Диэдральная симметрия в трех измерениях

В геометрии диэдральная симметрия в трех измерениях — одна из трех бесконечных последовательностей точечных групп в трех измерениях , имеющих группу симметрии , которая как абстрактная группа является диэдральной группой Dih _n (для n ≥ 2).

Типы

Существует 3 типа диэдральной симметрии в трех измерениях, каждый из которых показан ниже в трех обозначениях: обозначение Шенфлиса , обозначение Коксетера и обозначение орбифолда .

Хиральный

D _n , [ n ,2] ⁺ , (22 n ) порядка 2 n – диэдральная симметрия или пара-n-гональная группа (абстрактная группа: Dih _n ).

Ахиральный

D _nh , [ n ,2], (*22 n ) порядка 4 n – призматическая симметрия или полная ортогональная n-гональная группа (абстрактная группа: Dih _n × Z ₂ ).
D _nd (или D _nv ), [2 n ,2 ⁺ ], (2* n ) порядка 4 n – антипризматическая симметрия или полная гиро-n-гональная группа (абстрактная группа: Dih _{2 n} ).

Для заданного n все три имеют n -кратную вращательную симметрию вокруг одной оси ( поворот на угол 360°/ n не меняет объект) и 2-кратную вращательную симметрию вокруг перпендикулярной оси, следовательно, около n из них. Для n = ∞ они соответствуют трем группам Фриза . Используется обозначение Шёнфлиса с обозначением Коксетера в скобках и обозначение орбифолда в круглых скобках. Термин горизонтальный (h) используется относительно вертикальной оси вращения.

В 2D группа симметрии D _n включает отражения относительно прямых. Когда 2D плоскость вложена горизонтально в 3D пространство, такое отражение можно рассматривать либо как ограничение этой плоскостью отражения через вертикальную плоскость, либо как ограничение плоскостью поворота вокруг линии отражения на 180°. В 3D различают две операции: группа D _n содержит только вращения, но не отражения. Другая группа — пирамидальная симметрия C _nv того же порядка, 2 n .

При зеркальной симметрии в плоскости, перпендикулярной оси вращения n -го порядка, имеем D _nh , [n], (*22 n ).

D _nd (или D _nv ), [2 n ,2 ⁺ ], (2* n ) имеет вертикальные зеркальные плоскости между горизонтальными осями вращения, а не через них. В результате вертикальная ось является осью 2 n -кратного роторного отражения .

D _nh — группа симметрии правильной n -гранной призмы , а также правильной n-гранной бипирамиды . D _nd — группа симметрии правильной n -гранной антипризмы , а также правильного n-гранного трапецоэдра . D _n — группа симметрии частично повернутой призмы.

n = 1 не включено, поскольку три симметрии равны другим:

D ₁ и C ₂ : группа порядка 2 с одним поворотом на 180°.
D _{1 h} и C _{2 v} : группа порядка 4 с отражением относительно плоскости и поворотом на 180° вокруг прямой в этой плоскости.
D _{1 d} и C _{2 h} : группа порядка 4 с отражением относительно плоскости и поворотом на 180° вокруг прямой, перпендикулярной этой плоскости.

При n = 2 нет одной главной оси и двух дополнительных осей, а есть три эквивалентные.

D ₂ , [2,2] ⁺ , (222) порядка 4 — один из трех типов групп симметрии с четырехгруппой Клейна в качестве абстрактной группы. Он имеет три перпендикулярные оси вращения 2-го порядка. Это группа симметрии кубоида с S, написанной на двух противоположных гранях в той же ориентации.
D _{2 h} , [2,2], (*222) порядка 8 — группа симметрии кубоида.
D _{2 d} , [4,2 ⁺ ], (2*2) порядка 8 является группой симметрии, например:
- Квадратный прямоугольный параллелепипед, на одной квадратной грани которого проведена диагональ, а на другой — перпендикулярная ей диагональ.
- Правильный тетраэдр , масштабированный в направлении линии, соединяющей середины двух противоположных ребер ( D _{2 d} является подгруппой T d ; масштабированием мы уменьшаем симметрию).

Подгруппы

Для D _nh , [n,2], (*22n), порядок 4n

C _nh , [n ⁺ ,2], (n*), порядок 2n
C _nv , [n,1], (*nn), порядок 2n
D _n , [n,2] ⁺ , (22n), порядок 2n

Для D _nd , [2n,2 ⁺ ], (2*n), порядок 4n

S _{2 n} , [2n ⁺ ,2 ⁺ ], (n×), порядок 2n
C _nv , [n ⁺ ,2], (n*), порядок 2n
D _n , [n,2] ⁺ , (22n), порядок 2n

D _nd также является подгруппой D _{2 nh} .

Примеры

Д _нх , [ н ], (*22 н ):

Д _{5 ч} , [5], (*225):

Д _{4 д} , [8,2 ⁺ ], (2*4):

Д _{5 д} , [10,2 ⁺ ], (2*5):

Д _{17 д} , [34,2 ⁺ ], (2*17):

Смотрите также

Ссылки

Coxeter , HSM и Moser, WOJ (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
NW Johnson : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера
Conway, John Horton ; Huson, Daniel H. (2002), «Орбифолдная нотация для двумерных групп», Structural Chemistry , 13 (3), Springer Netherlands: 247–257, doi :10.1023/A:1015851621002, S2CID 33947139

Внешние ссылки

Графический обзор 32 кристаллографических точечных групп – образуют первые части (кроме пропуска n = 5) 7 бесконечных серий и 5 из 7 отдельных 3D точечных групп