В математике представление дискретной серии — это неприводимое унитарное представление локально компактной топологической группы G , которое является подпредставлением левого регулярного представления группы G на L²( G ). В мере Планшереля такие представления имеют положительную меру. Название происходит от того факта, что это именно те представления, которые возникают дискретно при разложении регулярного представления.
Если G унимодулярна , неприводимое унитарное представление ρ группы G находится в дискретной серии тогда и только тогда, когда один (а значит, и все) матричный коэффициент
с v , w ненулевыми векторами интегрируемо с квадратом на G относительно меры Хаара .
Когда G унимодулярна, представление дискретной серии имеет формальную размерность d со свойством, что
для v , w , x , y в представлении. Когда G компактна, это совпадает с размерностью, когда мера Хаара на G нормирована так, что G имеет меру 1.
Хариш-Чандра (1965, 1966) классифицировал представления дискретной серии связных полупростых групп G . В частности, такая группа имеет представления дискретной серии тогда и только тогда, когда она имеет тот же ранг, что и максимальная компактная подгруппа K . Другими словами, максимальный тор T в K должен быть подгруппой Картана в G . (Этот результат требовал, чтобы центр группы G был конечным, что исключало такие группы, как односвязное покрытие SL(2, R ).) Это применимо, в частности, к специальным линейным группам ; из них только SL(2, R ) имеет дискретную серию (см. теорию представлений SL(2, R ) ).
Классификация Хариш-Чандрой представлений дискретной серии полупростой связной группы Ли сводится к следующему. Если L — решетка весов максимального тора T , его подрешетка, где t — алгебра Ли T , то существует представление дискретной серии для каждого вектора v из
где ρ — вектор Вейля группы G , который не ортогонален ни одному корню группы G. Таким образом происходит любое представление дискретной серии. Два таких вектора v соответствуют одному и тому же представлению дискретной серии тогда и только тогда, когда они сопряжены относительно группы Вейля W K максимальной компактной подгруппы K . Если мы зафиксируем фундаментальную камеру для группы Вейля K , то представление дискретной серии будет находиться в соответствии 1:1 с векторами L + ρ в этой камере Вейля , которые не ортогональны ни одному корню группы G. Инфинитезимальный характер представления со старшим весом задается v (модуль группы Вейля WG группы G ) в соответствии с соответствием Хариш-Чандры , отождествляющим бесконечно малые характеры группы G с точками
Таким образом, для каждого представления дискретной серии существует ровно
представления дискретных серий с одинаковым бесконечно малым характером.
Хариш-Чандра продолжил доказательство аналога для этих представлений формулы характера Вейля . В случае, когда G не компактна, представления имеют бесконечную размерность, и поэтому понятие характера определить сложнее, поскольку это распределение Шварца (представленное локально интегрируемой функцией) с особенностями.
Характер задается на максимальном торе T формулой
Когда G компактен, это сводится к формуле характера Вейля, где v = λ + ρ для λ — наивысшего веса неприводимого представления (где произведение находится по корням α, имеющим положительный скалярный продукт с вектором v ).
Теорема о регулярности Хариш-Чандры подразумевает, что характер представления дискретной серии является локально интегрируемой функцией на группе.
Точки v в смежном классе L + ρ, ортогональные корням группы G , не соответствуют представлениям дискретной серии, но точки, не ортогональные корням группы K , связаны с некоторыми неприводимыми представлениями, называемыми пределом представлений дискретной серии . Существует такое представление для каждой пары ( v , C ), где v — вектор из L + ρ, ортогональный некоторому корню из G , но не ортогональный любому корню из K , соответствующему стенке C , а C — камера Вейля из G, содержащий v . (В случае представлений дискретной серии существует только одна камера Вейля, содержащая v , поэтому нет необходимости включать ее явно.) Две пары ( v , C ) дают один и тот же предел представления дискретной серии тогда и только тогда, когда они сопряжены относительно группа Вейля К. Так же, как и для представлений дискретных серий, v придает бесконечно малый характер. Есть не более | В Г |/| В К | предел представлений дискретных серий с любым заданным бесконечно малым характером.
Пределом представлений дискретных серий являются умеренные представления , что, грубо говоря, означает, что они просто не могут быть представлениями дискретных серий.
Первоначальная конструкция дискретного ряда Хариш-Чандры не была очень явной. Позже несколько авторов нашли более явные реализации дискретного ряда.
