническое вращение — это другой частный случай, похожий, но не идентичный двум простым вращениям на один и тот же угол. [ок]
^ abcd Прилагательные left и right обычно используются в двух разных смыслах, чтобы различать два разных типа спаривания. Они могут относиться к альтернативным направлениям: рука на левой стороне тела и рука на правой стороне. Или они могут относиться к хиральной паре энантиаморфных объектов: левая рука является зеркальным отражением правой руки (как вывернутая наизнанку перчатка). В случае с руками предполагаемое значение редко бывает двусмысленным, потому что, конечно, рука на левой стороне является зеркальным отражением руки на правой стороне: рука либо левая , либо правая в обоих смыслах. Но в случае четырехмерных объектов с двойным вращением правильно применим только один смысл левого и правого: энантиаморфный смысл, в котором левое и правое вращение являются зеркальными отражениями друг друга наизнанку. Есть два направления, которые мы можем назвать положительным и отрицательным, в которых движущиеся вершины могут вращаться по своим изоклинам, но было бы двусмысленно называть эти круговые направления «правым» и «левым», поскольку направление вращения и его киральность независимые свойства: вращение вправо (или влево) может осуществляться как в положительном, так и в отрицательном направлении. Левое вращение не вращается «влево», правое вращение не вращается «вправо», и в отличие от ваших левой и правой рук двойные вращения не лежат на левой или правой стороне 4-мерного многогранника. Если двойное вращение можно сравнить с левой и правой рукой, то их лучше рассматривать как пару сцепленных рук, сосредоточенных на теле, потому что, конечно, они имеют общий центр.
^ abc Многоугольник Петри с 24 ячейками представляет собой косой додекагон {12}, а также (ортогонально) косую додекаграмму {12/5}, которая зигзагами 90 ° влево и вправо, как края, разделяющие черные и белые квадраты на шахматной доске . [63] Напротив, перекошенная изоклина гексаграммы 2 не зигзагообразна, а остается по одну или другую сторону разделительной линии между черным и белым, подобно путям слонов вдоль диагоналей черных или белых квадратов шахматная доска. [u] Додекагон Петри представляет собой круговую спираль из √ 1 ребер, которая зигзагами 90 ° влево и вправо вдоль 12 ребер 6 различных октаэдров (с 3 последовательными ребрами в каждом октаэдре) с поворотом на 360 °. Напротив, изоклиническая гексаграмма 2 имеет √ 3 ребра, которые все изгибаются влево или вправо в каждой второй вершине вдоль геодезической спирали обеих киральностей (левой и правой) [ch] , но только одного цвета (черного или белого), [cn] посещение одной вершины каждого из тех же шести октаэдров при повороте на 720°.
^ abcdefghijklm Траекторию хорды изоклины (геодезическая, вдоль которой вершина движется при изоклиническом вращении) можно назвать многоугольником Клиффорда 4-многогранника , поскольку это косая многоугольная форма окружностей вращения, через которые проходят вершины 4-многогранника в его характерное смещение Клиффорда . [62] Изоклина представляет собой спиральную двойную петлю Мёбиуса, которая дважды меняет свою киральность в ходе полного двойного контура. Обе петли полностью содержатся в одном и том же кольце ячеек, где они обе следуют по хордам, соединяющим четные (нечетные) вершины: обычно противоположные вершины соседних ячеек, расположенные на расстоянии двух ребер друг от друга. [cn] Обе «половинки» двойной петли проходят через каждую ячейку клеточного кольца, но пересекают только две четные (нечетные) вершины в каждой четной (нечетной) ячейке. Каждая пара пересекающихся вершин в четной (нечетной) ячейке лежит друг напротив друга на ленте Мёбиуса на расстоянии ровно одного ребра. Таким образом, через каждую ячейку проходят обе спирали, которые являются параллелями Клиффорда [ag] противоположной киральности в каждой паре параллельных точек. В глобальном масштабе эти две спирали представляют собой единый связанный круг обеих киральности без общего кручения . Изоклина действует как левая (или правая) изоклина при прохождении через левое (или правое) вращение (различных расслоений). [сс]
^ То, что двойное вращение может вывернуть 4-многогранник наизнанку, еще более заметно в двойном вращении тессеракта .
^ Поскольку точки и линии сложно раскрасить в белый цвет, мы иногда используем черный и красный вместо черно-белого. В частности, хорды изоклин иногда изображаются черными или красными пунктирными линиями. [бб]
^ abc Каждая большая квадратная плоскость изоклинична (параллель Клиффорда) пяти другим квадратным плоскостям, но полностью ортогональна [g] только одной из них. [ao] Каждая пара полностью ортогональных плоскостей имеет параллельные Клиффорду большие круги, но не все параллельные Клиффорду большие круги ортогональны (например, ни одна из шестиугольных геодезических в 24-клетке не является взаимно ортогональной). Существует также другой способ, по которому полностью ортогональные плоскости входят в выдающуюся категорию параллельных плоскостей Клиффорда: они не киральны или, строго говоря, обладают обеими киральностью. Пара изоклинических (параллельных Клиффорда) плоскостей является либо левой парой , либо правой парой , если они не разделены двумя углами 90 ° (полностью ортогональные плоскости) или 0 ° (совпадающие плоскости). [56] Большинство изоклинических плоскостей соединяются только за счет левого изоклинического вращения или правого изоклинического вращения соответственно. Полностью ортогональные плоскости особенные: пара плоскостей представляет собой одновременно левую и правую пару, поэтому либо левое, либо правое изоклиническое вращение объединит их. Это происходит потому, что изоклинические плоскости во всех парах вершин расположены на расстоянии 180 ° друг от друга: не только параллельно Клиффорду, но и полностью ортогонально. Изоклины (хиральные пути вершин) [au] изоклинических поворотов на 90 ° являются особенными по той же причине. Левая и правая изоклины проходят через один и тот же набор антиподальных вершин (затрагивая оба конца каждой оси из 16 ячеек ), вместо того, чтобы проходить через непересекающиеся левые и правые подмножества черных или белых антиподальных вершин (затрагивая только один конец каждой оси), как левые и правые изоклины всех остальных расслоений делают это.
^ Хиральность и четность/нечетность — это разные вкусы. Вещи, которые имеют четность/нечетность координат, являются черными или белыми: квадраты шахматной доски , ячейки [cj] , вершины и изоклины , которые соединяют их изоклиническим вращением. [au] Все остальное черно-белое: например, соседние пары ячеек, связанных гранями , или края и хорды , которые черные на одном конце и белые на другом. Вещи, обладающие киральностью , бывают правых или левых энантиоморфных форм: изоклинические вращения и киральные объекты , которые включают характерные ортосхемы , пары параллельных клиффордовских больших многоугольных плоскостей , [ck] расслоения параллельных клиффордовых кругов (независимо от того, являются ли сами круги киральными), и хиральные клеточные кольца, обнаруженные в 16- и 600-клеточных клетках . Вещи, которые не имеют ни четности/нечетности, ни киральности, включают все ребра и грани (общие для черных и белых ячеек), многоугольники большого круга и их расслоения , а также нехиральные клеточные кольца, такие как 24-клеточные клеточные кольца октаэдров. Некоторые вещи имеют как четную/нечетную четность, так и хиральность: изоклины черные или белые, потому что они соединяют вершины одного цвета, и они действуют как левые или правые киральные объекты, когда являются путями вершин при вращении влево или вправо. , хотя сами по себе они не обладают присущей киральности. Каждое левое (или правое) вращение пересекает равное количество черных и белых изоклин. [ч]
^ Левое и правое изоклиническое вращение одинаково разделяет 24 ячейки (и 24 вершины) на черное и белое. [41] Вращения всех расслоений одного и того же вида большого многоугольника используют одну и ту же шахматную доску, что является соглашением о системе координат, основанной на четных и нечетных координатах. Левая и правая не являются цветами: ни при левом, ни при правом вращении половина движущихся вершин — черные, проходящие по черным изоклинам через черные вершины, а другая половина — белые вершины, также вращающиеся между собой. [кл]
^ abcdefgh Изоклинические вращения [au] разделяют 24 ячейки (и 24 вершины) 24-клеточной матрицы на два непересекающихся подмножества по 12 ячеек (и 12 вершин), четных и нечетных (или черных и белых), которые перемещаются местами между собой. , аналогично тому, как диагональные ходы слонов [u] ограничивают их черными или белыми клетками шахматной доски . [см]
^ ab Хотя соседние вершины изоклинической геодезической находятся на расстоянии √ 3 друг от друга, точка вращающегося твердого тела не перемещается по хорде: она движется по дуге между двумя конечными точками хорды (большое расстояние). При простом вращении между двумя вершинами на расстоянии √ 3 друг от друга вершина перемещается по дуге большого шестиугольного круга к вершине, расположенной на расстоянии двух ребер большого шестиугольника, и проходит через промежуточную вершину шестиугольника на полпути. Но при изоклиническом вращении между двумя вершинами на расстоянии √ 3 друг от друга вершина движется по винтовой дуге, называемой изоклиной (а не плоским большим кругом), [au] , которая не проходит через промежуточную вершину: она пропускает вершину, ближайшую к ее середине. [ты]
^ P 0 и P 1 лежат в одной гиперплоскости (одном и том же центральном кубооктаэдре), поэтому другой угол их разделения равен 0. [ax]
^ V 0 и V 2 находятся на расстоянии двух √ 3 хорд друг от друга на геодезическом пути этой изоклины вращения, но это не самый короткий геодезический путь между ними. В 24-ячейке невозможно, чтобы две вершины находились дальше одной хорды на расстоянии √ 3 , если только они не являются противоположными вершинами на расстоянии √ 4 друг от друга. [ai] V 0 и V 2 находятся на расстоянии одной хорды √ 3 на какой-то другой изоклине и всего на расстоянии √ 1 на каком-то большом шестиугольнике. Между V 0 и V 2 изоклиническое вращение прошло долгий путь вокруг 24-ячейки на протяжении двух √ 3 хорд, чтобы достичь вершины, которая находилась всего на расстоянии √ 1 . В более общем смысле, изоклины являются геодезическими, потому что расстояние между их соседними вершинами является кратчайшим расстоянием между этими двумя вершинами при некотором вращении, соединяющем их, но на трехмерной сфере может быть другое вращение, более короткое. Путь между двумя вершинами по геодезической не всегда является кратчайшим расстоянием между ними (даже на обычных геодезических большого круга).
^ P 0 и P 2 находятся на расстоянии 60 ° друг от друга по обоим углам разделения. [ax] Параллельные плоскости Клиффорда изоклиничны (это означает, что они разделены двумя равными углами), и все их соответствующие вершины находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Хотя V 0 и V 2 находятся на расстоянии двух √ 3 хорд друг от друга [cq] , P 0 и P 2 находятся на расстоянии всего лишь одного √ 1 ребра (в каждой паре ближайших вершин).
^ abcd Каждая половина косой гексаграммы представляет собой открытый треугольник из трех хорд √ 3 , два открытых конца которых находятся на расстоянии одной ребра √ 1 друг от друга. Две половины, как и вся изоклина, не имеют присущей им киральности, но имеют одинаковый цвет четности (черный или белый). Половинки представляют собой два противоположных «края» ленты Мёбиуса шириной √ 1 ; на самом деле у него есть только одно ребро, которое представляет собой единый непрерывный круг с 6 хордами.
^ abc При выходе из любой вершины V 0 в исходной плоскости большого шестиугольника изоклинического вращения P 0 первая вершина, достигшая V 1 , находится на расстоянии 120 градусов по хорде √ 3 , лежащей в другой шестиугольной плоскости P 1 . P 1 наклонен к P 0 под углом 60°. [cp] Вторая вершина, достигшая V 2 , находится на 120 градусов дальше V 1 вдоль второй хорды √ 3 , лежащей в другой шестиугольной плоскости P 2 , которая является Клиффордом, параллельной P 0 . [cr] (Обратите внимание, что V 1 лежит в обеих пересекающихся плоскостях P 1 и P 2 , поскольку V 0 лежит как в P 0, так и в P 1 . Но P 0 и P 2 не имеют общих вершин; они не пересекаются.) Третья вершина, достигшая V 3, находится на 120 градусов дальше V 2 вдоль третьей хорды √ 3 , лежащей в другой шестиугольной плоскости P 3 , которая является Клиффордом параллельной P 1 . V 0 и V 3 — смежные вершины на расстоянии √ 1 друг от друга. [cs] Три хорды √ 3 лежат в разных 8-клетках. [v] От V 0 до V 3 представляет собой изоклиническое вращение на 360 ° и половину многоугольника Клиффорда с двойной гексаграммой 2 из 24 ячеек . [ч]
^ Композиция двух простых поворотов на 60 ° в паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей представляет собой изоклинический поворот на 60 ° в четырех парах полностью ортогональных инвариантных плоскостей. [cd] Таким образом, изоклиническое вращение представляет собой соединение четырех простых вращений, и все 24 вершины вращаются в инвариантных шестиугольных плоскостях, а в простом вращении всего 6 вершин.
^ abcd Поскольку спиральная геодезическая гексаграмма 2 24-ячеечной геодезической изогнута в скрученное кольцо в четвертом измерении, как лента Мёбиуса , ее винтовая резьба удваивается поперек себя при каждом обороте, меняя свою хиральность [ch] , но никогда не меняя ее четности / нечетная четность вращения (черное или белое). [cn] Изоклинический путь с 6 вершинами образует двойную петлю Мёбиуса, похожую на трехмерную двойную спираль, концы двух параллельных спиралей с 3 вершинами перекрестно соединены друг с другом. Эта изоклина 60° [dc] представляет собой перекошенный экземпляр правильного составного многоугольника , обозначенного {6/2}=2{3} или гексаграммой 2 . [cs] Последовательные √ 3 ребра принадлежат разным 8-ячейкам, поскольку изоклинический поворот на 720 ° пропускает каждый шестиугольник через все шесть шестиугольников в кольце из 6 ячеек, а каждая 8-ячейка - через все три 8-ячейки дважды. [в]
^ ab Изоклинические геодезические или изоклины представляют собой четырехмерные большие круги в том смысле, что они представляют собой одномерные геодезические линии , которые изгибаются в четырехмерном пространстве сразу в двух ортогональных больших кругах. [cx] Их не следует путать с большими 2-сферами , [16] которые являются 4-мерными аналогами больших кругов (больших 1-сфер). [aq] Дискретные изоклины представляют собой многоугольники; [ch] дискретные большие 2-сферы — это многогранники.
^ abcd Все изоклины являются геодезическими , а изоклины в 3-сфере представляют собой круги (равномерно изогнутые в каждом измерении), но не все изоклины в 3-многообразиях в 4-мерном пространстве являются кругами.
^ Все трехсферные изолинии одной и той же окружности представляют собой прямо конгруэнтные круги. [cx] Обычный большой круг представляет собой изоклину окружности 2𝝅; простые вращения происходят на 2𝝅 изоклинах. Двойные вращения могут иметь изоклины длиной до 8° окружности. Поскольку характерные вращения нескольких правильных 4-многогранников происходят в одних и тех же инвариантных плоскостях (шестиугольных плоскостях 24-клеток), все эти вращения имеют конгруэнтные изоклины окружности 4𝝅. Правильные 4-многогранники, которые характерно вращаются на 4𝝅 изоклинах (когда они вращаются в изоклинических инвариантных плоскостях, содержащих их ребра), - это 5-ячеечный, 8-ячеечный, 24-ячеечный и 120-ячеечный.
^ abc Изоклины на 3-сфере встречаются в непересекающихся парах с четностью/нечетностью координат. [cn] Одна черная или белая изоклина образует петлю Мёбиуса , называемую торическим узлом {1,1} или кругом Вильярсо [54] , в которой каждый из двух «кругов», соединенных в петлю Мёбиуса «восьмерка», проходит через все четыре измерения. . [ch] Двойная петля — это настоящий круг в четырех измерениях. [cc] Четные и нечетные изоклины также связаны, но не в петле Мёбиуса, а как зацепление Хопфа двух непересекающихся окружностей, [ag] как и все параллельные изоклины Клиффорда расслоения Хопфа .
^ При изоклиническом вращении жесткой 24-ячеистой структуры на 720 ° 24 вершины вращаются по четырем отдельным геодезическим петлям параллельной гексаграммы Клиффорда 2 (шесть вершин вращаются в каждой петле) и возвращаются в исходное положение. [чеш]
^ Длину ленты можно измерить по ее центральной линии или разрезав полученную ленту Мёбиуса перпендикулярно ее границе так, чтобы она образовала прямоугольник.
^ Полоску бумаги можно сформировать сплющенную на плоскости ленту Мёбиуса, сложив ее под углами так, чтобы ее центральная линия лежала вдоль равностороннего треугольника, и соединив концы. Самая короткая полоска, для которой это возможно, состоит из трех равносторонних бумажных треугольников, загнутых по краям в местах соприкосновения двух треугольников. Поскольку петля пересекает обе стороны каждого бумажного треугольника, это шестиугольная петля, охватывающая шесть равносторонних треугольников. Его соотношение сторон – отношение длины полосы [дБ] к ее ширине – составляет .
^ Каждый набор параллельных многоугольников большого круга Клиффорда представляет собой другой пучок слоев, чем соответствующий набор полиграмм параллельных изоклин Клиффорда [au] , но два пучка слоев вместе составляют одно и то же дискретное расслоение Хопфа , поскольку они нумеруют 24 вершины вместе по их пересечение в одном и том же отчетливом (левом или правом) изоклиническом вращении. Они представляют собой основу и уток той же ткани, что и волокно.
^ abc Выбор разбиения правильного 4-многогранника на клеточные кольца (расслоение) произволен, поскольку все его ячейки одинаковы. Никакое конкретное расслоение не выделяется, если только 4-многогранник не вращается. Каждое расслоение соответствует паре изоклинических вращений влево-вправо в определенном наборе параллельных инвариантных центральных плоскостей вращения Клиффорда. В 24-клеточном слое различение гексагонального расслоения [al] означает выбор непересекающегося набора из четырех 6-клеточных колец, который является уникальным контейнером лево-правой пары изоклинических вращений в четырех параллельных Клиффорду гексагональных инвариантных плоскостях. Вращения влево и вправо происходят в киральных подпространствах этого контейнера, [61] но сами расслоения и октаэдрические клеточные кольца не являются киральными объектами. [дм]
^ Все изоклинические плоскости являются параллелями Клиффорда (полностью непересекающимися). [y] Трех- и четырехмерные коцентрические объекты могут пересекаться (совмещать общие элементы), но при этом быть связаны изоклиническим вращением. Многогранники и 4-многогранники могут быть изоклиническими и не пересекающимися, если все соответствующие им плоскости либо параллельны по Клиффорду, либо соклеточны (в одной гиперплоскости), либо совпадают (в одной плоскости).
^ Под генерацией мы подразумеваем просто, что некоторая вершина первого многогранника в ходе вращения посетит каждую вершину сгенерированного многогранника.
^ Подобно ключу, открывающему четырехмерный замок, объект должен вращаться в двух полностью перпендикулярных тумблерных цилиндрах, чтобы переместиться на небольшое расстояние между параллельными подпространствами Клиффорда.
^ Так же, как каждая грань многогранника занимает другую (2-мерную) плоскость грани, каждая ячейка многогранника занимает другую (3-мерную) гиперплоскость ячейки . [оу]
^ ab Существует несколько плоскостей, в которых можно сложить столбец в кольцо, но они эквивалентны в том смысле, что образуют конгруэнтные кольца. Какая бы плоскость сгиба ни была выбрана, каждая из шести спиралей соединяется своими двумя концами и образует простой шестиугольник большого круга. Эти шестиугольники не являются спиралями: они лежат на обычных плоских больших кругах. Три из них являются клиффордовскими параллельными [ag] и принадлежат одному гексагональному расслоению. Они пересекают остальные три, принадлежащие другому гексагональному расслоению. Три параллельных больших круга каждого расслоения спирально вращаются вокруг друг друга в том смысле, что они образуют связь трех обычных кругов, но они не закручены: кольцо из 6 ячеек не имеет кручения ни по часовой стрелке, ни против часовой стрелки. [дм]
^ Когда октаэдры с единичными ребрами расположены лицом к лицу, расстояние между их центрами объема составляет √ 2/3 ≈ 0,816. [59] Когда 24 октаэдра, соединенных гранями, согнуты в 24 ячейки, лежащие на 3-сфере, центры октаэдров оказываются ближе друг к другу в 4-мерном пространстве. Внутри искривленного трехмерного поверхностного пространства, заполненного 24 ячейками, центры ячеек все еще находятся на расстоянии √ 2/3 друг от друга вдоль соединяющих их изогнутых геодезических линий. Но на соединяющих их прямых хордах, погружающихся внутрь 3-сферы, они отстоят друг от друга всего на 1/2 длины ребра.
^ Осевой шестиугольник кольца 6-октаэдра не пересекает ни вершины, ни ребра 24-ячеечного, но затрагивает грани. В 24-ячейке с единичной длиной ребра она имеет ребра длиной 1/2. [dk] Поскольку осевой шестиугольник соединяет шесть клеточных центров, он представляет собой большой шестиугольник меньшего двойного 24-клеточного элемента, который образуется путем соединения 24 клеточных центров. [bj]
^ abcde Существует только один тип 6-клеточного кольца, а не два разных хиральных типа (правый и левый), потому что октаэдры имеют противоположные грани и образуют раскрученные клеточные кольца. В дополнение к двум наборам из трех параллельных [ag] больших шестиугольников Клиффорда, через кольцо из 6 ячеек проходят три черные и три белые изоклинические геодезические гексаграммы. [al] Каждая из этих киральных косых гексаграмм лежит на окружности разного типа, называемой изоклиной , [cx] — винтовой окружности , проходящей через все четыре измерения, а не лежащей в одной плоскости. [au] Эти спиральные большие круги встречаются в параллельных расслоениях Клиффорда так же, как и обычные плоские большие круги. В кольце из 6 ячеек черные и белые гексаграммы проходят через четные и нечетные вершины соответственно и пропускают вершины между ними, поэтому изоклины не пересекаются. [сп]
^ Три больших шестиугольника представляют собой параллель Клиффорда, которая отличается от обычного параллелизма. [ag] Параллельные большие шестиугольники Клиффорда проходят друг через друга, как соседние звенья цепи, образуя звено Хопфа . В отличие от звеньев трехмерной цепи, они имеют одну и ту же центральную точку. В 24-клеточном параллельном большом шестиугольнике Клиффорда встречаются наборы по четыре, а не по три. Четвертый параллельный шестиугольник полностью лежит за пределами шестиклеточного кольца; его 6 вершин полностью не пересекаются с 18 вершинами кольца.
^ В столбце из 6 октаэдрических ячеек нумеруем ячейки 0-5, идущие вверх по столбцу. Мы также помечаем каждую вершину целым числом от 0 до 5 в зависимости от того, на сколько длин ребер она находится вверх по столбцу.
^ Изоклиническое вращение на угол, кратный 60 °, превращает октаэдры с четными номерами в кольце в октаэдры с четными номерами, а октаэдры с нечетными номерами — в октаэдры с нечетными номерами. [do] Невозможно, чтобы октаэдр с четным номером достиг октаэдра с нечетным номером или наоборот, только за счет левого или правого изоклинического вращения. [сп]
^ Две центральные плоскости, в которых путь изгибается на 60 ° в вершине, - это (а) плоскость большого шестиугольника, которой принадлежит хорда перед вершиной, и (б) плоскость большого шестиугольника, которой принадлежит хорда после вершины. Плоскость (b) содержит хорду изоклины 120°, соединяющую исходную вершину с вершиной в плоскости большого шестиугольника (c), Клиффорда, параллельной (a); вершина перемещается по этой хорде к следующей вершине. Угол наклона между клиффордовскими параллельными (изоклиническими) плоскостями большого шестиугольника (а) и (в) также составляет 60°. В этом интервале изоклинического вращения в 60° плоскость большого шестиугольника (а) поворачивается на 60° внутри себя и наклоняется на 60° в ортогональной плоскости (а не в плоскости (б)) и становится плоскостью большого шестиугольника (в). Три плоскости большого шестиугольника (a), (b) и (c) не ортогональны (они наклонены под углом 60° друг к другу), но (a) и (b) представляют собой два центральных шестиугольника в одном и том же кубооктаэдре, и ( б) и (в) аналогично в ортогональном кубооктаэдре. [с]
^ Каждую вершину шестиклеточного кольца пересекают две косые гексаграммы одной четности (черной или белой), принадлежащие разным расслоениям. [дм]
^ ab Каждая вершина 6-клеточного кольца пропущена двумя половинками одной и той же гексаграммы двойной петли Мёбиуса [dt] , которые изгибаются мимо нее с обеих сторон.
^ abc В каждой вершине есть только одна смежная плоскость большого шестиугольника, в которую изоклина может изгибаться на 60 градусов: изоклинический путь детерминирован в том смысле, что он линейный, а не ветвящийся, потому что каждая вершина в клеточном кольце - это место, где только два из шести больших шестиугольников, содержащихся в клеточном кольце, пересекаются. Если каждому большому шестиугольнику присвоены ребра и хорды определенного цвета (как на рисунке с кольцом из 6 ячеек), мы можем назвать каждый большой шестиугольник по его цвету, а каждый вид вершин - двухцветным именем, написанным через дефис. Кольцо ячеек содержит 18 вершин, названных 9 уникальными двухцветными комбинациями; каждая вершина и ее антиподальная вершина имеют в своем названии одинаковые два цвета, поскольку когда два больших шестиугольника пересекаются, они пересекаются в противоположных вершинах. Каждая изоклиническая косая гексаграмма [cs] содержит по одной хорде √ 3 каждого цвета и посещает 6 из 9 различных цветовых пар вершин. [dr] Каждое 6-клеточное кольцо содержит шесть таких изоклинических косых гексаграмм, три черных и три белых. [дс]
^ Хорда √ 3 проходит через середину одного из радиусов √ 1 24-клеток . Поскольку 24-ячейка с ее длинными радиусами может быть построена из √ 1 треугольников, соприкасающихся в ее центре, [b] это середина одного из шести √ 1 треугольников большого шестиугольника, как показано на рисунке. схема аккордов.
^ Каждая пара смежных ребер большого шестиугольника имеет только одну изоклину, изогнутую вдоль нее, [ds] пропускает вершину между двумя краями (но не так, как ребро √ 3 большого треугольника, вписанное в большой шестиугольник, не пропускает вершину, [du] потому что изоклина — это дуга на поверхности, а не хорда). Если мы пронумеруем вершины шестиугольника от 0 до 5, у шестиугольника будет три пары смежных ребер, соединяющих четные вершины (одна вписанная в большой треугольник), и три пары, соединяющие нечетные вершины (другая вписанная в большой треугольник). Четные и нечетные пары ребер имеют изогнутую вдоль дугу черной и белой изоклины соответственно. [cn] Три черные и три белые изоклины принадлежат одному и тому же 6-клеточному кольцу одного и того же расслоения. [дт]
^ ab Каждая изоклина гексаграммы касается только одного конца оси, в отличие от большого круга, который касается обоих концов. Параллельные пары черных и белых изоклин Клиффорда из одной и той же пары изоклинических вращений лево-право (одного и того же расслоения) не пересекаются, но попадают в противоположные (антиподальные) вершины одной из 12 осей 24-клеток.
^ Сами изоклины не левые и не правые, а только связки. Каждая изоклина бывает левая и правая. [ч]
^ 12 черно-белых пар изоклин гексаграмм в каждом слоении [dw] и 16 различных изоклин гексаграмм в 24-ячейке образуют конфигурацию Рея 12 4 16 3 , точно так же, как это делают 12 осей и 16 шестиугольников 24-клетки. Каждая из 12 черно-белых пар встречается в одном клеточном кольце каждого расслоения из 4 изоклин гексаграмм, и каждое клеточное кольцо содержит 3 черно-белые пары из 16 изоклин гексаграмм.
^ ab Как и в случае с 16 ячейками, изоклина представляет собой октаграмму , которая пересекает только 8 вершин, хотя в 24 ячейках больше вершин ближе друг к другу, чем в 16 ячейках. Кривая изоклины пропускает дополнительные вершины между ними. Как и в случае с 16 ячейками, где он пропускает ближайшие вершины на расстоянии √ 2 , первая вершина, которую он пересекает, является антиподальной вершиной. В 24-ячеечной модели используется больше изоклин октаграмм (3 в каждом вращении), чем в 16-ячеечной (1 в каждом вращении). Три спиральные изоклины параллельны Клиффорду; [ag] они вращаются вокруг друг друга в тройной спирали, причем соответствующие пары вершин непересекающихся спиралей соединены √ 4 хордами. Края трех спиралей октаграмм также являются √ 4 хордами; вся тройная спираль из 3 изоклин состоит из 96 √ 4 ребер и 24 вершин и изоморфна всей 24-клетке.
^ ab (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.
^ Для правильного k -многогранника диаграмма Кокстера-Дынкина характеристической k- ортосхемы представляет собой диаграмму k -многогранника без кольца образующих точек . Правильный k- многогранник подразделяется по его ( k -1)-элементам симметрии на g экземпляров его характеристической k -ортосхемы, окружающей его центр, где g — порядок группы симметрии k -многогранника . [69]
^ Четыре ребра каждой 4-ортосхемы, которые встречаются в центре правильного 4-многогранника, имеют неравную длину, поскольку они представляют собой четыре характерных радиуса правильного 4-многогранника: радиус вершины, радиус центра ребра, грань радиус центра и радиус центра ячейки. Пять вершин 4-ортосхемы всегда включают одну вершину правильного 4-многогранника, один центр ребра правильного 4-многогранника, один центр грани правильного 4-многогранника, один центр ячейки правильного 4-многогранника и центр правильного 4-многогранника. Эти пять вершин (именно в таком порядке) составляют путь вдоль четырех взаимно перпендикулярных ребер (что делает три поворота под прямым углом), что является характерной чертой 4-ортосхемы. 4-ортосхема имеет пять различных граней 3-ортосхемы.
^ Отражающая поверхность (3-мерного) многогранника состоит из 2-мерных граней; отражающая поверхность (4-мерного) полихорона состоит из 3-мерных ячеек.
^ Кэли показал, что любое вращение в 4-мерном пространстве можно разложить на два изоклинических вращения, [cd] , что интуитивно мы могли видеть, следует из того факта, что любое преобразование из одной инерциальной системы отсчета в другую выражается как вращение в 4-мерной евклидовой системе отсчета. космос .
^ ab Пусть Q обозначает вращение, R - отражение, T - сдвиг, и пусть Q q R r T обозначает произведение нескольких таких преобразований, все коммутативных друг с другом. Тогда RT — скользящее отражение (в двух или трех измерениях), QR — вращательное отражение, QT — винтовое смещение и Q 2 — двойное вращение (в четырех измерениях). Каждое ортогональное преобразование выражается как Q q R r
, где 2 q + r ≤ n — количество измерений. Преобразования, включающие трансляцию, выражаются как Q q R r T где 2 q + r + 1 ≤ n . В частности, для n = 4 каждое смещение представляет собой либо двойное вращение Q 2 , либо винтовое смещение QT (где компонента вращения Q представляет собой простое вращение). [Если мы примем принцип относительности Галилея , каждое смещение в 4-мерном пространстве можно рассматривать как любой из них, потому что мы можем рассматривать любой QT как Q 2 в линейно движущейся (перемещающейся) системе отсчета. Поэтому любое преобразование из одной инерциальной системы отсчета в другую выражается как Q 2 . По тому же принципу мы можем рассматривать любой QT или Q 2 как изоклинический (равноугольный) Q 2 при соответствующем выборе системы отсчета. [ef] Другими словами, соотношение Кокстера представляет собой математическое изложение принципа относительности на теоретико-групповых основаниях.] Каждое энантиоморфное преобразование в 4-мерном пространстве (обращающее киральность) является QRT. [72]
^ Левые плоскости параллельны Клиффорду, а правые плоскости параллельны Клиффорду; каждый набор плоскостей является расслоением. Каждая левая плоскость клиффордовски параллельна соответствующей правой плоскости, но не все два набора плоскостей взаимно параллельны Клиффорду; это разные расслоения, за исключением строк таблицы, где левая и правая плоскости представляют собой один и тот же набор.
^ ab Наборы плоскостей и не пересекаются; объединение любых двух из этих множеств представляет собой набор из 6 плоскостей. Левое (по сравнению с правым) изоклиническое вращение каждого из этих классов вращения (строк таблицы) посещает отдельную левую (по сравнению с правой) круговую последовательность того же набора из 6 параллельных плоскостей Клиффорда.
^ abcde Группа кватернионов соответствует отдельному набору параллельных многоугольников большого круга Клиффорда, например, соответствует набору из четырех непересекающихся больших шестиугольников. [t] Обратите внимание, что и обычно являются различными множествами. Плоскости полностью ортогональны соответствующим им плоскостям; соответствующие вершины расположены на расстоянии 180° друг от друга. [топор]
^ ab Декартова координата кватерниона обозначает вершину, соединенную с верхней вершиной одним экземпляром отдельной хорды. Обычная верхняя вершина 4-многогранника единичного радиуса в стандартной ориентации (вершина вверх) — это декартовский «северный полюс». Таким образом, например, обозначается хорда √ 1 с длиной дуги 60°. Каждая такая отдельная хорда является ребром отдельного многоугольника большого круга, в данном примере большого шестиугольника, пересекающего северный и южный полюса. Многоугольники большого круга встречаются в наборах параллельных центральных плоскостей Клиффорда, причем каждый набор непересекающихся больших кругов содержит дискретное расслоение Хопфа , которое пересекает каждую вершину только один раз. Один большой круговой многоугольник в каждом наборе пересекает северный и южный полюса. Таким образом , эта координата кватерниона представляет собой 4 изображенных непересекающихся больших шестиугольника, группу кватернионов [ej] , которая включает одно отдельное расслоение [16] больших шестиугольников (четыре слоя больших шестиугольников), которые встречаются в 24-клетке. [т]
^ Каждый шестиугольник движется только по трем скошенным изоклинам гексаграммы, а не по шести, потому что противоположные вершины каждого шестиугольника едут по противоположным рельсам одной и той же гексаграммы Клиффорда в одном и том же (не противоположном) направлении вращения. [ч]
^ В этой ортогональной проекции 24-точечной 24-ячейки на додекаграмму {12/4}=4{3} каждая точка представляет две вершины, а каждая линия представляет несколько √ 3 хорд. Каждый непересекающийся треугольник можно рассматривать как косую гексаграмму {6/2} с √ 3 ребрами: два открытых косых треугольника, противоположные концы которых соединены в петлю Мёбиуса с длиной окружности 4𝝅. Гексаграмма проецируется в один треугольник в двух измерениях, потому что она проходит через все четыре измерения. Эти 4 непересекающиеся изоклины косой гексаграммы 4𝝅 являются параллельными круговыми путями вершин Клиффорда характерного левого (и правого) изоклинического вращения расслоения. [au] 4 параллельных больших шестиугольника Клиффорда расслоения [t] являются инвариантными плоскостями этого вращения. Большие шестиугольники вращаются с постепенным смещением на 120 ° (60 °, как колеса , и 60 °, как подбрасывание монет), поскольку их вершины движутся по параллельным спиральным изоклинным траекториям через последовательные параллельные плоскости шестиугольника Клиффорда. [el] Альтернативно, 4 треугольника можно рассматривать как 8 непересекающихся треугольников: 4 пары параллельных больших треугольников Клиффорда, где два противоположных больших треугольника лежат в одной и той же центральной плоскости большого шестиугольника, поэтому представлено расслоение 4 параллельных больших шестиугольников Клиффорда плоскостей. , как и в 4 левых плоскостях этого класса вращения (строка таблицы). [t] Это показывает, что 4 изоклины гексаграммы также соответствуют отдельному расслоению, фактически тому же расслоению, что и 4 больших шестиугольника.
^ ab В этой ортогональной проекции 24 ячеек на октаграмму {8/4}=4{2} каждая точка представляет 3 вершины, а каждая линия представляет несколько осей 24 ячеек. Эти четыре линии можно рассматривать как четыре оси из 24 ячеек, наклоненные друг к другу под углом 60° изоклинически: не четыре ортогональные оси 16-ячеечной системы, а 4 параллельные плоскости Клиффорда большого двуугольника. [ba] Четыре большие двуугольные плоскости лежат полностью ортогонально расслоению четырех больших шестиугольных плоскостей, также обозначаемым . [t] Обратите внимание, что 4 плоскости большого двуугольника не представляют собой полное расслоение из 24 точек и что название представляет собой как полное расслоение из 4 параллельных плоскостей большого шестиугольника Клиффорда , так и набор из 4 плоскостей большого двуугольника, полностью ортогональных ему.
^ Края и 8𝝅 характерные повороты 16-ячейки лежат в центральных плоскостях большого квадрата. Повороты этого типа являются выражением группы симметрии . Ребра и характерные повороты 4𝝅 24-клетки лежат в центральных плоскостях большого шестиугольника (большого треугольника). Повороты этого типа являются выражением группы симметрии .
^ Два многоугольника большого круга либо пересекаются по общей оси, либо являются параллельными по Клиффорду (изоклиническими) и не имеют общих вершин. [ax] Три больших квадрата и четыре больших шестиугольника пересекаются в каждой вершине из 24 ячеек. Каждый большой шестиугольник пересекает 9 различных больших квадратов, по 3 в каждой из трех его осей, и лежит в Клиффорде параллельно остальным 9 большим квадратам. Каждый большой квадрат пересекает 8 различных больших шестиугольников, по 4 в каждой из двух его осей, и лежит в Клиффорде параллельно остальным 8 большим шестиугольникам.
^ abc Это гибридное изоклиническое вращение соединяет два типа центральных плоскостей друг с другом: большие квадратные плоскости, характерные для 16-клеток, и плоскости большого шестиугольника (большого треугольника), характерные для 24-клеток. [eo] Это возможно, потому что некоторые большие шестиугольные плоскости лежат по Клиффорду параллельно некоторым большим квадратным плоскостям. [эп]
^ 24-ячейка состоит из 18 больших квадратов в 3 непересекающихся наборах по 6 взаимно ортогональных больших квадратов, составляющих 16 ячеек. [j] Внутри каждой 16-клетки находится 3 набора по 2 полностью ортогональных больших квадрата, поэтому каждый большой квадрат не пересекается не только со всеми большими квадратами в двух других 16-клетках, но также и с одним другим большим квадратом в тех же 16-клетках. -клетка. Каждый большой квадрат не пересекается с 13 другими и имеет две общие вершины (ось) с 4 другими (в той же 16-клетке).
^ Поскольку в 24-ячейке каждый большой квадрат полностью ортогонален другому большому квадрату, группы кватернионов и (например) соответствуют одному и тому же набору плоскостей большого квадрата. Этот отдельный набор из 6 непересекающихся больших квадратов имеет два названия, которые используются в контексте левого (или правого) вращения, поскольку он представляет собой как левое, так и правое расслоение больших квадратов.
^ В этой ортогональной проекции 24-точечной 24-ячейки на додекаграмму {12/3}=3{4} каждая точка представляет две вершины, а каждая линия представляет несколько √ 2 хорд. Каждый непересекающийся квадрат можно рассматривать как косую октаграмму {8/3} с √ 2 ребрами: два открытых косых квадрата, противоположные концы которых соединены в петлю Мёбиуса с длиной окружности 8. Октаграмма проецируется в один квадрат в двух измерениях, поскольку она проходит через все четыре измерения. Эти три непересекающиеся изоклины косой октаграммы представляют собой круговые пути вершин, характерные для изоклинического вращения в плоскостях большого квадрата, в которых 6 параллельных больших квадратов Клиффорда являются инвариантными плоскостями вращения. Большие квадраты вращаются на 180° (90°, как колеса , и 90°, как подбрасывание монет), когда каждая вершина меняется местами со своей противоположной вершиной. Каждая изоклина октаграммы проходит через 8 вершин непересекающейся 16-ячейки. Альтернативно, 3 квадрата можно рассматривать как расслоение 6 параллельных квадратов Клиффорда, как в (левых) плоскостях этого класса вращения (строка таблицы). [l] Это показывает, что 3 изоклины октаграмм также соответствуют отдельному расслоению, фактически тому же расслоению, что и 6 квадратов.
^ Декартова координата кватерниона обозначает вершину, соединенную с верхней вершиной одним экземпляром отдельной хорды. Обычная верхняя вершина 4-многогранника единичного радиуса в ориентации «сначала ячейка» равна . Таким образом, например, обозначается хорда √ 2 с длиной дуги 90°. Каждая такая отдельная хорда является ребром отдельного многоугольника большого круга, в данном примере большого квадрата, пересекающего верхнюю вершину. Многоугольники большого круга встречаются в наборах параллельных центральных плоскостей Клиффорда, причем каждый набор непересекающихся больших кругов содержит дискретное расслоение Хопфа , которое пересекает каждую вершину только один раз. Один большой круговой многоугольник в каждом наборе пересекает верхнюю вершину. Таким образом , эта координата кватерниона представляет собой 6 изображенных непересекающихся больших квадратов, группу кватернионов [ej] , которая включает одно отдельное расслоение [18] больших квадратов (три слоя больших квадратов), которые встречаются в 24-клетке. [л]
^ Репрезентативная координата не является вершиной 24-ячейки единичного радиуса в стандартной ориентации (вершина вверх), это центр октаэдрической ячейки. Некоторые из линий симметрии 24 ячеек («отражающие круги Кокстера») проходят через центры ячеек, а не через вершины, и группа кватернионов соответствует набору таких линий. Однако также соответствует набору изображенных больших квадратов, которые лежат ортогонально этим ячейкам (полностью не пересекаются с ячейкой). [Евросоюз]
^ В этом изоклиническом вращении все плоскости движутся вместе, остаются параллельными Клиффорду во время движения и несут с собой все свои точки при движении: это инвариантные плоскости. Поскольку набор из четырех центральных многоугольников представляет собой расслоение, охватывающее все вершины, каждая вершина представляет собой точку, переносимую в инвариантной плоскости.
^ Вращение вправо выполняется путем вращения левой и правой плоскостей в «одном и том же» направлении, а вращение влево выполняется путем вращения левой и правой плоскостей в «противоположных» направлениях, в соответствии с правилом правой руки , согласно которому мы условно говорим, какое путь «вверх» по каждой из 4-х координатных осей. Вращение влево и вправо представляет собой хиральные энантиаморфные формы (как пара туфель), а не противоположные направления вращения . Вращение как влево, так и вправо может выполняться как в положительном, так и в отрицательном направлении вращения (из левых плоскостей в правые плоскости или из правых плоскостей в левые плоскости), но это дополнительное различие. [см.]
Цитаты
^ Коксетер 1973, с. 118, Глава VII: Обыкновенные многогранники в высшем пространстве.
^ Джонсон 2018, с. 249, 11,5.
^ Гика 1977, с. 68.
^ Коксетер 1973, с. 289, Эпилог; «Еще одной особенностью четырехмерного пространства является появление 24-клеточной {3,4,3}, которая стоит совершенно особняком, не имея аналогов ни сверху, ни снизу».
^ Коксетер 1995, с. 25, (Документ 3) Два аспекта обычной 24-клеточной ячейки в четырех измерениях .
^ Коксетер 1968, с. 70, §4.12 Классификация зоноэдров.
^ ab Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I (ii): Шестнадцать правильных многогранников { p, q, r } в четырех измерениях; Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребра. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.
^ Коксетер 1973, с. 302, Таблица VI (ii): 𝐈𝐈 = {3,4,3}: см. столбец «Результат».
^ Коксетер 1973, с. 156, §8.7. Декартовы координаты.
^ Waegell & Aravind 2009, стр. 4–5, §3.4. 24 ячейки: точки, линии и конфигурация Рея; В 24-клеточной «точки» и «линии» Рея представляют собой оси и шестиугольники соответственно.
^ Коксетер 1973, с. 298, таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных сплошных сечениях (раздел 13.1); (i) Сечения {3,4,3} (ребро 2), начинающиеся с вершины; см. столбец а .
^ Стиллвелл 2001, с. 17.
^ Тиррелл и Семпл 1971, стр. 5–6, §3. Первоначальное определение параллелизма, данное Клиффордом.
^ Kim & Rote 2016, стр. 8–10, Связь с параллелизмом Клиффорда.
^ ab Stillwell 2001, с. 24.
^ Кофер 2019, с. 6, §3.2. Теорема 3.4.
^ Ким и Роте 2016, с. 7, §6 Углы между двумя плоскостями в 4-пространстве; «В четырех (и более высоких) измерениях нам нужны два угла, чтобы зафиксировать относительное положение между двумя плоскостями. (В более общем смысле, k углов определяются между k -мерными подпространствами.)».
^ Коксетер 1973, с. 153, 8.5. Конструкция Госсета для {3,3,5}: «Фактически вершины {3,3,5}, взятые по 5 раз, являются вершинами 25 {3,4,3}».
^ Коксетер 1973, с. 304, Таблица VI(iv) II={5,3,3}: Фасетирование {5,3,3}[120𝛼 4 ]{3,3,5} 120-клеток показывает 120 обычных 5-клеток.
^ Коксетер 1973, с. 148, §8.2. Конструкция Чезаро для {3, 4, 3}..
^ Коксетер 1973, с. 302, Таблица VI(ii) II={3,4,3}, Столбец результатов.
^ Коксетер 1973, стр. 149–150, §8.22. см. иллюстрации Рис. 8.2 A и Рис. 8.2 B.
^ Коксетер 1995, с. 29, (Документ 3) Два аспекта обычной 24-клеточной ячейки в четырех измерениях ; «Общим содержимым 4-куба и 16-ячейки является меньший {3,4,3}, вершины которого являются перестановками [(±1/2, ±1/2, 0, 0)]».
^ Коксетер 1973, с. 147, §8.1 Простые усечения общего правильного многогранника; «В точке контакта [элементы правильного многогранника и элементы его двойственного, в который он каким-либо образом вписан] лежат в полностью ортогональных подпространствах [g] касательной гиперплоскости к сфере [возвратного движения], поэтому их единственные общей точкой является сама точка контакта [k] .... Фактически, [различные] радиусы 0 𝑹, 1 𝑹, 2 𝑹, ... определяют многогранники ... вершины которых являются центрами элементов 𝐈𝐈 0 , 𝐈𝐈 1 , 𝐈𝐈 2 , ... исходного многогранника."
^ аб Кеплер 1619, с. 181.
^ ван Иттерсум 2020, стр. 73–79, §4.2.
^ Коксетер 1973, с. 269, §14.32. «Например, в случае ...»
^ ван Иттерсум 2020, с. 79.
^ Коксетер 1973, с. 150: «Таким образом, 24 ячейки {3, 4, 3} представляют собой дипирамиды, основанные на 24 квадратах . (Их центры являются средними точками 24 ребер .)»
^ Коксетер 1973, с. 12, §1.8. Конфигурации.
^ Коксетер 1973, с. 120, §7.2.: «...любые n +1 точки, которые не лежат в ( n -1)-пространстве, являются вершинами n -мерного симплекса .... Таким образом, общий симплекс альтернативно может быть определен как конечная область n -пространства, окруженная n +1 гиперплоскостями или ( n -1)-пространствами».
^ ван Иттерсум 2020, с. 78, §4.2.5.
^ Стиллвелл 2001, с. 18-21.
^ Иган 2021; кватернионы, бинарная тетраэдрическая группа и бинарная октаэдрическая группа с вращающимися иллюстрациями.
^ Стиллвелл 2001, с. 22.
^ Коджа, Аль-Аджми и Коч 2007.
^ Коксетер 1973, с. 163: Коксетер отмечает, что Торольд Госсет, очевидно, был первым, кто увидел, что ячейки 24-ячеистой соты {3,4,3,3} концентричны с альтернативными ячейками тессерактической соты {4,3,3,4}, и что это наблюдение позволило методу Госсета построить полный набор правильных многогранников и сот.
^ аб Коксетер 1973, с. 156: «...шахматная доска имеет n-мерный аналог».
^ Мамоне, Пилейо и Левитт 2010, стр. 1438–1439, §4.5 Правильные выпуклые 4-многогранники; 24-ячейка имеет 1152 операции симметрии (вращения и отражения), как указано в таблице 2, группа симметрии 𝐹 4 .
^ Коксетер 1973, с. 119, §7.1. Размерная аналогия: «Например, учитывая, что длина окружности равна 2 π r , а поверхность сферы равна 4 π r 2 , ... маловероятно, что использование аналогии без помощи вычислений когда-либо приведет нас к правильному выражению [для гиперповерхности гиперсферы] 2 π 2 r 3 ».
^ Ким и Роте 2016, с. 6, §5. Четырехмерные вращения.
^ Перес-Грасиа и Томас 2017, §7. Выводы; «Вращения в трех измерениях определяются осью вращения и углом поворота вокруг нее, причем ось вращения перпендикулярна плоскости, в которой вращаются точки. В четырех измерениях ситуация сложнее. В этом случае вращения определяются двумя ортогональными плоскостями и двумя углами, по одному на каждую плоскость. Кэли доказал, что общее четырехмерное вращение всегда можно разложить на два четырехмерных вращения, каждый из которых определяется двумя равными углами поворота с точностью до смены знака».
^ Перес-Грасиа и Томас 2017.
^ Перес-Грасиа и Томас 2017, стр. 12–13, §5. Полезное картографирование.
^ Coxeter 1995, стр. 30–32, (Документ 3) Два аспекта обычной 24-клеточной ячейки в четырех измерениях ; §3. Додекагональный аспект; [cg] Коксетер рассматривает двойное вращение периода 12 на 150°/30°, в котором располагаются 12 из 225 различных 24-ячеек, вписанных в 120-ячеечный , правильный 4-многогранник со 120 додекаэдрическими ячейками, который представляет собой выпуклую оболочку соединения. из 25 непересекающихся 24-клеток.
^ Перес-Грасиа и Томас 2017, стр. 2–3, §2. Изоклинические вращения.
^ Ким и Роте 2016, стр. 7–10, §6. Углы между двумя плоскостями в четырехмерном пространстве.
^ Коксетер 1973, с. 141, §7.x. Исторические замечания; « Еще в 1827 году Мёбиус понял, что для совмещения двух энантиоморфных твердых тел потребуется четырехмерное вращение. Эту идею аккуратно развил Герберт Уэллс в «Истории Платтнера ».
^ Фейнман и Вайнберг 1987, Причина появления античастиц.
^ Мебиус 2015, стр. 2–3, Мотивация; «Это исследование возникло из-за желания создать компьютерную реализацию определенного движения человеческой руки, известного среди экспертов по народным танцам как филиппинский танец вина или Бинасуан и исполненного покойным физиком Ричардом П. Фейнманом во время его мемориала Дирака . лекцию 1986 года [52] , чтобы показать, что одиночное вращение (2𝝅) не во всех отношениях эквивалентно отсутствию вращения вообще, тогда как двойное вращение (4𝝅) эквивалентно».
^ Дорст 2019, с. 44, §1. Круги Вильярсо; «В математике путь, который прослеживает узел (1, 1) на торе, также известен как круг Вильярсо . Круги Вильярсо обычно представляются как две пересекающиеся окружности, являющиеся поперечным сечением тора хорошо выбранной плоскостью. разрезав его. Выбрав один такой круг и вращая его вокруг оси тора, полученное семейство кругов можно использовать для управления тором. Путем разумного вложения торов совокупность всех таких кругов затем образует расслоение Хопфа .... мы предпочитаем рассматривать круг Вильярсо как торический узел (1, 1), а не как плоский разрез».
^ Kim & Rote 2016, стр. 8–9, Отношения с параллелизмом Клиффорда.
^ Ким и Роте 2016, с. 8. Левая и правая пары изоклинических плоскостей.
^ Тиррелл и Семпл 1971, стр. 1–9, §1. Введение.
^ Тиррелл и Семпл 1971, стр. 20–33, Параллельные пространства Клиффорда и Клиффорд Регули.
^ Коксетер 1973, стр. 292–293, Таблица I (i): Октаэдр.
^ Kim & Rote 2016, стр. 14–16, §8.3 Свойства расслоения Хопфа; Следствие 9. Всякий большой круг принадлежит единственному правому [(и левому)] расслоению Хопфа.
^ Ким и Роте 2016, с. 12, §8. Построение расслоений Хопфа; 3.
^ Тиррелл и Семпл 1971, стр. 34–57, Линейные системы параллелей Клиффорда.
^ Коксетер 1973, стр. 292–293, Таблица I (ii); 24-ячеечный h 1 равен {12}, h 2 равен {12/5} .
^ Коксетер 1973, стр. 292–293, Таблица I (ii); 24-клеточный многоугольник Петри h 1 равен {12}.
^ Коксетер 1973, стр. 292–293, Таблица I (ii); Ортогональный h 2 многоугольника Петри с 24 ячейками равен {12/5} , половине {24/5} , поскольку каждый многоугольник Петри составляет половину 24-ячеечного многоугольника.
^ Коксетер 1973, стр. 292–293, Таблица I (ii); «24-клеточный».
^ Коксетер 1973, с. 139, §7.9 Характеристический симплекс.
^ Коксетер 1973, с. 290, таблица I(ii); «двугранные углы».
^ Coxeter 1973, стр. 130–133, §7.6 Группа симметрии общего правильного многогранника.
^ Коксетер 1973, с. 138; «Мы позволяем символу Шлефли {p,..., v} иметь три различных значения: евклидов многогранник, сферический многогранник и сферические соты. Это не должно вызывать никакой путаницы, пока ситуация откровенно признается. Различия ясно видны в понятии двугранного угла».
^ Коксетер 1970, с. 18, §8. Симплекс, куб, перекрестный многогранник и 24-клеточный; Коксетер изучал клеточные кольца в общем случае их геометрии и теории групп , идентифицируя каждое клеточное кольцо как самостоятельный многогранник , который заполняет трехмерное многообразие (например, трехмерную сферу ) соответствующими сотами . Он обнаружил, что клеточные кольца повторяют многоугольники Петри [cg] и некоторые (но не все) клеточные кольца, а их соты скручены , встречаясь в лево- и право- хиральных формах. В частности, он обнаружил, что, поскольку октаэдрические клетки из 24 ячеек имеют противоположные грани, клеточные кольца в 24 ячейках имеют нехиральный (прямо конгруэнтный) тип. [dm] Каждому из 24-клеточных колец ячеек соответствует соответствующая сотовая структура в евклидовом (а не гиперболическом) пространстве, поэтому 24-ячеечная плитка закрывает 4-мерное евклидово пространство путем перевода, образуя 24-клеточную сотовую структуру .
^ Банчофф 2013 изучил разложение правильных 4-многогранников на соты торов, покрывающих тор Клиффорда , показал, как соты соответствуют расслоениям Хопфа , и провел конкретное исследование 4 колец 24-клеток из 6 октаэдрических ячеек с иллюстрациями.
Коксетер, HSM (1970), «Витые соты», Совет конференции серии региональных конференций математических наук по математике , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, 4
Стиллвелл, Джон (январь 2001 г.). «История 120 ячеек» (PDF) . Уведомления АМС . 48 (1): 17–25.
Гика, Матила (1977). Геометрия искусства и жизни . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-23542-4.
Банчофф, Томас Ф. (2013). «Разложения тора правильных многогранников в 4-мерном пространстве». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства . Спрингер Нью-Йорк. стр. 257–266. дои : 10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8.
Кофер, Джессика (2019). «Суммы и произведения квадратов длин хорд правильных многогранников». arXiv : 1903.06971 [math.MG].
ван Иттерсум, Клара (2020). Группы симметрии правильных многогранников в трех и четырех измерениях (Диссертация). Делфтский технологический университет .
Ким, Хына; Роте, Г. (2016). «Проверка конгруэнтности наборов точек в 4 измерениях». arXiv : 1603.07269 [cs.CG].
Иган, Грег (23 декабря 2021 г.). «Симметрии и 24 клетки». www.gregegan.net . Проверено 10 октября 2022 г.
Мамоне, Сальваторе; Пилейо, Джузеппе; Левитт, Малкольм Х. (2010). «Схемы ориентационной выборки на основе четырехмерных многогранников». Симметрия . 2 (3): 1423–1449. Бибкод : 2010Symm....2.1423M. дои : 10.3390/sym2031423 .
Мебиус, Йохан (июль 2015 г.) [11 января 1994 г.]. Применение кватернионов в динамическом моделировании, компьютерной графике и биомеханике (Диссертация). Делфтский технологический университет . дои : 10.13140/RG.2.1.3310.3205.
Фейнман, Ричард; Вайнберг, Стивен (1987). Элементарные частицы и законы физики . Издательство Кембриджского университета.
Дорст, Лео (2019). «Конформные роторы Вильярсо». Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 29 (44). дои : 10.1007/s00006-019-0960-5 . S2CID 253592159.
Коджа, Мехмет; Аль-Аджми, Музахир; Коч, Рамазан (ноябрь 2007 г.). «Многогранники, полученные из групп Кокстера и кватернионов». Журнал математической физики . 48 (11): 113514–113514. дои : 10.1063/1.2809467.
Внешние ссылки
24-клеточные анимации
24 ячейки в стереографических проекциях
Описание и схемы 24 ячеек. Архивировано 15 июля 2007 г. на Wayback Machine.
Двенадцатиугольники Петри в 24 ячейках: математические и анимационные программы
или
или
.svg/1280px-Regular_star_figure_6(4,1).svg.png)
.svg/1280px-Regular_star_figure_4(6,1).svg.png)
![{\displaystyle [32]R_{q7,q8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489741954b4269c41ef0d491551ee3eb322f003d)
![{\displaystyle [d]{R_ {ql,qr}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bbb52ecdb49bbf48eca911c51159a7cde6297b5)
![{\displaystyle [4]R_{q7,q8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142972752f455c2ebf6dfa810fad486e42a64adc)
![{\displaystyle [4]R_ {-q7,-q8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/979305387cd62fe7cd50162981451034c04d0a46)
![{\displaystyle [4]R_{q8,q7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce6367e92819738a98ca78a723632627cbac1d46)
![{\displaystyle [4]R_ {-q8,-q7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ec9c74197b1c39b504adea0b886925dd1c3c53)
![{\displaystyle [16]R_{q7,q8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b226f3971360ad4951192127156d716546993525)
![{\displaystyle \gamma _ {4}[2\beta _{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed6d31ffad37e44fd0966bb3f883b38a4fb178c)
