Диаграмма Кокстера – Дынкина

Графическое изображение симметрии

Диаграммы Кокстера–Дынкина для фундаментальных конечных групп Кокстера

Диаграммы Кокстера–Динкина для фундаментальных аффинных групп Кокстера.

В геометрии диаграмма Кокстера-Дынкина (или диаграмма Кокстера , граф Кокстера ) — это граф с пронумерованными ребрами (называемыми ветвями ), представляющий группу Кокстера или иногда однородный многогранник, построенный из группы.

Диаграммы Дынкина — это тесно связанные объекты, которые отличаются от диаграмм Кокстера в двух отношениях: во-первых, ветви с пометкой «4» или выше являются направленными , тогда как диаграммы Кокстера являются ненаправленными ; во-вторых, диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному ( кристаллографическому ) ограничению, а именно, что единственными разрешенными метками ветвей являются 2, 3, 4 и 6. Диаграммы Дынкина соответствуют корневым системам и, следовательно, полупростым алгебрам Ли , и используются для их классификации . ^[1]

Описание

Группа Кокстера — это группа, которая допускает презентацию:

$${\displaystyle \left\langle r_{0},r_{1},\dots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{M_{i,j}}=1\right\rangle }$$

MдиагоналиMматрица Кокстера

Поскольку матрица Коксетера симметрична , ее можно рассматривать как матрицу смежности графа с размеченными ребрами. В графе есть вершины , соответствующие генераторам r _i , а каждое ребро между i и j помечено Mi _{, j .} Чтобы упростить эти диаграммы, можно внести два изменения:

• Ребра, помеченные цифрой 2, можно опустить, при этом недостающие ребра будут считаться 2s. Эти метки указывают на то, что два генератора коммутируют, и это наименьшее число, которое можно использовать для обозначения ребра.
• Ребра, помеченные цифрой 3, можно оставить как ребра без метки, при этом подразумевается, что ребра без метки действуют как ребра 3.

Полученный граф представляет собой диаграмму Кокстера-Динкина и описывает группу Кокстера.

Матрица Шлефли

Каждая диаграмма Коксетера имеет соответствующую матрицу Шлефли (названную так в честь Людвига Шлефли ) с матричными элементами a _i,j = a _j,i = -2 cos( π / p ), где p — порядок ветвления между парами зеркал. Как матрицу косинусов , она также называется матрицей Грама . Все матрицы Шлефли группы Кокстера симметричны, поскольку их корневые векторы нормализованы. Она тесно связана с матрицей Картана , используемой в аналогичных, но ориентированных графах диаграмм Дынкина в ограниченных случаях p = 2,3,4 и 6, которые в целом не симметричны.

Определитель матрицы Шлефли, называемый шлефлианом , [ ^{нужна ссылка ]} и его знак определяют, является ли группа конечной (положительной), аффинной (нулевой), неопределенной (отрицательной). ^[2] Это правило называется критерием Шлефли . ^{[3] [ не удалось проверить ]}

Собственные значения матрицы Шлефли определяют, имеет ли группа Коксетера конечный тип (все положительные), аффинный тип (все неотрицательные, хотя бы один равен нулю) или неопределенный тип (в противном случае). Неопределенный тип иногда подразделяется, например, на гиперболическую и другие группы Кокстера. Однако существует несколько неэквивалентных определений гиперболических групп Кокстера. Мы используем следующее определение: группа Кокстера со связной диаграммой называется гиперболической, если она не имеет ни конечного, ни аффинного типа, но каждая собственная связная поддиаграмма имеет конечный или аффинный тип. Гиперболическая группа Кокстера компактна, если все ее подгруппы конечны (т. е. имеют положительные определители), и паракомпактна , если все ее подгруппы конечны или аффинны (т. е. имеют неотрицательные определители).

Конечные и аффинные группы также называются эллиптическими и параболическими соответственно. Гиперболические группы также называются Ланнером в честь Ф. Ланнера, перечислившего компактные гиперболические группы в 1950 г., ^[4] и Кошуля (или квази-Ланнера) для паракомпактных групп.

Группы Кокстера 2-го ранга

Для ранга 2 тип группы Кокстера полностью определяется определителем матрицы Шлефли, поскольку он является просто произведением собственных значений: конечного типа (положительный определитель), аффинного типа (нулевой определитель) или гиперболического типа (отрицательный определитель). . Коксетер использует эквивалентную скобочную запись , в которой перечислены последовательности порядков ветвей вместо графических диаграмм узлов-ветвлений. Рациональные решения [p/q],, также существуют с НОД (p,q)=1, которые определяют перекрывающиеся фундаментальные области. Например, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4 и 6/5.

Геометрические визуализации

Диаграмму Кокстера – Дынкина можно рассматривать как графическое описание фундаментальной области зеркал. Зеркало представляет собой гиперплоскость внутри заданного размерного сферического, евклидова или гиперболического пространства. (В 2D-пространстве зеркало — это линия, а в 3D — плоскость).

Эти визуализации показывают фундаментальные области для двумерных и трехмерных евклидовых групп, а также двумерных сферических групп. Для каждого из них можно вывести диаграмму Кокстера, идентифицировав гиперплоские зеркала и обозначив их связность, игнорируя двугранные углы 90 градусов (порядок 2).

Приложение с однородными многогранниками

Диаграммы Коксетера-Динкина могут явно перечислять почти все классы однородных многогранников и однородных мозаик . Каждый однородный многогранник с чистой отражательной симметрией (все, кроме нескольких особых случаев, имеют чистую отражательную симметрию) может быть представлен диаграммой Кокстера-Дынкина с перестановками разметок . Каждый однородный многогранник может быть сгенерирован с использованием таких зеркал и одной точки-генератора: зеркальные изображения создают новые точки в качестве отражений, затем между точками и точкой зеркального изображения можно определить ребра многогранника . Грани генерируются путем многократного отражения края, который в конечном итоге возвращается к исходному генератору; окончательная форма, а также любые грани более высоких измерений также создаются отражением лица, охватывающим область.

Чтобы указать генерирующую вершину, один или несколько узлов помечаются кольцами, что означает, что вершина не находится на зеркале (зеркалах), представленных окольцованным узлом (узлами). (Если отмечено два и более зеркала, вершина равноудалена от них.) Зеркало активно ( создает отражения) только по отношению к точкам, не находящимся на нем. Диаграмме необходим хотя бы один активный узел для представления многогранника. Несвязная диаграмма (подгруппы, разделенные ветвями второго порядка или ортогональными зеркалами) требует хотя бы одного активного узла в каждом подграфе.

Все правильные многогранники , представленные символом Шлефли { p , q , r , ... }, могут иметь свои фундаментальные области , представленные набором из n зеркал с соответствующей диаграммой Кокстера-Дынкина линии узлов и ветвей, помеченных p , q , r , ..., с первым узлом, окольцованным.

Однородные многогранники с одним кольцом соответствуют образующим точкам в углах симплекса фундаментальной области. Два кольца соответствуют ребрам симплекса и имеют определенную степень свободы, причем только средняя точка является равномерным решением для ребер одинаковой длины. Обычно k -точки-образующие кольца находятся на (k-1) -гранях симплекса, и если все узлы окольцованы, то образующая точка находится внутри симплекса.

Особый случай однородных многогранников с неотражательной симметрией представлен вторичной разметкой, в которой удалена центральная точка кольцевого узла (называемая дыркой ) . Эти фигуры представляют собой чередования многогранников с отражательной симметрией, что означает, что все остальные вершины удалены. Полученный многогранник будет иметь субсимметрию исходной группы Коксетера . Усеченное чередование называется курносым .

• Один узел представляет собой одно зеркало. Это называется группа _А1 . Если кольцеобразно, это создает сегмент линии, перпендикулярный зеркалу, представленный как {}.
• Два неприсоединенных узла представляют собой два перпендикулярных зеркала. Если оба узла окольцованы, можно создать прямоугольник или квадрат , если точка находится на одинаковом расстоянии от обоих зеркал.
• Два узла, соединенные ветвью порядка n , могут создать n -угольник , если точка находится на одном зеркале, и 2 n -угольник, если точка находится за пределами обоих зеркал. Это образует группу I ₁ (n).
• Два параллельных зеркала могут представлять бесконечную группу многоугольников I ₁ (∞), также называемую Ĩ ₁ .
• Три зеркала в треугольнике образуют изображения, видимые в традиционном калейдоскопе , и могут быть представлены тремя узлами, соединенными в треугольник. Повторяющиеся примеры будут иметь ветви, помеченные как (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), хотя последние две можно нарисовать в виде линии (при этом две ветви игнорируются). Это создаст однородные мозаики .
• Три зеркала могут создавать однородные многогранники ; включение рациональных чисел дает набор треугольников Шварца .
• Три зеркала, одно из которых перпендикулярно двум другим, могут образовывать однородные призмы .

Двойники однородных многогранников иногда отмечаются перпендикулярной косой чертой, заменяющей окольцованные узлы, и косой чертой для дырочных узлов курносых. Например,представляет собой прямоугольник (как два активных ортогональных зеркала), апредставляет собой двойной многоугольник , ромб .

Примеры многогранников и мозаик

Например, группа B ₃ Кокстера имеет диаграмму:. Это также называется октаэдрической симметрией .

Существует семь выпуклых однородных многогранников , которые можно построить из этой группы симметрии, и три из ее чередующихся подсимметрий, каждый из которых имеет уникально размеченную диаграмму Коксетера – Дынкина. Символ Витхоффа представляет собой особый случай диаграммы Кокстера для графов ранга 3, в котором указаны все три порядка ветвей, а не подавляются ветви второго порядка. Символ Витхоффа способен обрабатывать курносую форму, но не общие чередования без окольцовывания всех узлов.

Те же конструкции можно построить на несвязных (ортогональных) группах Кокстера, таких как однородные призмы , и их можно более четко увидеть как мозаику диэдров и осоэдров на сфере, как это семейство [6]×[] или [6,2]:

Для сравнения: [6,3],семейство производит параллельный набор из 7 однородных мозаик евклидовой плоскости и их двойственных мозаик. Опять же 3 чередования и некоторая версия полусимметрии.

В гиперболической плоскости [7,3]семейство производит параллельный набор однородных мозаик и их двойственные мозаики. Существует только 1 чередование ( snub ), поскольку все порядки ветвления нечетные. Многие другие гиперболические семейства однородных мозаик можно увидеть на однородных мозаиках в гиперболической плоскости .

Очень расширенные диаграммы Кокстера

Одно использование включает в себя очень расширенное определение из прямого использования диаграммы Дынкина , которое рассматривает аффинные группы как расширенные , гиперболические группы как чрезмерно расширенные , а третий узел как очень расширенные простые группы. Эти расширения обычно обозначаются показателем степени 1, 2 или 3 + символами количества расширенных узлов. Этот расширяющийся ряд можно расширить назад, последовательно удаляя узлы из одной и той же позиции в графе, хотя процесс останавливается после удаления узла ветвления. Расширенное семейство E8 _{является} наиболее часто встречающимся примером, простирающимся назад от E3 и _вперед до _E11 .

Процесс расширения может определить ограниченную серию графов Кокстера, которые прогрессируют от конечных к аффинным, гиперболическим и лоренцевым. Определитель матриц Картана определяет, где ряд изменяется от конечного (положительного) до аффинного (нулевого) и гиперболического (отрицательного) и заканчивается лоренцевой группой, содержащей хотя бы одну гиперболическую подгруппу. ^[5] Некристаллографические группы H _n образуют расширенный ряд, в котором H ₄ расширяется как компактная гиперболическая группа и перерасширяется до лоренцевой группы.

Определителем матрицы Шлефли по рангу являются: ^[6]

• det( A ₁ ⁿ = [2 ^{n −1} ]) = 2 ⁿ (конечный для всех n )
• det( A _n = [3 ^{n −1} ]) =  n  + 1 (конечный для всех n )
• det( B _n = [4,3 ^{n −2} ]) = 2 (конечный для всех n )
• det( D _n = [3 ^{n −3,1,1} ]) = 4 (конечный для всех n )

Определителями матрицы Шлефли в исключительных рядах являются:

• det( E n = [3 ^{n −3,2,1} ]) = 9 − n (конечный для E ₃ (= A ₂ A ₁ ), E ₄ (= A ₄ ​​), E ₅ (= D ₅ ), E 6 , E 7 и E 8 , аффинные при E 9 ( ), гиперболические при E ₁₀ ) ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$
• det([3 ^{n −4,3,1} ]) = 2(8 −  n ) (конечное для n  = от 4 до 7, аффинное ( ) и гиперболическое при n  = 8.) ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$
• det([3 ^{n −4,2,2} ]) = 3(7 −  n ) (конечное для n  = от 4 до 6, аффинное ( ) и гиперболическое при n  = 7.) ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$
• det( F _n = [3,4,3 ^{n −3} ]) = 5 −  n (конечный для F ₃ (= B ₃ ) до F 4 , аффинный в F 5 ( ), гиперболический в F ₆ ) ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$
• det( G _n = [6,3 ^{n −2} ]) = 3 −  n (конечный для G 2 , аффинный в G ₃ ( ), гиперболический в G ₄ ) ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$

Геометрическое складывание

Диаграмма Кокстера – Дынкина (с простой связкой) (конечная, аффинная или гиперболическая), обладающая симметрией (удовлетворяющей одному условию, приведенному ниже), может быть факторизована по симметрии, давая новую, обычно многослойную диаграмму, с процессом, называемым « складной». ^{[8] [9]}

Например, при сворачивании D _{4 в G 2} ребро в G ₂ указывает из класса трех внешних узлов (валентность 1) на класс центрального узла (валентность 3). И E ₈ складывается в 2 копии H ₄ , вторая копия масштабируется на τ . ^[10]

Геометрически это соответствует ортогональным проекциям однородных многогранников и мозаик. Примечательно, что любую конечную диаграмму Кокстера–Дынкина с простой связкой можно свернуть в I ₂ ( h ), где h — число Кокстера , которое геометрически соответствует проекции на плоскость Кокстера .

Сложные размышления

Диаграммы Кокстера-Дынкина были расширены до комплексного пространства C ⁿ , где узлы представляют собой унитарные отражения с периодом больше 2. Узлы помечены индексом, который считается равным 2 для обычного реального отражения, если оно подавлено. Коксетер записывает комплексную группу p[q]r в виде диаграммы. ^[11]

Одномерный правильный комплексный многогранник в представлен в виде ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$, имеющий p вершин. Его реальным представлением является правильный многоугольник { p }. Его симметрия равна _p [] или, заказывайте п . Генератор унитарного оператора длярассматривается как вращение на 2π/ p радиан против часовой стрелки , а a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$край создается последовательным применением одного унитарного отражения. Генератор унитарного отражения для 1-многогранника с p вершинами — это e ^{2π i / p} = cos(2π/ p ) + i sin(2π/ p ) . При p = 2 генератором является e ^{π i} = –1, то же, что и точечное отражение в реальной плоскости.

В более высоком многограннике _p {} илипредставляет элемент p -ребра с 2-краем, {} или, представляющий обычное вещественное ребро между двумя вершинами.

Правильный комплексный многоугольник в имеет форму _p { q } _r или диаграмму Кокстера. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$. Группа симметрии правильного комплексного многоугольниканазывается не группой Кокстера , а группой Шепарда , типом группы комплексного отражения . Порядок _p [ q ] _r равен . ^[13] ${\displaystyle 8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

Группы Шепарда ранга 2: ₂ [ q ] ₂ , _p [4] ₂ , ₃ [3] ₃ , ₃ [6] ₂ , ₃ [4] ₃ , ₄ [3] ₄ , ₃ [8] ₂ , ₄ [6] ₂ , ₄ [4] ₃ , ₃ [5] ₃ , ₅ [3] ₅ , ₃ [10] ₂ , ₅ [6] ₂ и ₅ [4] ₃ или,,,,,,,,,,,,,порядка 2 q , 2 p ² , 24, 48, 72, 96, 144, 192, 288, 360, 600, 1200 и 1800 соответственно.

Группа симметрии _{p 1} [ q ] _{p 2} представлена ​​2 образующими R ₁ , R ₂ , где: R ₁ ^{p ₁} = R ₂ ^{p ₂} = I. Если q четно, (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (Р ₁ Р ₂ ) ^{q /2} . Если q нечетно, (R ₂ R ₁ ) ^(q-1)/2 R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q -1)/2} R ₁ . Когда q нечетно , p1 = p2 _{. _}

Группа _ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$или [1 1 1] ^p определяется 3 унитарными отражениями периода 2 {R ₁ , R ₂ , R ₃ }: R ₁ ² = R ₁ ² = R ₃ ² = (R ₁ R ₂ ) ³ = (R ₂ R ₃ ) ³ = (R ₃ R ₁ ) ³ = (R ₁ R ₂ R ₃ R ₁ ) ^p = 1. Период p можно рассматривать как двойное вращение в реальном времени . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Похожая группа ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$или [1 1 1] ^(p) определяется тремя унитарными отражениями периода 2 {R ₁ , R ₂ , R ₃ }: R ₁ ² = R ₁ ² = R ₃ ² = (R ₁ R ₂ ) ³ = (R ₂ р ₃ ) ³ = ( р ₃ р ₁ ) ³ = ( р ₁ р ₂ р ₃ р ₂ ) ^п = 1.

Смотрите также

• Группа Коксетера
• Треугольник Шварца
• Тетраэдр Гурса
• Диаграмма Дынкина
• Однородный многогранник
  • Символ Витхоффа
  • Однородный многогранник
  • Список однородных многогранников
  • Список однородных плоских мозаик
  • Равномерный 4-многогранник
  • Выпуклые однородные соты
  • Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Конструкция Витгофа и символ Витгофа

Рекомендации

1. Холл, Брайан К. (2003), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
2. Боровик, Александр; Боровик, Анна (2010). Зеркала и отражения . Спрингер. стр. 118–119.
3. Коксетер, Правильные многогранники , (3-е издание, 1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 , раздел 7.7. стр. 133, Критерий Шлефли 
4. Ланнер Ф., О комплексах с транзитивными группами автоморфизмов , Медд. Лундсский университет. Мат. Сем. [Сообщение. Сем. Математика. унив. Лунд], 11 (1950), 1–71.
5. Алгебры Каца-Муди в М-теории
6. Определители Картана-Грама для простых групп Ли, Ву, Альфред К.Т., Американский институт физики, ноябрь 1982 г.
7. Джон Крисп , « Инъективные карты между группами Артина », в книге «Вниз по теории групп», Труды специального года по геометрической теории групп, (Австралийский национальный университет, Канберра, Австралия, 1996), Постскриптум. Архивировано 16 октября 2005 г. в Wayback . Machine , стр. 13–14, и Googlebook, Геометрическая теория групп, стр. 131.
8. Зубер, Жан-Бернар (1998). «Обобщенные диаграммы Дынкина и корневые системы и их свертывание». Топологическая теория поля : 28–30. arXiv : hep-th/9707046 . Бибкод : 1998tftp.conf..453Z. CiteSeerX 10.1.1.54.3122 . 
9. Дешант, Пьер-Филипп; Бём, Селин; Тварок, Рейдун (2013). «Аффинные расширения некристаллографических групп Кокстера, индуцированные проекцией». Журнал математической физики . 54 (9): 093508. arXiv : 1110.5228 . Бибкод : 2013JMP....54i3508D. дои : 10.1063/1.4820441. S2CID  59469917.
10. Геометрия E8 с точки зрения Клиффорда: достижения в прикладных алгебрах Клиффорда , март 2017 г., том 27, выпуск 1, стр. 397–421 Пьер-Филипп Дешант
11. Коксетер, Комплексные правильные многогранники , второе издание, (1991)
12. Коксетер, Комплексные правильные многогранники, с. 177, таблица III
13. Унитарные группы отражения , стр.87

дальнейшее чтение

• Джеймс Э. Хамфрис , Группы отражения и группы Кокстера , Кембриджские исследования по высшей математике, 29 (1990)
• Калейдоскопы: Избранные сочинения Х.С.М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1], Googlebooks [ 2]  
  • (Документ 17) Коксетер , Эволюция диаграмм Кокстера-Динкина , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
• Коксетер , Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников) 
• Коксетер , Правильные многогранники (1963), Macmillan Company
  • Правильные многогранники , третье издание (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (Глава 5: Калейдоскоп и раздел 11.3 Представление в виде графиков) 
• HSM Coxeter и WOJ Moser. Генераторы и отношения для дискретных групп. 4-е изд., Springer-Verlag. Нью-Йорк. 1980 год
• Норман Джонсон , Геометрии и преобразования , главы 11,12,13, препринт 2011 г.
• Н. В. Джонсон , Р. Келлерхалс , Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Размер гиперболического симплекса Кокстера , Группы преобразований, 1999, Том 4, Выпуск 4, стр. 329–353 [3] [4]
• Норман В. Джонсон и Азия Ивик Вайс Квадратные целые числа и группы Кокстера. Архивировано 26 марта 2023 г. в Wayback Machine PDF Can. Дж. Математика. Том. 51 (6), 1999, стр. 1307–1336.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Диаграмма Кокстера – Дынкина». Математический мир .
• Октябрь 1978 года. Обсуждение истории диаграмм Кокстера, предложенное Кокстером и Дынкиным в Торонто , Канада ; Сборник интервью Юджина Дынкина по математике, Библиотека Корнелльского университета .