В общей топологии и смежных областях математики дизъюнктное объединение (также называемое прямой суммой , свободным объединением , свободной суммой , топологической суммой или копроизведением ) семейства топологических пространств — это пространство, образованное путем оснащения дизъюнктного объединения базовых множеств естественной топологией , называемой топологией дизъюнктного объединения . Грубо говоря, в дизъюнктном объединении данные пространства рассматриваются как часть единого нового пространства, где каждое выглядит так, как если бы оно было по отдельности, и они изолированы друг от друга.
Название «копроизведение» происходит от того факта, что дизъюнкция является категориальной двойственной конструкцией пространства произведения .
Пусть { X i : i ∈ I } — семейство топологических пространств, индексированных I. Пусть
быть непересекающимся объединением базовых множеств. Для каждого i в I , пусть
быть канонической инъекцией (определенной с помощью ) . Топология несвязного объединения на X определяется как наилучшая топология на X, для которой все канонические инъекции непрерывны (т.е. это конечная топология на X, индуцированная каноническими инъекциями).
Явно топологию дизъюнктного объединения можно описать следующим образом. Подмножество U из X открыто в X тогда и только тогда, когда его прообраз открыт в X i для каждого i ∈ I. Еще одна формулировка состоит в том, что подмножество V из X открыто относительно X тогда и только тогда , когда его пересечение с X i открыто относительно X i для каждого i .
Пространство несвязного объединения X вместе с каноническими инъекциями можно охарактеризовать следующим универсальным свойством : если Y — топологическое пространство, а f i : X i → Y — непрерывное отображение для каждого i ∈ I , то существует ровно одно непрерывное отображение f : X → Y такое, что следующий набор диаграмм коммутирует :
Это показывает, что дизъюнктное объединение является копроизведением в категории топологических пространств . Из приведенного выше универсального свойства следует, что отображение f : X → Y непрерывно тогда и только тогда, когда f i = f o φ i непрерывно для всех i из I .
Помимо того, что они непрерывны, канонические инъекции φ i : X i → X являются открытыми и замкнутыми отображениями . Из этого следует, что инъекции являются топологическими вложениями, так что каждое X i можно канонически рассматривать как подпространство X .
Если каждое X i гомеоморфно фиксированному пространству A , то дизъюнктное объединение X гомеоморфно пространству произведения A × I , где I имеет дискретную топологию .
