Дифференциальная форма

В математике дифференциальные формы обеспечивают единый подход к определению интегрантов на кривых, поверхностях, твердых телах и многообразиях более высокой размерности . Современное понятие дифференциальных форм было впервые введено Эли Картаном . Оно имеет множество приложений, особенно в геометрии, топологии и физике.

Например, выражение $f (x) dx$ является примером $1-$ формы и может быть интегрировано по интервалу $[a, b],$ содержащемуся в области определения $f$ :

\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Аналогично, выражение $f (x, y, z) dx \land dy + g (x, y, z) dz \land dx + h (x, y, z) dy \land dz$ является $2$ -формой , которая может быть проинтегрирована по поверхности $S$ :

\int _{S}(f(x,y,z)\,dx\клин dy+g(x,y,z)\,dz\клин dx+h(x,y,z)\,dy\клин dz).

Символ $\land$ обозначает внешнее произведение , иногда называемое произведением клина , двух дифференциальных форм. Аналогично, $3$ -форма $f (x, y, z) dx \land dy \land dz$ представляет элемент объема , который может быть интегрирован по области пространства. В общем случае $k$ -форма — это объект, который может быть интегрирован по $k$ -мерному многообразию и является однородной степени $k$ в координатных дифференциалах. На $n$ -мерном многообразии форма верхнего измерения ( $n$ -форма) называется формой объема . $dx,dy,\ldots .$

Дифференциальные формы образуют знакопеременную алгебру . Это подразумевает, что и Это знакопеременное свойство отражает ориентацию области интегрирования. $dy\клин dx=-dx\клин dy$ $dx\клин dx=0.$

Внешняя производная — это операция над дифференциальными формами, которая, если задана $k$ -форма , даёт $($ $k$ $+1)$ -форму. Эта операция расширяет дифференциал функции (функцию можно рассматривать как $0-$ форму, а её дифференциал — ). Это позволяет выразить основную теорему исчисления , теорему о расходимости , теорему Грина и теорему Стокса как частные случаи одного общего результата — обобщённой теоремы Стокса . $\varphi$ $d\varphi .$ $df(x)=f'(x)dx$

Дифференциальные $1$ -формы естественно дуальны векторным полям на дифференцируемом многообразии , а спаривание между векторными полями и $1$ -формами распространяется на произвольные дифференциальные формы с помощью внутреннего произведения . Алгебра дифференциальных форм вместе с внешней производной, определенной на ней, сохраняется при обратном движении относительно гладких функций между двумя многообразиями. Эта особенность позволяет перемещать геометрически инвариантную информацию из одного пространства в другое посредством обратного движения, при условии, что информация выражается в терминах дифференциальных форм. Например, формула замены переменных для интегрирования становится простым утверждением о том, что интеграл сохраняется при обратном движении.

История

Дифференциальные формы являются частью области дифференциальной геометрии, на которую оказала влияние линейная алгебра. Хотя понятие дифференциала довольно старо, первоначальная попытка алгебраической организации дифференциальных форм обычно приписывается Эли Картану со ссылкой на его работу 1899 года. ^[1] Некоторые аспекты внешней алгебры дифференциальных форм появляются в работе Германа Грассмана 1844 года Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (Теория линейного расширения, новая ветвь математики) .

Концепция

Дифференциальные формы обеспечивают подход к многомерному исчислению , не зависящий от координат .

Интеграция и ориентация

Дифференциальная $k$ -форма может быть интегрирована по ориентированному многообразию размерности $k$ . Дифференциальная $1$ -форма может рассматриваться как измерение бесконечно малой ориентированной длины или одномерной ориентированной плотности. Дифференциальная $2$ -форма может рассматриваться как измерение бесконечно малой ориентированной площади или двумерной ориентированной плотности. И так далее.

Интеграция дифференциальных форм хорошо определена только на ориентированных многообразиях . Примером одномерного многообразия является интервал $[a, b]$ , а интервалам можно задать ориентацию: они положительно ориентированы, если $a < b$ , и отрицательно ориентированы в противном случае. Если $a < b$ , то интеграл дифференциальной $1$ -формы $f (x) dx$ по интервалу $[a, b]$ (с его естественной положительной ориентацией) равен

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

что является отрицательным значением интеграла той же дифференциальной формы по тому же интервалу, снабженной противоположной ориентацией. То есть:

\int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Это дает геометрический контекст соглашениям для одномерных интегралов, что знак меняется при изменении ориентации интервала. Стандартное объяснение этого в теории одномерной интеграции заключается в том, что когда пределы интегрирования находятся в обратном порядке ( $b < a$ ), приращение $dx$ отрицательно в направлении интегрирования.

В более общем смысле $m$ -форма — это ориентированная плотность, которая может быть интегрирована по $m$ -мерному ориентированному многообразию. (Например, $1$ -форма может быть интегрирована по ориентированной кривой, $2$ -форма может быть интегрирована по ориентированной поверхности и т. д.) Если $M$ — ориентированное $m$ -мерное многообразие, а $M'$ — то же самое многообразие с противоположной ориентацией, а $ω$ — $m$ -форма, то имеем:

\int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.

Эти соглашения соответствуют интерпретации подынтегрального выражения как дифференциальной формы, интегрированной по цепи . В теории меры , напротив, подынтегральное выражение интерпретируется как функция $f$ относительно меры $μ$ и интегрируется по подмножеству $A$ , без какого-либо понятия ориентации; пишут , чтобы указать интегрирование по подмножеству $A.$ Это незначительное различие в одном измерении, но становится более тонким на многообразиях более высокой размерности; подробности см. ниже. ${\textstyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

Уточнение понятия ориентированной плотности и, следовательно, дифференциальной формы, включает внешнюю алгебру . Дифференциалы набора координат $dx 1$ , ..., $dx n$ могут быть использованы в качестве основы для всех $1$ -форм. Каждая из них представляет собой ковектор в каждой точке многообразия, который можно рассматривать как измерение малого смещения в соответствующем направлении координат. Общая $1$ -форма является линейной комбинацией этих дифференциалов в каждой точке многообразия:

f_{1}\,dx^{1}+\cdots +f_{n}\,dx^{n},

где $f k = f k (x 1, ... , x n)$ являются функциями всех координат. Дифференциальная $1-$ форма интегрируется вдоль ориентированной кривой как линейный интеграл.

Выражения $dx i \land dx j$ , где $i < j$ можно использовать в качестве базиса в каждой точке многообразия для всех $2$ -форм. Это можно рассматривать как бесконечно малый ориентированный квадрат, параллельный плоскости $x i$ – $x j$ . Общая $2$ -форма является линейной комбинацией этих в каждой точке многообразия: , и она интегрируется так же, как поверхностный интеграл. ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$

Фундаментальная операция, определенная на дифференциальных формах, — это внешнее произведение (символ — клин $\land$ ). Это похоже на векторное произведение из векторного исчисления, поскольку это знакопеременное произведение. Например,

dx^{1}\клин dx^{2}=-dx^{2}\клин dx^{1}

потому что квадрат, первая сторона которого $dx 1$ , а вторая сторона $dx 2 ,$ следует рассматривать как имеющий противоположную ориентацию, как квадрат, первая сторона которого $dx 2$ , а вторая сторона $dx 1$ . Вот почему нам нужно только суммировать по выражениям $dx i \land dx j$ , где $i < j$ ; например: $a (dx i \land dx j) + b (dx j \land dx i) = (a - b) dx i \land dx j$ . Внешнее произведение позволяет строить дифференциальные формы более высокой степени из дифференциальных форм более низкой степени, во многом так же, как векторное произведение в векторном исчислении позволяет вычислить вектор площади параллелограмма из векторов, направленных вверх по двум сторонам. Чередование также подразумевает, что $dx i \land dx i = 0$ , так же, как векторное произведение параллельных векторов, величина которого является площадью параллелограмма, натянутого на эти векторы, равно нулю. В более высоких измерениях $dx i 1 \land \cdot\cdot\cdot \land dx i m = 0,$ если любые два из индексов $i 1$ , ..., $i m$ равны, так же, как «объем», заключенный в параллелоэдр, векторы ребер которого линейно зависимы, равен нулю.

Многоиндексная нотация

Распространенным обозначением для клинового произведения элементарных $k$ -форм является так называемое многоиндексное обозначение : в $n$ -мерном контексте для , мы определяем . ^[2] Другое полезное обозначение получается путем определения множества всех строго возрастающих мультииндексов длины $k$ , в пространстве размерности $n$ , обозначаемого . Тогда локально (где бы ни применялись координаты), охватывает пространство дифференциальных $k$ -форм в многообразии $M$ размерности $n$ , если рассматривать его как модуль над кольцом $C$ $\infty$ $($ $M$ $)$ гладких функций на $M$ . Вычисляя размер комбинаторно, модуль $k$ -форм на $n$ -мерном многообразии и в общем пространстве $k$ -ковекторов на $n$ -мерном векторном пространстве равен $n$ select $k$ : . Это также демонстрирует, что не существует ненулевых дифференциальных форм степени, большей, чем размерность базового многообразия. $I=(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}),1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n$ ${\textstyle dx^{I}:=dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\bigwedge _{i\in I}dx^{i}}$ ${\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}$ $\{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}$ ${\mathcal {J}}_{k,n}$ ${\textstyle |{\mathcal {J}}_{k,n}|={\binom {n}{k}}}$

Внешняя производная

В дополнение к внешнему произведению существует также оператор внешней производной $d$ . Внешняя производная дифференциальной формы является обобщением дифференциала функции в том смысле, что внешняя производная $f \in C \infty (M) = Ω 0 (M)$ является в точности дифференциалом $f$ . При обобщении на более высокие формы, если $ω = f dx I$ является простой $k$ -формой, то ее внешняя производная $dω$ является $(k + 1)$ -формой, определяемой взятием дифференциала коэффициентных функций:

d\omega =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.

с расширением до общих $k$ -форм посредством линейности: если , то его внешняя производная равна ${\textstyle \tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)}$

d\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{I}}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\right)\wedge dx^{I}\in \Omega ^{k+1}(M)

В $R 3$ с оператором звезды Ходжа внешняя производная соответствует градиенту , ротору и дивергенции , хотя это соответствие, как и векторное произведение, не обобщается на более высокие измерения и к нему следует относиться с некоторой осторожностью.

Внешняя производная сама по себе применяется в произвольном конечном числе измерений и является гибким и мощным инструментом с широким применением в дифференциальной геометрии , дифференциальной топологии и многих областях физики. Следует отметить, что хотя приведенное выше определение внешней производной было определено относительно локальных координат, ее можно определить полностью безкоординатным образом, как антивывод степени 1 на внешней алгебре дифференциальных форм. Преимущество этого более общего подхода заключается в том, что он допускает естественный безкоординатный подход к интегрированию на многообразиях . Он также допускает естественное обобщение фундаментальной теоремы исчисления , называемой (обобщенной) теоремой Стокса , которая является центральным результатом в теории интегрирования на многообразиях.

Дифференциальное исчисление

Пусть $U$ — открытое множество в $R n$ . Дифференциальная $0-$ форма («нуль-форма») определяется как гладкая функция $f$ на $U$ — множество которой обозначается $C \infty (U)$ . Если $v$ — любой вектор в $R n$ , то $f$ имеет производную по направлению $\partial v f$ , которая является другой функцией на $U$ , значение которой в точке $p \in U$ является скоростью изменения (в точке $p$ ) функции $f$ в направлении $v$ :

(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)=\left.{\frac {d}{dt}}f(p+t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.

(Это понятие можно поточечно распространить на случай, когда $v$ является векторным полем на $U,$ оценив $v$ в точке $p$ в определении.)

В частности, если $v = e j$ — $j-й$ координатный вектор , то $\partial v f$ — частная производная f по $j$ -му координатному вектору, т. е. $\partial$ $f$ $/ \partial$ $x$ $j$ , где $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ , ..., $x$ $n$ — координатные векторы в $U$ . По самому своему определению частные производные зависят от выбора координат: если вводятся новые координаты $y$ $1$ , $y$ $2$ , ..., $y$ $n , то$

{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}.

Первая идея, ведущая к дифференциальным формам, заключается в наблюдении, что $\partial$ $v f (p) является$ линейной функцией v :

{\begin{aligned}(\partial _{\mathbf {v} +\mathbf {w} }f)(p)&=(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)+(\partial _{\mathbf {w} }f)(p)\\(\partial _{c\mathbf {v} }f)(p)&=c(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)\end{aligned}}

для любых векторов $v$ , $w$ и любого действительного числа $c$ . В каждой точке $p это линейное отображение из R n в R обозначается df p и называется производной или дифференциалом f$ в точке p . $Таким образом$ , $df$ p $(v$ ) = ∂ v f ( $p$ ) $.$ $Распространённый$ $на$ $всё$ $множество$ $,$ $объект$ $df$ $можно$ $рассматривать$ как $функцию$ , которая принимает векторное поле на $U$ и возвращает вещественную функцию, значение которой в каждой точке является производной вдоль векторного поля функции $f$ . Обратите внимание, что в каждой точке $p$ дифференциал $df$ $p$ является не действительным числом, а линейным функционалом на касательных векторах и прототипическим примером дифференциальной 1 -формы .

Поскольку любой вектор $v$ является линейной комбинацией $Σ v j e j$ своих компонент , $df$ однозначно определяется $df p (e j)$ для каждого $j$ и каждого $p \in U$ , которые являются просто частными производными $f$ по $U$ . Таким образом, $df$ обеспечивает способ кодирования частных производных $f$ . Его можно расшифровать, заметив, что координаты $x 1$ , $x 2$ , ..., $x n$ сами являются функциями на $U$ , и таким образом определяют дифференциальные $1$ -формы $dx 1$ , $dx 2$ , ..., $dx n$ . Пусть $f = x i$ . Поскольку $\partial x i / \partial x j = δ ij$ , дельта-функция Кронекера , следует, что

Значение этого выражения определяется путем оценки обеих сторон в произвольной точке $p$ : в правой части сумма определяется « поточечно », так что

df_{p}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}.

Применяя обе стороны к $e j$ , результат на каждой стороне является $j$ -й частной производной $f$ в $p$ . Поскольку $p$ и $j$ были произвольными, это доказывает формулу (*) .

В более общем случае для любых гладких функций $g i$ и $h i$ на $U$ мы определяем дифференциальную $1$ -форму $α = Σ i g i dh i$ поточечно следующим образом:

\alpha _{p}=\sum _{i}g_{i}(p)(dh_{i})_{p}

для каждого $p \in U.$ Любая дифференциальная $1$ -форма возникает таким образом, и с помощью (*) следует, что любая дифференциальная $1$ -форма $α$ на $U$ может быть выражена в координатах как

\alpha =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,dx^{i}

для некоторых гладких функций $f i$ на $U$ .

Вторая идея, ведущая к дифференциальным формам, возникает из следующего вопроса: если задана дифференциальная $1$ -форма $α$ на $U$ , когда существует функция $f$ на $U$ такая, что $α = df$ ? Вышеприведенное разложение сводит этот вопрос к поиску функции $f$ , частные производные $\partial f / \partial x i$ которой равны $n$ заданным функциям $f i$ . При $n > 1$ такая функция не всегда существует: любая гладкая функция $f$ удовлетворяет

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\,\partial x^{i}}},

поэтому будет невозможно найти такую $f,$ если только

{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}=0

для всех $i$ и $j$ .

Кососимметричность левой части по i $и$ j $предполагает$ введение антисимметричного произведения $\land$ на дифференциальных $1-$ формах, внешнего произведения , так что эти уравнения можно объединить в одно условие

\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}=0,

где $\land$ определяется так, что:

dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i}.

Это пример дифференциальной $2-$ формы. Эта $2$ -форма называется внешней производной $dα$ от $α = Σ н j =1 f j dx j$ . Это дается формулой

d\alpha =\sum _{j=1}^{n}df_{j}\wedge dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}.

Подводя итог: $dα = 0$ является необходимым условием существования функции $f$ с $α = df$ .

Дифференциальные $0$ -формы, $1$ -формы и $2$ -формы являются частными случаями дифференциальных форм. Для каждого $k$ существует пространство дифференциальных $k$ -форм, которое может быть выражено в терминах координат как

\sum _{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}

для набора функций $f i 1 i 2 \cdot\cdot\cdot i k$ . Антисимметрия, которая уже присутствовала для $2$ -форм, позволяет ограничить сумму теми наборами индексов, для которых $i 1 < i 2 < ... < i k -1 < i k$ .

Дифференциальные формы можно умножать друг на друга, используя внешнее произведение, и для любой дифференциальной $k$ -формы $α$ существует дифференциальная $(k + 1)$ -форма $dα,$ называемая внешней производной $α$ .

Дифференциальные формы, внешнее произведение и внешняя производная не зависят от выбора координат. Следовательно, они могут быть определены на любом гладком многообразии $M.$ Один из способов сделать это — покрыть $M$ координатными картами и определить дифференциальную $k$ -форму на $M$ как семейство дифференциальных $k$ -форм на каждой карте, которые согласуются по перекрытиям. Однако существуют и другие внутренние определения, которые делают независимость координат явной.

Внутренние определения

Пусть $M$ — гладкое многообразие . Гладкая дифференциальная форма степени $k$ — это гладкое сечение k $-$ й внешней степени кокасательного расслоения M. Множество всех дифференциальных $k$ -форм на многообразии $M$ — это векторное пространство , часто обозначаемое $Ω$ $k$ $($ $M$ $)$ $.$

Определение дифференциальной формы можно переформулировать следующим образом. В любой точке $p$ $\in M k$ -форма β $определяет$ элемент

\beta _{p}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M,

где $T p M$ — касательное пространство к $M$ в точке $p$ , а $T p * M$ — его сопряженное пространство $.$ Это пространство естественным образом изоморфно ^[3]^{[ необходимо разъяснение ]} слою в точке $p$ сопряженного расслоения $k-$ й внешней степени касательного расслоения M. То есть, $β$ также является линейным функционалом , то есть сопряженное k $-$ й внешней степени изоморфно $k$ -й внешней степени сопряженного: ${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$

{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M\cong {\Big (}{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M{\Big )}^{*}

По универсальному свойству внешних сил это эквивалентно знакопеременному полилинейному отображению :

\beta _{p}\colon \bigoplus _{n=1}^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} .

Следовательно, дифференциальная $k$ -форма может быть вычислена для любого $k$ -кортежа касательных векторов к одной и той же точке $p$ множества $M.$ Например, дифференциальная $1$ -форма $α$ назначает каждой точке $p \in M$ линейный функционал $α p$ на $T p M.$ При наличии скалярного произведения на $T p M$ (индуцированного римановой метрикой на $M$ ), $α p$ может быть представлено как скалярное произведение с касательным вектором $X p$ . Дифференциальные $1$ -формы иногда называют ковариантными векторными полями , ковекторными полями или «дуальными векторными полями», особенно в физике.

Внешняя алгебра может быть встроена в тензорную алгебру с помощью карты альтернации. Карта альтернации определяется как отображение

\operatorname {Alt} \colon {\bigotimes }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.

Для тензора в точке $p$ , $\tau$

\operatorname {Alt} (\tau _{p})(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\tau _{p}(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)}),

где $S k$ — симметрическая группа на $k$ элементах. Отображение альтернирования постоянно на смежных классах идеала в тензорной алгебре, порожденной симметрическими 2-формами, и, следовательно, спускается до вложения

\operatorname {Alt} \colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.

Это отображение показывает $β$ как полностью антисимметричное ковариантное тензорное поле ранга $k$ . Дифференциальные формы на $M$ находятся во взаимно однозначном соответствии с такими тензорными полями.

Операции

Помимо сложения и умножения на скалярные операции, которые возникают из структуры векторного пространства, существует несколько других стандартных операций, определенных на дифференциальных формах. Наиболее важными операциями являются внешнее произведение двух дифференциальных форм, внешняя производная одной дифференциальной формы, внутреннее произведение дифференциальной формы и векторного поля, производная Ли дифференциальной формы относительно векторного поля и ковариантная производная дифференциальной формы относительно векторного поля на многообразии с определенной связностью.

Внешний вид продукта

Внешнее произведение $k$ -формы $α$ и $ℓ$ -формы $β$ , обозначаемое $α \land β$ , является ( $k + ℓ$ )-формой. В каждой точке $p$ многообразия $M$ формы $α$ и $β$ являются элементами внешней степени кокасательного пространства в точке $p$ . Когда внешняя алгебра рассматривается как фактор тензорной алгебры, внешнее произведение соответствует тензорному произведению (по модулю отношения эквивалентности, определяющего внешнюю алгебру).

Антисимметрия, присущая внешней алгебре, означает, что когда $α \land β$ рассматривается как полилинейный функционал, он является знакопеременным. Однако, когда внешняя алгебра вкладывается как подпространство тензорной алгебры посредством отображения знакопеременности, тензорное произведение $α \otimes β$ не является знакопеременным. Существует явная формула, описывающая внешнее произведение в этой ситуации. Внешнее произведение равно

\alpha \wedge \beta =\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).

Если внедрение в осуществляется через карту вместо , то внешний продукт будет ${\textstyle \bigwedge }^{n}T^{*}M$ ${\bigotimes }^{n}T^{*}M$ $n!\operatorname {Alt}$ $\operatorname {Alt}$

\alpha \wedge \beta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell !}}\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).

Это описание полезно для явных вычислений. Например, если $k = ℓ = 1$ , то $α \land β$ — это $2$ -форма, значение которой в точке $p$ — это знакопеременная билинейная форма, определяемая как

(\alpha \wedge \beta )_{p}(v,w)=\alpha _{p}(v)\beta _{p}(w)-\alpha _{p}(w)\beta _{p}(v)

для $v, w \in T p M$ .

Внешнее произведение является билинейным: если $α$ , $β$ и $γ$ — любые дифференциальные формы, а $f$ — любая гладкая функция, то

\alpha \wedge (\beta +\gamma )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma ,

\alpha \wedge (f\cdot \beta )=f\cdot (\alpha \wedge \beta ).

Он является косо-коммутативным (также известным как градуированная коммутативность ), что означает, что он удовлетворяет варианту антикоммутативности , который зависит от степеней форм: если $α$ является $k$ -формой, а $β$ является $ℓ$ -формой, то

\alpha \wedge \beta =(-1)^{k\ell }\beta \wedge \alpha .

Существует также градуированное правило Лейбница :

$d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .$

риманово многообразие

На римановом многообразии или, в более общем смысле, на псевдоримановом многообразии метрика определяет послойный изоморфизм касательных и кокасательных расслоений. Это позволяет преобразовывать векторные поля в ковекторные поля и наоборот. Это также позволяет определять дополнительные операции, такие как оператор звезды Ходжа и кодифференциал , который имеет степень $-1$ и сопряжен с внешним дифференциалом $d$ . $\star \colon \Omega ^{k}(M)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ \Omega ^{n-k}(M)$ $\delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)$

Структуры векторного поля

На псевдоримановом многообразии $1-$ формы можно отождествить с векторными полями; векторные поля имеют дополнительные различные алгебраические структуры, которые перечислены здесь для контекста и во избежание путаницы.

Во-первых, каждое (ко)касательное пространство порождает алгебру Клиффорда , где произведение (ко)вектора на себя задается значением квадратичной формы — в данном случае натуральной, индуцированной метрикой . Эта алгебра отличается от внешней алгебры дифференциальных форм, которую можно рассматривать как алгебру Клиффорда, где квадратичная форма обращается в нуль (поскольку внешнее произведение любого вектора на себя равно нулю). Таким образом, алгебры Клиффорда являются неантикоммутативными («квантовыми») деформациями внешней алгебры. Они изучаются в геометрической алгебре .

Другая альтернатива — рассматривать векторные поля как производные. (Некоммутативная) алгебра дифференциальных операторов, которую они порождают, — это алгебра Вейля , которая является некоммутативной («квантовой») деформацией симметрической алгебры в векторных полях.

Внешний дифференциальный комплекс

Одним из важных свойств внешней производной является то, что $d 2 = 0.$ Это означает, что внешняя производная определяет коцепной комплекс :

0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.

Этот комплекс называется комплексом де Рама, а его когомологии по определению являются когомологиями де Рама M. По лемме Пуанкаре комплекс де Рама локально точен, за исключением $Ω$ $0$ $($ $M$ $)$ . Ядро в $Ω$ $0$ $($ $M$ $)$ является пространством локально постоянных функций на $M$ . Следовательно, комплекс является разрешением постоянного пучка $R , что$ $,$ в свою очередь, подразумевает форму теоремы де Рама: когомологии де Рама вычисляют $когомологии$ пучка R .

Откат

Предположим, что $f : M \to N$ является гладким. Дифференциал $f$ — это гладкое отображение $df : TM \to TN$ между касательными расслоениями $M$ и $N$ . Это отображение также обозначается $f *$ и называется pushforward . Для любой точки $p \in M$ и любого касательного вектора $v \in T p M$ существует хорошо определенный pushforward вектор $f * (v)$ в $T f (p) N$ . Однако то же самое не относится к векторному полю. Если $f$ не инъективно, скажем, потому что $q \in N$ имеет два или более прообразов, то векторное поле может определять два или более различных векторов в $T q N$ . Если $f$ не сюръективно, то будет точка $q \in N ,$ в которой $f *$ вообще не определяет ни одного касательного вектора. Поскольку векторное поле на $N$ по определению определяет единственный касательный вектор в каждой точке $N$ , прямой перенос векторного поля не всегда существует.

Напротив, всегда возможно вытянуть дифференциальную форму. Дифференциальная форма на $N$ может рассматриваться как линейный функционал на каждом касательном пространстве. Предварительная композиция этого функционала с дифференциалом $df : TM \to TN$ определяет линейный функционал на каждом касательном пространстве $M$ и, следовательно, дифференциальную форму на $M$ . Существование обратных образов является одной из ключевых особенностей теории дифференциальных форм. Это приводит к существованию отображений обратного образа в других ситуациях, таких как гомоморфизмы обратного образа в когомологиях де Рама.

Формально, пусть $f : M \to N$ будет гладкой, и пусть $ω$ будет гладкой $k$ -формой на $N$ . Тогда существует дифференциальная форма $f * ω$ на $M$ , называемая обратным протягиванием ω $,$ которая фиксирует поведение $ω$ относительно $f$ . Чтобы определить обратное протягивание, зафиксируем точку $p$ в $M$ и касательные векторы $v 1$ , ..., $v k$ к $M$ в $p$ . Обратное протягивание $ω$ определяется формулой

(f^{*}\omega )_{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\omega _{f(p)}(f_{*}v_{1},\ldots ,f_{*}v_{k}).

Есть несколько более абстрактных способов рассмотреть это определение. Если $ω$ является $1$ -формой на $N$ , то ее можно рассматривать как сечение кокасательного расслоения $T * N$ для $N$ . Используя ^∗ для обозначения двойственного отображения, двойственное к дифференциалу $f$ есть $(df) * : T * N \to T * M$ . Обратный путь $ω$ можно определить как композицию

M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ T^{*}N\ {\stackrel {(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ T^{*}M.

Это сечение кокасательного расслоения $M$ и, следовательно, дифференциальная $1$ -форма на $M$ . В полной общности, пусть обозначает $k$ -ю внешнюю степень двойственного отображения к дифференциалу. Тогда пулбэк $k$ -формы $ω$ является композитом ${\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$

M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}N\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M.

Другой абстрактный способ рассмотрения пулбэка исходит из рассмотрения $k$ -формы $ω$ как линейного функционала на касательных пространствах. С этой точки зрения $ω$ является морфизмом векторных расслоений

{\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} ,

где $N \times R$ — тривиальное расслоение ранга один на $N.$ Составное отображение

{\textstyle \bigwedge }^{k}TM\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}df}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R}

определяет линейный функционал на каждом касательном пространстве $M$ , и, следовательно, он пропускается через тривиальное расслоение $M \times R.$ Морфизм векторного расслоения , определенный таким образом, есть $f$ $*$ $ω$ . ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$

Pullback учитывает все основные операции над формами. Если $ω$ и $η$ — формы, а $c$ — действительное число, то

{\begin{aligned}f^{*}(c\omega )&=c(f^{*}\omega ),\\f^{*}(\omega +\eta )&=f^{*}\omega +f^{*}\eta ,\\f^{*}(\omega \wedge \eta )&=f^{*}\omega \wedge f^{*}\eta ,\\f^{*}(d\omega )&=d(f^{*}\omega ).\end{aligned}}

Обратный путь формы также может быть записан в координатах. Предположим, что $x 1$ , ..., $x m$ являются координатами на $M$ , что $y 1$ , ..., $y n$ являются координатами на $N$ $,$ и что эти системы координат связаны формулами $y i = f i (x 1, ..., x m)$ для всех $i$ . Локально на $N$ ω можно записать как

\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\,dy^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dy^{i_{k}},

где для каждого выбора $i 1$ , ..., $i k$ , $ω i 1 \cdot\cdot\cdot i k$ является действительной функцией $y 1$ , ..., $y n$ . Используя линейность обратного хода и его совместимость с внешним произведением, обратный ход $ω$ имеет формулу

f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f)\,df_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge df_{i_{k}}.

Каждая внешняя производная $df i$ может быть разложена по $dx 1$ , ..., $dx m$ . Полученная $k$ -форма может быть записана с использованием матриц Якоби :

f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f){\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}\,dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}.

Здесь обозначает определитель матрицы, элементы которой равны , . ${\textstyle {\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial f_{i_{m}}}{\partial x^{j_{n}}}}}$ $1\leq m,n\leq k$

Интеграция

Дифференциальная $k$ -форма может быть проинтегрирована по ориентированному $k$ -мерному многообразию. Когда $k$ -форма определена на $n$ -мерном многообразии с $n > k$ , то $k$ -форма может быть проинтегрирована по ориентированным $k$ -мерным подмногообразиям. Если $k = 0$ , интегрирование по ориентированным 0-мерным подмногообразиям является просто суммированием подынтегрального выражения, вычисленного в точках, в соответствии с ориентацией этих точек. Другие значения $k = 1, 2, 3, ...$ соответствуют линейным интегралам, поверхностным интегралам, объемным интегралам и т. д. Существует несколько эквивалентных способов формального определения интеграла дифференциальной формы, все из которых зависят от сведения к случаю евклидова пространства.

Интеграция в евклидовом пространстве

Пусть $U$ — открытое подмножество $R n$ . Дадим $R n$ его стандартную ориентацию, а $U$ — ограничение этой ориентации. Каждая гладкая $n$ -форма $ω$ на $U$ имеет вид

\omega =f(x)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}

для некоторой гладкой функции $f : R n \to R$ . Такая функция имеет интеграл в обычном смысле Римана или Лебега. Это позволяет нам определить интеграл от $ω$ как интеграл от $f$ :

\int _{U}\omega \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{U}f(x)\,dx^{1}\cdots dx^{n}.

Для того чтобы это было хорошо определено, необходимо зафиксировать ориентацию. Кососимметрия дифференциальных форм означает, что интеграл, скажем, $dx 1 \land dx 2$ должен быть отрицательным интегралом $dx 2 \land dx 1$ . Интегралы Римана и Лебега не могут увидеть эту зависимость от порядка координат, поэтому они оставляют знак интеграла неопределенным. Ориентация разрешает эту неоднозначность.

Интеграция по цепочкам

Пусть $M$ — $n$ -многообразие, а $ω —$ $n$ - форма на $M.$ Сначала предположим, что существует параметризация $M$ открытым подмножеством евклидова пространства. То есть предположим, что существует диффеоморфизм

\varphi \colon D\to M

где $D \subseteq R n$ . Дадим $M$ ориентацию, индуцированную $φ$ . Затем (Рудин 1976) определяет интеграл $ω$ по $M$ как интеграл $φ * ω$ по $D$ . В координатах это имеет следующее выражение. Зафиксируем вложение $M$ в $R I$ с координатами $x 1, ..., x I$ . Тогда

\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}({\mathbf {x} })\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}.

Предположим, что $φ$ определяется как

\varphi ({\mathbf {u} })=(x^{1}({\mathbf {u} }),\ldots ,x^{I}({\mathbf {u} })).

Тогда интеграл можно записать в координатах как

\int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(\varphi ({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\dots ,u^{n})}}\,du^{1}\cdots du^{n},

где

{\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\ldots ,u^{n})}}

является определителем якобиана . Якобиан существует, поскольку $φ$ дифференцируема.

В общем случае $n$ -многообразие не может быть параметризовано открытым подмножеством $R n$ . Но такая параметризация всегда возможна локально, поэтому можно определить интегралы по произвольным многообразиям, определив их как суммы интегралов по наборам локальных параметризаций. Более того, можно также определить параметризации $k$ -мерных подмножеств для $k < n$ , и это позволяет определить интегралы $k$ -форм. Чтобы сделать это точным, удобно зафиксировать стандартную область $D$ в $R k$ , обычно куб или симплекс. $K$ -цепь - это формальная сумма гладких вложений $D \to M$ . То есть это набор гладких вложений, каждому из которых назначена целая кратность. Каждое гладкое вложение определяет $k$ -мерное подмногообразие $M$ . Если цепь есть

c=\sum _{i=1}^{r}m_{i}\varphi _{i},

тогда интеграл $k$ -формы $ω$ по $c$ определяется как сумма интегралов по членам $c$ :

\int _{c}\omega =\sum _{i=1}^{r}m_{i}\int _{D}\varphi _{i}^{*}\omega .

Такой подход к определению интегрирования не придаёт прямого значения интегрированию по всему многообразию $M.$ Однако косвенно придать такое значение всё же возможно, поскольку каждое гладкое многообразие может быть гладко триангулировано по существу единственным способом, а интеграл по $M$ может быть определён как интеграл по цепи, определяемой триангуляцией.

Интеграция с использованием разбиений единицы

Существует другой подход, изложенный в (Dieudonné 1972), который напрямую присваивает значение интегрированию по $M$ , но этот подход требует фиксации ориентации $M$ . Интеграл $n$ -формы $ω$ на $n$ -мерном многообразии определяется путем работы с картами. Предположим сначала, что $ω$ поддерживается на одной положительно ориентированной карте. На этой карте его можно вернуть к $n$ -форме на открытом подмножестве $R n$ . Здесь форма имеет хорошо определенный интеграл Римана или Лебега, как и прежде. Формула замены переменных и предположение о том, что карта положительно ориентирована, вместе гарантируют, что интеграл $ω$ не зависит от выбранной карты. В общем случае используйте разбиение единицы, чтобы записать $ω$ как сумму $n$ -форм, каждая из которых поддерживается на одной положительно ориентированной карте, и определите интеграл $ω$ как сумму интегралов каждого члена в разбиении единицы.

Также возможно интегрировать $k$ -формы на ориентированных $k$ -мерных подмногообразиях, используя этот более внутренний подход. Форма возвращается к подмногообразию, где интеграл определяется с помощью карт, как и раньше. Например, если задан путь $γ (t) : [0, 1] \to R 2$ , интегрирование $1$ -формы на пути просто возвращает форму к форме $f (t) dt$ на $[0, 1]$ , и этот интеграл является интегралом функции $f (t)$ на интервале.

Интеграция по волокнам

Теорема Фубини утверждает, что интеграл по множеству, которое является произведением, может быть вычислен как итерированный интеграл по двум множителям в произведении. Это предполагает, что интеграл дифференциальной формы по произведению также должен быть вычислен как итерированный интеграл. Геометрическая гибкость дифференциальных форм гарантирует, что это возможно не только для произведений, но и в более общих ситуациях. При некоторых гипотезах можно интегрировать по слоям гладкого отображения, и аналогом теоремы Фубини является случай, когда это отображение является проекцией из произведения на один из его множителей.

Поскольку интегрирование дифференциальной формы по подмногообразию требует фиксации ориентации, предпосылкой для интегрирования по волокнам является существование четко определенной ориентации на этих волокнах. Пусть $M$ и $N$ — два ориентируемых многообразия чистых размерностей $m$ и $n$ соответственно. Предположим, что $f : M \to N$ — сюръективная субмерсия. Это подразумевает, что каждое волокно $f -1 (y)$ является $(m - n)$ -мерным и что вокруг каждой точки $M$ существует карта, на которой $f$ выглядит как проекция произведения на один из его множителей. Зафиксируем $x \in M$ и положим $y = f (x)$ . Предположим, что

{\begin{aligned}\omega _{x}&\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\\\eta _{y}&\in {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,\end{aligned}}

и что $η y$ не исчезает. Согласно (Dieudonné 1972), существует уникальный

\sigma _{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}(f^{-1}(y))

который можно рассматривать как фибральную часть $ω x$ относительно $η y$ . Точнее, определим $j : f -1 (y) \to M$ как включение. Тогда $σ x$ определяется свойством, что

\omega _{x}=(f^{*}\eta _{y})_{x}\wedge \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,

где

\sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M

любой $(m - n)$ -ковектор, для которого

\sigma _{x}=j^{*}\sigma '_{x}.

Форму $σ x$ можно также обозначить как $ω x / η y$ .

Более того , при фиксированном $y$ $σ x$ плавно изменяется относительно $x$ . То есть, предположим, что

\omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M

является гладким сечением отображения проекции; мы говорим, что $ω$ является гладкой дифференциальной $m$ -формой на $M$ вдоль $f -1 (y)$ . Тогда существует гладкая дифференциальная $(m - n)$ -форма $σ$ на $f -1 (y)$ такая, что при каждом $x \in f -1 (y)$ ,

\sigma _{x}=\omega _{x}/\eta _{y}.

Эта форма обозначается $ω / η y$ . Та же конструкция работает, если $ω$ является $m$ -формой в окрестности слоя, и используются те же обозначения. Следствием этого является то, что каждое волокно $f -1 (y)$ является ориентируемым. В частности, выбор форм ориентации на $M$ и $N$ определяет ориентацию каждого волокна $f$ .

Аналог теоремы Фубини следующий. Как и прежде, $M$ и $N$ — два ориентируемых многообразия чистых размерностей $m$ и $n$ , а $f : M \to N$ — сюръективная субмерсия. Зафиксируем ориентации $M$ и $N$ и дадим каждому слою $f$ индуцированную ориентацию. Пусть $ω$ — $m$ -форма на $M$ , а $η$ — $n$ -форма на $N$ , которая почти всюду положительна относительно ориентации $N.$ Тогда для почти каждого $y \in N$ форма $ω / η y$ — это хорошо определенная интегрируемая $m - n$ -форма на $f -1 (y)$ . Более того, существует интегрируемая $n$ -форма на $N$ , определяемая соотношением

y\mapsto {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta _{y}{\bigg )}\,\eta _{y}.

Обозначим эту форму как

{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .

Затем (Дьедонне 1972) доказывает обобщенную формулу Фубини

\int _{M}\omega =\int _{N}{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .

Также возможно интегрировать формы других степеней вдоль волокон погружения. Предположим те же гипотезы, что и раньше, и пусть $α$ будет компактной $(m - n + k)$ -формой на $M$ . Тогда существует $k$ -форма $γ$ на $N$ , которая является результатом интегрирования $α$ вдоль волокон $f$ . Форма $α$ определяется указанием в каждом $y \in N$ , как $γ$ спаривается с каждым $k$ -вектором $v$ в $y$ , и значение этого спаривания является интегралом по $f -1 (y),$ который зависит только от $α$ , $v$ и ориентаций $M$ и $N$ . Точнее, в каждом $y \in N$ , существует изоморфизм

{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{y}N\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{y}^{*}N

определяется интерьером продукта

\mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y},

для любого выбора формы объема $ζ$ в ориентации $N.$ Если $x \in f -1 (y)$ , то $k$ -вектор $v$ в $y$ определяет $(n - k)$ -ковектор в $x$ с помощью обратного протягивания:

f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\in {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{x}^{*}M.

Каждый из этих ковекторов имеет внешнее произведение относительно $α$ , поэтому существует $(m - n)$ -форма $β v$ на $M$ вдоль $f -1 (y),$ определяемая как

(\beta _{\mathbf {v} })_{x}=\left(\alpha _{x}\wedge f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\right){\big /}\zeta _{y}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.

Эта форма зависит от ориентации $N$ , но не от выбора $ζ$ . Тогда $k$ -форма $γ$ однозначно определяется свойством

\langle \gamma _{y},\mathbf {v} \rangle =\int _{f^{-1}(y)}\beta _{\mathbf {v} },

и $γ$ является гладким (Dieudonné 1972). Эта форма также обозначается $α ♭$ и называется интегралом $α$ вдоль слоев $f$ . Интегрирование вдоль слоев важно для построения отображений Гизина в когомологиях де Рама.

Интеграция вдоль волокон удовлетворяет формуле проекции (Dieudonné 1972). Если $λ$ — любая $ℓ$ -форма на $N$ , то

\alpha ^{\flat }\wedge \lambda =(\alpha \wedge f^{*}\lambda )^{\flat }.

Теорема Стокса

$Фундаментальная связь между$ внешней производной и интегрированием задается теоремой Стокса : если $ω$ является ( $n - 1$ )-формой с компактным носителем на $M$ , а $\partialM$ обозначает границу M с ее индуцированной ориентацией , то

\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .

Ключевым следствием этого является то, что «интеграл замкнутой формы по гомологичным цепям равен»: если $ω$ — замкнутая $k-$ форма, а $M$ и $N$ — $k$ -цепи, которые гомологичны (такие, что $M - N$ — граница $(k + 1)$ -цепи $W$ ), то , поскольку разность равна интегралу . $\textstyle {\int _{M}\omega =\int _{N}\omega }$ $\textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0$

Например, если $ω = df$ — производная потенциальной функции на плоскости или $R n$ , то интеграл от $ω$ по пути от $a$ до $b$ не зависит от выбора пути (интеграл равен $f (b) - f (a)$ ), поскольку различные пути с заданными конечными точками гомотопны , следовательно, гомологичны (более слабое условие). Этот случай называется теоремой о градиенте и обобщает основную теорему исчисления . Эта независимость от пути очень полезна при контурном интегрировании .

Эта теорема также лежит в основе двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепей.

Связь с мерами

На общем дифференцируемом многообразии (без дополнительной структуры) дифференциальные формы не могут быть интегрированы по подмножествам многообразия; это различие является ключевым для различия между дифференциальными формами, которые интегрируются по цепям или ориентированным подмногообразиям, и мерами, которые интегрируются по подмножествам. Простейшим примером является попытка проинтегрировать $1$ -форму $dx$ по интервалу $[0, 1]$ . Предполагая обычное расстояние (и, следовательно, меру) на действительной прямой, этот интеграл равен либо $1$ , либо $-1$ , в зависимости от ориентации: , в то время как . Напротив, интеграл меры | $dx$ $|$ $на$ интервале однозначно равен $1$ (т.е. интеграл постоянной функции $1$ относительно этой меры равен $1$ ). Аналогично, при изменении координат дифференциальная $n$ -форма изменяется на определитель Якоби $J$ , в то время как мера изменяется на абсолютное значение определителя Якоби $|$ $,$ $что$ дополнительно отражает проблему ориентации. Например, при отображении $x$ $\mapsto -$ $x$ на прямой дифференциальная форма $dx$ возвращается к $-$ $dx$ ; ориентация меняется на противоположную; в то время как мера Лебега , которую здесь мы обозначаем $|$ $dx$ $|$ , возвращается к $|$ $dx$ $|$ ; она не меняется. $\textstyle {\int _{0}^{1}dx=1}$ $\textstyle {\int _{1}^{0}dx=-\int _{0}^{1}dx=-1}$

При наличии дополнительных данных ориентации можно интегрировать $n$ -формы (формы верхней размерности) по всему многообразию или по компактным подмножествам; интегрирование по всему многообразию соответствует интегрированию формы по фундаментальному классу многообразия, $[M]$ . Формально при наличии ориентации можно отождествить $n$ -формы с плотностями на многообразии ; плотности, в свою очередь, определяют меру и, таким образом, могут быть интегрированы (Folland 1999, раздел 11.4, стр. 361–362).

На ориентируемом, но не ориентированном многообразии есть два варианта ориентации; любой вариант позволяет интегрировать $n$ -формы по компактным подмножествам, причем два варианта отличаются знаком. На неориентируемом многообразии $n$ -формы и плотности не могут быть идентифицированы — в частности, любая форма высшего порядка должна где-то исчезнуть (на неориентируемых многообразиях нет объемных форм ), но существуют нигде не исчезающие плотности — таким образом, хотя можно интегрировать плотности по компактным подмножествам, нельзя интегрировать $n$ -формы. Вместо этого можно идентифицировать плотности с псевдоформами высшего порядка .

Даже при наличии ориентации, в общем случае нет осмысленного способа интегрировать $k$ -формы по подмножествам для $k < n,$ поскольку нет последовательного способа использовать окружающую ориентацию для ориентации $k$ -мерных подмножеств. Геометрически $k$ -мерное подмножество можно повернуть на месте, получив то же самое подмножество с противоположной ориентацией; например, горизонтальную ось на плоскости можно повернуть на 180 градусов. Сравните определитель Грама набора $k$ векторов в $n$ -мерном пространстве, который, в отличие от определителя $n$ векторов, всегда положителен, что соответствует квадрату числа. Ориентация $k$ -подмногообразия, таким образом, является дополнительными данными, не выводимыми из окружающего многообразия.

На римановом многообразии можно определить $k$ -мерную меру Хаусдорфа для любого $k$ (целого или действительного), которая может быть интегрирована по $k$ -мерным подмножествам многообразия. Функция, умноженная на эту меру Хаусдорфа, может быть затем интегрирована по $k$ -мерным подмножествам, предоставляя аналог теории мер интегрированию $k$ -форм. $N$ -мерная мера Хаусдорфа дает плотность, как указано выше.

Течения

Аналог дифференциальной формы распределения или обобщенной функции называется током . Пространство $k$ -токов на $M$ является дуальным пространством к соответствующему пространству дифференциальных $k$ -форм. Токи играют роль обобщенных областей интегрирования, похожих на цепи, но даже более гибких.

Приложения в физике

Дифференциальные формы возникают в некоторых важных физических контекстах. Например, в теории электромагнетизма Максвелла 2-форма Фарадея , или напряженность электромагнитного поля , есть

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}f_{ab}\,dx^{a}\wedge dx^{b}\,,

где $f ab$ образованы из электромагнитных полей и ; например, $f$ $12$ $=$ $E$ $z$ $/$ $c$ , $f$ $23$ $= -$ $B$ $z$ , или эквивалентные определения. ${\vec {E}}$ ${\vec {B}}$

Эта форма является частным случаем формы кривизны на главном расслоении $U(1)$ , на котором могут быть описаны как электромагнетизм, так и общие калибровочные теории . Форма связи для главного расслоения — это векторный потенциал, обычно обозначаемый как $A$ , когда представлен в некоторой калибровке. Тогда имеем

{\textbf {F}}=d{\textbf {A}}.

Текущая $3-$ я форма - это

{\textbf {J}}={\frac {1}{6}}j^{a}\,\varepsilon _{abcd}\,dx^{b}\wedge dx^{c}\wedge dx^{d}\,,

где $j a$ — четыре компонента плотности тока. (Здесь принято писать $F ab$ вместо $f ab$ , т.е. использовать заглавные буквы, и писать $J a$ вместо $j a$ . Однако компоненты тензора вектора rsp. и указанные выше формы имеют разные физические размерности. Более того, по решению международной комиссии Международного союза чистой и прикладной физики вектор магнитной поляризации в течение нескольких десятилетий именуется , а некоторыми издательствами $J$ ; т.е. одно и то же название используется для разных величин.) ${\vec {J}}$

Используя приведенные выше определения, уравнения Максвелла можно очень компактно записать в геометрических единицах как

{\begin{aligned}d{\textbf {F}}&={\textbf {0}}\\d{\star {\textbf {F}}}&={\textbf {J}},\end{aligned}}

где обозначает оператор звезды Ходжа . Аналогичные соображения описывают геометрию калибровочных теорий в целом. $\star$

$2$ -форма , которая является дуальной к форме Фарадея, также называется 2-формой Максвелла . ${\star }\mathbf {F}$

Электромагнетизм является примером калибровочной теории $U(1)$ . Здесь группа Ли — это $U(1)$ , одномерная унитарная группа , которая, в частности, абелева . Существуют калибровочные теории, такие как теория Янга–Миллса , в которых группа Ли не абелева. В этом случае получаются соотношения, подобные описанным здесь. Аналогом поля $F$ в таких теориях является форма кривизны связности, которая в калибровке представлена алгеброй Ли со значениями в единице $A.$ Поле Янга–Миллса $F$ тогда определяется как

\mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .

В абелевом случае, таком как электромагнетизм, $A \land A = 0$ , но это не выполняется в общем случае. Аналогично уравнения поля модифицируются дополнительными членами, включающими внешние произведения $A$ и $F$ , из-за структурных уравнений калибровочной группы.

Приложения в геометрической теории меры

Многочисленные результаты минимальности для комплексных аналитических многообразий основаны на неравенстве Виртингера для 2-форм . Краткое доказательство можно найти в классическом тексте Герберта Федерера «Геометрическая теория меры» . Неравенство Виртингера также является ключевым компонентом неравенства Громова для комплексного проективного пространства в систолической геометрии .

Смотрите также

Примечания

^ Картан, Эли (1899), «Sur определенные выражения différentielles et le problème de Pfaff», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 16 : 239–332, doi : 10.24033/asens.467
^ Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 9781441974006. OCLC 682907530.
^ «Линейная алгебра – «Естественные» пары между внешними степенями векторного пространства и его двойственного».

Ссылки

Бахман, Дэвид (2006), Геометрический подход к дифференциальным формам , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4499-4
Бахман, Дэвид (2003), Геометрический подход к дифференциальным формам , arXiv : math/0306194v1 , Bibcode : 2003math......6194B
Картан, Анри (2006), Дифференциальные формы , Дувр, ISBN 0-486-45010-4-Перевод Formes différentielles (1967).
Дьедонне, Жан (1972), Трактат об анализе , т. 3, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, Inc., MR 0350769
Эдвардс, Гарольд М. (1994), Продвинутый анализ; Подход с использованием дифференциальных форм , Modern Birkhäuser Classics, Бостон, Базель, Берлин: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-0-8176-8412-9, ISBN 978-0-8176-8411-2
Фолланд, Джеральд Б. (1999), Реальный анализ: современные методы и их применение (второе издание), ISBN 978-0-471-31716-6,В последнем разделе дается краткое обсуждение интегрирования на многообразиях с точки зрения теории меры.
Фландерс, Харли (1989) [1964], Дифференциальные формы и их приложения к физическим наукам , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
Флеминг, Уэнделл Х. (1965), «Глава 6: Внешняя алгебра и дифференциальное исчисление», Функции нескольких переменных , Эддисон-Уэсли, стр. 205–238.В этом учебнике по многомерному исчислению излагается внешняя алгебра дифференциальных форм на уровне университетского исчисления.
Морита, Шигеюки (2001), Геометрия дифференциальных форм , AMS, ISBN 0-8218-1045-6
Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа , Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X
Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях, Менло-Парк, Калифорния: WA Benjamin, ISBN 0-8053-9021-9,стандартный вводный текст.
Ту, Лоринг В. (2008), Введение в многообразия , Universitext, Springer, doi :10.1007/978-1-4419-7400-6, ISBN 978-0-387-48098-5
Зорич, Владимир А. (2004), Математический анализ II , Springer, ISBN 3-540-40633-6

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальная форма». Математический мир .
Сьямар, Рейер (2006), Многообразия и дифференциальные формы, лекции (PDF), курс, преподаваемый в Корнелльском университете .
Бахман, Дэвид (2003), Геометрический подход к дифференциальным формам , arXiv : math/0306194 , Bibcode : 2003math......6194B, текст для студентов.
Нидхэм, Тристан . Визуальная дифференциальная геометрия и формы: математическая драма в пяти актах . Princeton University Press, 2021.