Сеть зависимости

Подход на основе сетей зависимости обеспечивает системный анализ активности и топологии направленных сетей . Подход извлекает причинно-следственные топологические связи между узлами сети (при анализе структуры сети) и обеспечивает важный шаг к выводу причинно-следственных связей между узлами сети (при анализе активности сети). Эта методология изначально была введена для изучения финансовых данных, ^{[1] [2]} она была расширена и применена к другим системам, таким как иммунная система , ^[3] и семантические сети . ^[4]

В случае сетевой активности анализ основан на частичных корреляциях . ^{[5] [6] [7] [8] [9]} Проще говоря, частичная (или остаточная) корреляция является мерой эффекта (или вклада) данного узла, скажем j , на корреляции между другой парой узлов, скажем i и k . Используя эту концепцию, зависимость одного узла от другого узла вычисляется для всей сети. Это приводит к направленной взвешенной матрице смежности полностью связанной сети. После построения матрицы смежности можно использовать различные алгоритмы для построения сети, такие как пороговая сеть, минимальное остовное дерево (MST) , планарный максимально отфильтрованный граф (PMFG) и другие.

Сеть зависимостей финансовых данных для 300 акций S&P500, торговавшихся в период 2001–2003 гг. Акции сгруппированы по секторам экономики, а стрелка указывает направление влияния. Центром сети, наиболее влиятельным сектором, является финансовый сектор. Воспроизведение из Kenett et al., PLoS ONE 5(12), e15032 (2010)

Важность

Сеть зависимостей, основанная на частичной корреляции, представляет собой класс корреляционных сетей, способных выявлять скрытые связи между своими узлами.

Эта оригинальная методология была впервые представлена ​​в конце 2010 года и опубликована в PLoS ONE . ^[1] Авторы количественно раскрыли скрытую информацию о базовой структуре фондового рынка США , информацию, которая отсутствовала в стандартных корреляционных сетях. Одним из основных результатов этой работы является то, что в течение исследуемого периода времени (2001–2003 гг.) в структуре сети доминировали компании, принадлежащие финансовому сектору , которые являются хабами в сети зависимости. Таким образом, они впервые смогли количественно показать отношения зависимости между различными секторами экономики . После этой работы методология сети зависимости была применена к изучению иммунной системы , ^[3] и семантических сетей . ^[4]

Сеть зависимости активности специфических антител, измеренная для группы матерей. Панель (a) представляет сеть зависимости, а панель (b) — стандартную корреляционную сеть. Воспроизведение из Madi et al., Chaos 21, 016109 (2011)

Пример сети зависимостей ассоциаций, построенной из полной семантической сети. Воспроизведение из Kenett et al., PLoS ONE 6(8): e23912 (2011)

Обзор

Если говорить точнее, то частная корреляция пары (i, k) при заданном j — это корреляция между ними после надлежащего вычитания корреляций между i и j и между k и j . Определенная таким образом, разница между корреляциями и частными корреляциями дает меру влияния узла j на корреляцию . Поэтому мы определяем влияние узла j на узел i или зависимость узла i от узла j  −  D ( i , j ), как сумму влияния узла j на корреляции узла i со всеми другими узлами.

В случае топологии сети анализ основан на влиянии удаления узла на кратчайшие пути между узлами сети. Более конкретно, мы определяем влияние узла j на каждую пару узлов (i,k) как величину, обратную топологическому расстоянию между этими узлами при наличии j минус обратное расстояние между ними при отсутствии узла j . Затем мы определяем влияние узла j на узел i или зависимость узла i от узла j  −  D ( i , j ), как сумму влияния узла j на расстояния между узлом i со всеми остальными узлами  k .

Сети зависимости от деятельности

Корреляции узел-узел

Корреляции между узлами можно рассчитать по формуле Пирсона :

${\displaystyle C_{i,j}={\frac {\left\langle (X_{i}(n)-\mu _{i})(X_{j}(n)-\mu _{j})\right\rangle }{\sigma _{i}\sigma _{j}}}}$

Где и являются активностью узлов i и j субъекта n, μ обозначает среднее, а sigma — стандартное отклонение профилей динамики узлов i и j . Обратите внимание, что корреляции узел-узел (или для простоты корреляции узла) для всех пар узлов определяют симметричную корреляционную матрицу, элементом которой является корреляция между узлами i и j . ${\displaystyle X_{i}(n)}$ ${\displaystyle X_{j}(n)}$ ${\displaystyle (i,j)}$

Частичные корреляции

Далее мы используем полученные корреляции узлов для вычисления частных корреляций. Коэффициент частной корреляции первого порядка — это статистическая мера, показывающая, как третья переменная влияет на корреляцию между двумя другими переменными. Частичная корреляция между узлами i и k относительно третьего узла определяется как: ${\displaystyle j-PC(i,k\mid j)}$

${\displaystyle PC(i,k\mid j)={\frac {C(i,k)-C(i,j)C(k,j)}{\sqrt {[1-C^{2}(i,j)][1-C^{2}(k,j)]}}}}$

где и — корреляции узлов, определенные выше. ${\displaystyle C(i,j),C(i,k)}$ ${\displaystyle C(j,k)}$

Влияние корреляции и корреляционная зависимость

Относительное влияние корреляций и узла j на корреляцию C ( i , k ) определяется по формуле: ${\displaystyle C(i,j)}$ ${\displaystyle C(j,k)}$

${\displaystyle d(i,k\mid j)\equiv C(i,k)-PC(i,k|j)}$

Это позволяет избежать тривиального случая, когда узел j, по-видимому, сильно влияет на корреляцию , в основном потому, что и имеют малые значения. Отметим, что эту величину можно рассматривать либо как корреляционную зависимость C ( i , k ) от узла j (термин, используемый здесь), либо как корреляционное влияние узла j на корреляцию C ( i , k ). ${\displaystyle C(i,k)}$ ${\displaystyle C(i,j),C(i,k)}$ ${\displaystyle C(j,k)}$

Зависимости активности узла

Далее мы определяем общее влияние узла j на узел i или зависимость D ( i , j ) узла i от узла j следующим образом:

${\displaystyle D(i,j)={\frac {1}{N-1}}\sum _{k\neq j}^{N-1}d(i,k\mid j)}$

Согласно определению, D ( i , j ) является мерой среднего влияния узла j на корреляции C(i,k) по всем узлам k, не равным j . Зависимости активности узлов определяют матрицу зависимостей D , элемент ( i , j ) которой является зависимостью узла i от узла j . Важно отметить, что в то время как матрица корреляции C является симметричной матрицей, матрица зависимости D является несимметричной, поскольку влияние узла j на узел i не равно влиянию узла i на узел j . По этой причине некоторые из методов, используемых при анализе матрицы корреляции (например, PCA), должны быть заменены или менее эффективны. Однако существуют и другие методы, подобные тем, которые используются здесь, которые могут должным образом учитывать несимметричную природу матрицы зависимости. ${\displaystyle D(i,j)\neq D(j,i)}$

Структура сетей зависимости

Влияние пути и зависимость от расстояния: относительное влияние узла j на направленный путь – кратчайший топологический путь, где каждый сегмент соответствует расстоянию 1, между узлами i и k задается: ${\displaystyle DP(i\rightarrow k|j)}$

${\displaystyle DP(i\rightarrow k\mid j)\equiv {\frac {1}{td(i\rightarrow k\mid j^{+})}}-{\frac {1}{td(i\rightarrow k\mid j^{-})}}}$

где и — кратчайший направленный топологический путь от узла i до узла k при наличии и отсутствии узла j соответственно. ${\displaystyle td(i\rightarrow k|j^{+})}$ ${\displaystyle td(i\rightarrow k\mid j^{-})}$

Структурные зависимости узлов

Далее мы определяем общее влияние узла j на узел i или зависимость D ( i , j ) узла i от узла j следующим образом:

${\displaystyle D(i,j)={\frac {1}{N-1}}\sum _{k=1}^{N-1}DP(i\rightarrow k\mid j)}$

Согласно определению, D ( i , j ) является мерой среднего влияния узла j на направленные пути от узла i ко всем остальным узлам k . Структурные зависимости узлов определяют матрицу зависимостей D , элемент ( i , j ) которой является зависимостью узла i от узла j , или влиянием узла j на узел i . Важно отметить, что матрица зависимостей D несимметрична, поскольку влияние узла j на узел i не равно влиянию узла i на узел j . ${\displaystyle D(i,j)\neq D(j,i)}$

Визуализация сети зависимости

Матрица зависимости — это взвешенная матрица смежности, представляющая полностью связанную сеть. Для фильтрации полностью связанной сети с целью получения наиболее значимой информации можно применять различные алгоритмы, например, с использованием порогового подхода ^[1] или различных алгоритмов обрезки. Широко используемый метод построения информативного подграфа полной сети — это минимальное остовное дерево (MST). ^{[10] [11] [12] [13] [14]} Другим информативным подграфом, который сохраняет больше информации (по сравнению с MST), является планарный максимально отфильтрованный граф (PMFG) ^[15] , который здесь используется. Оба метода основаны на иерархической кластеризации , и полученные подграфы включают все N узлов в сети, ребра которых представляют наиболее значимые корреляции ассоциаций. Подграф MST содержит ребра без петель, в то время как подграф PMFG содержит ребра. ${\displaystyle (N-1)}$ ${\displaystyle 3(N-2)}$

Смотрите также

• Семантическая лексика
• Сеть зависимости (графическая модель)

Ссылки

1. Kenett, Dror Y.; Tumminello, Michele; Madi, Asaf; Gur-Gershgoren, Gitit; Mantegna, Rosario N.; Ben-Jacob, Eshel (20 декабря 2010 г.). Scalas, Enrico (ред.). "Dominating Clasp of the Financial Sector Revealed by Partial Correlation Analysis of the Stock Market". PLOS ONE . 5 (12): e15032. Bibcode : 2010PLoSO...515032K. doi : 10.1371/journal.pone.0015032 . ISSN  1932-6203. PMC 3004792.  PMID 21188140  .
2. Дрор Й. Кенетт, Йоаш Шапира, Гитит Гур-Гершгорен и Эшель Бен-Якоб (представлено), Анализ индекса когезионной силы фондового рынка США, Труды Международной конференции по эконофизике 2011 г., Кавала, Греция
3. Асаф Мади, Дрор Й. Кенетт, Шаррон Брансбург-Забари, Йифат Мербл, Франсиско Дж. Кинтана, Стефано Боккалетти, Альфред И. Таубер, Ирун Р. Коэн и Эшель Бен-Якоб (2011), Анализ сетей зависимости от антигена раскрывает реорганизацию иммунной системы между рождением и взрослой жизнью, Хаос 21, 016109 Архивировано 30.03.2012 в Wayback Machine
4. Kenett, Yoed N.; Kenett, Dror Y.; Ben-Jacob, Eshel; Faust, Miriam (24 августа 2011 г.). Perc, Matjaz (ред.). "Глобальные и локальные особенности семантических сетей: данные из еврейского ментального лексикона". PLOS ONE . ​​6 (8): e23912. Bibcode :2011PLoSO...623912K. doi : 10.1371/journal.pone.0023912 . ISSN  1932-6203. PMC 3161081 . PMID  21887343. 
5. Кунихиро Баба, Ритель Шибата, Масааки Сибуя (2004), Частичная корреляция и условная корреляция как меры условной независимости, Aust New Zealand J Stat 46(4): 657–774
6. Йоаш Шапира, Дрор Й. Кенетт и Эшель Бен-Джейкоб (2009), Влияние индексной сплоченности на корреляции фондового рынка, Журнал физики B. т. 72, № 4, стр. 657–669
7. Kenett, Dror Y.; Shapira, Yoash; Madi, Asaf; Bransburg-Zabary, Sharron; Gur-Gershgoren, Gitit; Ben-Jacob, Eshel (27 апреля 2011 г.). Scalas, Enrico (ред.). «Анализ силы сплочения индекса показывает, что рынок США стал склонен к системным коллапсам с 2002 года». PLOS ONE . 6 (4): e19378. Bibcode : 2011PLoSO...619378K. doi : 10.1371/journal.pone.0019378 . ISSN  1932-6203. PMC 3083438. PMID 21556323  . 
8. Дрор Й. Кенетт, Маттиас Раддант, Томас Люкс и Эшель Бен-Якоб (представлено), Развитие однородности и волатильности на напряженном мировом рынке, PNAS
9. Эран Старк, Ротем Дрори и Моше Абелес (2006), Частичный кросс-корреляционный анализ устраняет неоднозначность в кодировании множественных признаков движения, J Neurophysiol 95: 1966–1975
10. Росарио Н. Мантенья, Иерархическая структура финансовых рынков, Eur. Phys. J. B 11 (1), 193–197 (1999) Архивировано 04.02.2023 на Wayback Machine
11. Росарио Н. Мантенья, Computer Physics Communications 121–122, 153–156 (1999)
12. Гильермо Х. Ортега, Рафаэль Г. Сола и Хесус Пастор, Комплексный сетевой анализ данных ECoG человека, Neuroscience Letters 447 (2-3), 129–133 (2008) ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
13. Микеле Тумминелло, Клаудия Коронелло, Фабрицио Лилло, Сальваторе Миччиче и Рросарио Н. Мантенья, Связующие деревья и оценки надежности бутстрапа в сетях на основе корреляции [1] Архивировано 27 октября 2021 г. на Wayback Machine
14. Дуглас Б. Уэст, Введение в теорию графов, под редакцией Prentice-Hall, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 2001
15. Микеле Тумминелло, Томазо Асте, Тициана Ди Маттео и Розарио Н. Мантенья, Инструмент для фильтрации информации в сложных системах, PNAS 102 (30), 10421–10426 (2005)