В геометрии плотность звездного многогранника является обобщением понятия числа витков из двух измерений в более высокие измерения , представляя число витков многогранника вокруг центра симметрии многогранника. Ее можно определить, проведя луч из центра в бесконечность, проходящий только через грани многогранника и не проходящий ни через какие-либо более низкие размерные особенности, и подсчитав, через сколько граней он проходит. Для многогранников, для которых это число не зависит от выбора луча, и для которых центральная точка сама не находится ни на одной грани, плотность задается этим числом пересекающихся граней.
Такое же вычисление можно выполнить для любого выпуклого многогранника , даже без симметрии, выбрав любую точку внутри многогранника в качестве его центра. Для этих многогранников плотность будет равна 1. В более общем смысле, для любого несамопересекающегося (акоптического) многогранника плотность может быть вычислена как 1 с помощью аналогичного вычисления, которое выбирает луч из внутренней точки, который проходит только через грани многогранника, добавляет единицу, когда этот луч проходит из внутренней части во внешнюю часть многогранника, и вычитает единицу, когда этот луч проходит из внешней части во внутреннюю часть многогранника. Однако это назначение знаков пересечениям обычно не применяется к звездчатым многогранникам, поскольку у них нет четко определенных внутренней и внешней части.
Тесселяции с перекрывающимися гранями могут аналогичным образом определять плотность как число покрытий граней над любой заданной точкой. [1]
Плотность многоугольника — это число раз, которое многоугольная граница обвивает свой центр. Для выпуклых многоугольников и, в более общем случае, простых многоугольников (не самопересекающихся) плотность равна 1 по теореме о кривой Жордана .
Плотность многоугольника можно также назвать его числом поворота ; сумма углов поворота всех вершин, деленная на 360°. Это будет целое число для всех уникурсальных путей на плоскости.
Плотность составного многоугольника равна сумме плотностей составляющих его многоугольников.
Для правильного звездчатого многоугольника { p / q } плотность равна q . Ее можно визуально определить, подсчитав минимальное количество пересечений краёв луча от центра до бесконечности.
Многогранник и его двойственный многогранник имеют одинаковую плотность.
Многогранник можно рассматривать как поверхность с гауссовой кривизной, сосредоточенной в вершинах и определяемой дефектом угла . Плотность многогранника равна полной кривизне (суммированной по всем его вершинам), деленной на 4π. [2]
Например, куб имеет 8 вершин, каждая из которых состоит из 3 квадратов , оставляя угловой дефект π/2. 8×π/2=4π. Таким образом, плотность куба равна 1.
Плотность многогранника с простыми гранями и вершинными фигурами равна половине эйлеровой характеристики χ. Если его род равен g , его плотность равна 1- g .
Артур Кэли использовал плотность как способ модификации формулы многогранника Эйлера ( V − E + F = 2) для работы с правильными звездчатыми многогранниками , где d v — плотность вершинной фигуры , d f — плотность грани, а D — плотность многогранника в целом:
Например, большой икосаэдр , {3, 5/2}, имеет 20 треугольных граней ( d f = 1), 30 ребер и 12 пентаграммных вершинных фигур ( d v = 2), что дает
Это подразумевает плотность 7. Немодифицированная формула многогранника Эйлера неверна для малого звездчатого додекаэдра {5/2, 5} и его двойственного большого додекаэдра {5, 5/2}, для которых V − E + F = −6.
Правильные звездчатые многогранники существуют в двух дуальных парах, причем каждая фигура имеет ту же плотность, что и ее дуальная фигура: одна пара (малый звездчатый додекаэдр — большой додекаэдр) имеет плотность 3, а другая ( большой звездчатый додекаэдр — большой икосаэдр) имеет плотность 7.
Эдмунд Гесс обобщил формулу для звездчатых многогранников с различными типами граней, некоторые из которых могут складываться назад по отношению к другим. Полученное значение плотности соответствует числу раз, которое соответствующий сферический многогранник покрывает сферу.
Это позволило Кокстеру и др. определить плотности большинства однородных многогранников , имеющих один тип вершины и несколько типов граней. [4]
Для полумногогранников , некоторые грани которых проходят через центр, плотность определить невозможно. Неориентируемые многогранники также не имеют четко определенных плотностей.
Существует 10 правильных звездчатых 4-мерных многогранников (называемых 4-мерными многогранниками Шлефли–Гесса ), которые имеют плотности между 4, 6, 20, 66, 76 и 191. Они представлены в дуальных парах, за исключением самодуальных фигур плотностью 6 и плотностью 66.
