В математике , особенно в дифференциальной геометрии , бесконечно малая геометрия римановых многообразий с размерностью больше 2 слишком сложна, чтобы ее можно было описать одним числом в данной точке. Риман ввел абстрактный и строгий способ определения кривизны этих многообразий, известный теперь как тензор кривизны Римана . Подобные представления повсеместно нашли применение в дифференциальной геометрии поверхностей и других объектов. Кривизну псевдориманова многообразия можно выразить таким же образом с небольшими изменениями .
Кривизну риманова многообразия можно описать по-разному; наиболее стандартным из них является тензор кривизны, заданный через связность Леви-Чивита (или ковариантное дифференцирование ) и скобку Ли по следующей формуле:
Вот линейное преобразование касательного пространства многообразия; оно линейно по каждому аргументу. Если и являются координатными векторными полями, то и, следовательно, формула упрощается до
т.е. тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантной производной .
Линейное преобразование также называют преобразованием кривизны или эндоморфизмом .
NB. Есть несколько книг, в которых тензор кривизны определен с противоположным знаком.
Тензор кривизны имеет следующие симметрии:
Последнее тождество было обнаружено Риччи , но его часто называют первым тождеством Бьянки , просто потому, что оно похоже на тождество Бьянки ниже. К первым двум следует относиться как к антисимметрии и свойству алгебры Ли соответственно, поскольку второе означает, что R ( u , v ) для всех u , v являются элементами псевдоортогональной алгебры Ли. Все три вместе следует назвать структурой псевдоортогональной кривизны . Они порождают тензор только посредством отождествлений с объектами тензорной алгебры — но также существуют отождествления с понятиями в алгебре Клиффорда. Отметим, что эти три аксиомы кривизны структуры порождают хорошо развитую теорию структуры, сформулированную в терминах проекторов (проектор Вейля, порождающий кривизну Вейля , и проектор Эйнштейна, необходимый для постановки эйнштейновских уравнений гравитации ). Эта структурная теория совместима с действием псевдоортогональных групп плюс расширений . Она имеет тесную связь с теорией групп и алгебр Ли , троек Ли и йордановых алгебр. Посмотрите ссылки, данные в обсуждении.
Три тождества образуют полный список симметрий тензора кривизны, т.е. для любого тензора, удовлетворяющего приведенным выше тождествам, можно найти риманово многообразие с таким тензором кривизны в некоторой точке. Простые расчеты показывают, что такой тензор имеет независимые компоненты. Из этих трех следует еще одно полезное тождество:
Тождество Бьянки (часто второе тождество Бьянки ) включает в себя ковариантные производные:
Секционная кривизна — это дальнейшее, эквивалентное, но более геометрическое описание кривизны римановых многообразий. Это функция , зависящая от сечения (т. е. от 2-плоскости в касательных пространствах). Это гауссовая кривизна сечения в точке p ; здесь - сечение - это локально определенный участок поверхности, плоскость которого является касательной плоскостью в точке p , полученной из геодезических, которые начинаются в точке p в направлениях изображения под экспоненциальным отображением в точке p .
Если есть два линейно независимых вектора, то
Следующая формула показывает, что секционная кривизна полностью описывает тензор кривизны:
Или в более простой формуле:
Форма соединения дает альтернативный способ описания кривизны. Он используется больше для общих векторных расслоений , и для главных расслоений , но так же хорошо работает и для касательного расслоения со связностью Леви-Чивита . Кривизна n -мерного риманова многообразия задается антисимметричной матрицей n × n 2-форм ( или, что эквивалентно, 2-формой со значениями в , алгебре Ли ортогональной группы , которая является структурной группой касательного расслоения риманова многообразия).
Пусть – локальное сечение ортонормированных базисов. Тогда можно определить форму связи - антисимметричную матрицу 1-форм, удовлетворяющую следующему тождеству:
Тогда форма кривизны определяется выражением
Обратите внимание, что выражение « » является сокращением и, следовательно, не обязательно исчезает. Ниже описывается связь между формой кривизны и тензором кривизны:
Этот подход строит все симметрии тензора кривизны, кроме первого тождества Бьянки , которое принимает форму
где – n -вектор 1-форм, определяемый . Вторая идентичность Бьянки обретает форму
D обозначает внешнюю ковариантную производную
Иногда удобно думать о кривизне как об операторе касательных бивекторов (элементах ), который однозначно определяется следующим тождеством:
Сделать это возможно именно благодаря симметрии тензора кривизны (а именно антисимметрии в первой и последней парах индексов и блочной симметрии этих пар).
В общем случае следующие тензоры и функции не описывают тензор кривизны полностью, однако они играют важную роль.
Скалярная кривизна — это функция на любом римановом многообразии, обозначаемая по-разному или . Это полный след тензора кривизны; задан ортонормированный базис в касательном пространстве в точке
у нас есть
где обозначает тензор Риччи . Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. Начиная с размерности 3, скалярная кривизна не полностью описывает тензор кривизны.
Кривизна Риччи — это линейный оператор в касательном пространстве в точке, обычно обозначаемый . Учитывая ортонормированный базис в касательном пространстве в точке p, мы имеем
Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. При четырех или более измерениях кривизна Риччи не полностью описывает тензор кривизны.
Явные выражения для тензора Риччи в терминах связи Леви-Чивита приведены в статье о символах Кристоффеля .
Тензор кривизны Вейля имеет те же симметрии, что и тензор кривизны Римана, но с одним дополнительным ограничением: его след (который используется для определения кривизны Риччи) должен исчезать.
Тензор Вейля инвариантен относительно конформной замены метрики: если две метрики связаны как для некоторой положительной скалярной функции , то .
В измерениях 2 и 3 тензор Вейля исчезает, но в измерениях 4 и более тензор Вейля может быть отличен от нуля. Для многообразия постоянной кривизны тензор Вейля равен нулю. Более того, тогда и только тогда, когда метрика локально конформна евклидовой метрике .
Хотя по отдельности тензор Вейля и тензор Риччи, как правило, не определяют тензор полной кривизны, тензор кривизны Римана можно разложить на часть Вейля и часть Риччи. Это разложение известно как разложение Риччи и играет важную роль в конформной геометрии римановых многообразий. В частности, его можно использовать, чтобы показать, что если метрика масштабируется с помощью конформного коэффициента , то тензор кривизны Римана изменяется на (рассматриваемый как (0, 4)-тензор):
где обозначает произведение Кулкарни–Номизу , а Гесс – гессиан.
Для расчета кривизны