Диамагнитное неравенство

Математическое неравенство, связывающее производную функции с ее ковариантной производной

В математике и физике диамагнитное неравенство связывает соболевскую норму абсолютного значения сечения линейного расслоения с ее ковариантной производной . Диамагнитное неравенство имеет важную физическую интерпретацию, что заряженная частица в магнитном поле имеет больше энергии в своем основном состоянии , чем она имела бы в вакууме . ^{[1] [2]}

Чтобы точно сформулировать неравенство, обозначим через обычное гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций , а через пространство Соболева квадратично интегрируемых функций с квадратично интегрируемыми производными. Пусть будут измеримыми функциями на и предположим, что является вещественнозначным, является комплекснозначным, и . Тогда для почти каждого , в частности, . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f,A_{1},\dots ,A_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f,(\partial _{1}+iA_{1})f,\dots ,(\partial _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle |\nabla |f|(x)|\leq |(\nabla +iA)f(x)|.}$$ ${\displaystyle |f|\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

Доказательство

Для этого доказательства мы следуем Эллиотту Х. Либу и Майклу Лоссу . ^[1] Из предположений, если рассматривать их в смысле распределений и для почти каждого такого, что (и если ). Более того, Таким образом , для почти каждого такого, что . Случай, когда это аналогично. ${\displaystyle \partial _{j}|f|\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \partial _{j}|f|(x)=\operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\partial _{j}f(x)\right)}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle \partial _{j}|f|(x)=0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ $${\displaystyle \operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}iA_{j}f(x)\right)=\operatorname {Im} (A_{j}f)=0.}$$ $${\displaystyle \nabla |f|(x)=\operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f(x)\right)\leq \left|{\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f(x)\right|=|\mathbf {D} f(x)|}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

Применение к линейным пучкам

Пусть будет линейное расслоение U(1) , и пусть будет связность 1-форма для . В этой ситуации является вещественнозначным, и ковариантная производная удовлетворяет для каждого сечения . Вот компоненты тривиальной связности для . Если и , то для почти каждого из диамагнитного неравенства следует, что ${\displaystyle p:L\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} f_{j}=(\partial _{j}+iA_{j})f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial _{j}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f,(\partial _{1}+iA_{1})f,\dots ,(\partial _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle |\nabla |f|(x)|\leq |\mathbf {D} f(x)|.}$$

Вышеуказанный случай представляет наибольший физический интерес. Мы рассматриваем как пространство-время Минковского . Поскольку калибровочная группа электромагнетизма есть , формы связи 1 для являются не более чем действительными электромагнитными 4-потенциалами на . Если есть электромагнитный тензор , то безмассовая система Максвелла – Клейна – Гордона для сечения есть и энергия этой физической системы есть Диамагнитное неравенство гарантирует, что энергия минимизируется в отсутствие электромагнетизма, таким образом . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F=dA}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }=\operatorname {Im} (\phi \mathbf {D} _{\nu }\phi )\\\mathbf {D} ^{\mu }\mathbf {D} _{\mu }\phi =0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\frac {||F(t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}+{\frac {||\mathbf {D} \phi (t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}.}$$ ${\displaystyle A=0}$

Смотрите также

• Диамагнетизм  – магнитное свойство обычных материалов.

Цитаты

1. Lieb, Elliott; Loss, Michael (2001). Анализ . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 9780821827833.
2. Хиросима, Фумио (1996). «Диамагнитные неравенства для систем нерелятивистских частиц с квантованным полем». Обзоры в математической физике . 8 (2): 185–203. Bibcode : 1996RvMaP...8..185H. doi : 10.1142/S0129055X9600007X. hdl : 2115/69048 . MR  1383577. S2CID  115703186. Получено 25 ноября 2021 г.
3. О, Сон-Джин; Татару, Дэниел (2016). «Локальная корректность (4+1)-мерного уравнения Максвелла-Клейна-Гордона». Анналы ПДЭ . 2 (1). arXiv : 1503.01560 . дои : 10.1007/s40818-016-0006-4. S2CID  116975954.