Непересекающийся союз

В математике операция над множествами

В математике несвязное объединение (или дискриминируемое объединение ) множеств A и B представляет собой множество, образованное из элементов A и B , помеченных (индексированных) именем множества, из которого они происходят. Таким образом, элемент, принадлежащий как A, так и B , появляется в непересекающемся объединении дважды с двумя разными метками. ${\displaystyle A\sqcup B}$

Дизъюнктное объединение индексированного семейства множеств — это множество, часто обозначаемое инъекцией каждого в такое, что образы этих инъекций образуют разбиение ( то есть каждый элемент принадлежит ровно одному из этих изображений). Дизъюнктное объединение семейства попарно непересекающихся множеств — это их объединение . ${\displaystyle (A_{i}:i\in I)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

В теории категорий дизъюнктное объединение является копроизведением категории множеств и, таким образом, определено с точностью до биекции . В этом контексте часто используются обозначения . ${\textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$

Непересекающееся объединение двух множеств записывается инфиксной записью как . Некоторые авторы используют альтернативное обозначение или (наряду с соответствующим или ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\sqcup B}$ ${\displaystyle A\uplus B}$ ${\displaystyle A\operatorname {{\cup }\!\!\!{\cdot }\,} B}$ ${\textstyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i\in I}A_{i}}$

Стандартный способ построения непересекающегося объединения состоит в том, чтобы определить набор упорядоченных пар таких, что и инъекцию как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x,i)}$ ${\displaystyle x\in A_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}\to A}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,i).}$

Пример

Рассмотрим множества , и можно проиндексировать элементы множества в соответствии с его происхождением, сформировав связанные множества. ${\displaystyle A_{0}=\{5,6,7\}}$ ${\displaystyle A_{1}=\{5,6\}.}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}}$

где второй элемент в каждой паре соответствует нижнему индексу исходного набора (например, in соответствует нижнему индексу и т. д.). Тогда непересекающееся объединение можно рассчитать следующим образом: ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (5,0)}$ ${\displaystyle A_{0},}$ ${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}}$

$${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}.}$$

Определение теории множеств

Формально, пусть – индексированное семейство множеств, индексированное Дизъюнктным объединением этого семейства является множество ${\displaystyle \left(A_{i}:i\in I\right)}$ ${\displaystyle I.}$

$${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$

упорядоченные пары. ${\displaystyle (x,i).}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle x}$

Каждое из множеств канонически изоморфно множеству ${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle A_{i}^{*}=\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$

${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\neq j,}$ ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ ${\displaystyle A_{j}^{*}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}}$

В крайнем случае, когда каждый из них равен некоторому фиксированному набору для каждого, непересекающееся объединение является декартовым произведением и : ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$$

Иногда обозначения

$${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$$

мощностьсуммудекартова произведения ${\displaystyle A+B}$

На языке теории категорий непересекающееся объединение — это копроизведение в категории множеств . Следовательно, он удовлетворяет соответствующему универсальному свойству . Это также означает, что непересекающееся объединение является категориальным двойником конструкции декартова произведения . См. Coproduct для получения более подробной информации.

Для многих целей конкретный выбор вспомогательного индекса неважен, и, если упростить обозначения , индексированное семейство можно рассматривать просто как набор множеств. В этом случае его называют копией, и иногда используются такие обозначения . ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle {\underset {A\in C}{\,\,\bigcup \nolimits ^{*}\!}}A}$

Точка зрения теории категорий

В теории категорий непересекающееся объединение определяется как копроизведение в категории множеств.

Таким образом, дизъюнктное объединение определено с точностью до изоморфизма, и приведенное выше определение является лишь одной реализацией копроизведения, среди прочих. Когда множества попарно не пересекаются, обычное объединение является еще одной реализацией копроизведения. Это оправдывает второе определение.

Этот категориальный аспект непересекающегося союза объясняет , почему он часто используется вместо обозначения копродукции . ${\displaystyle \coprod }$ ${\displaystyle \bigsqcup ,}$

Смотрите также

• Копродукт  – теоретико-категорное построение
• Прямой предел  - частный случай копредела в теории категорий.
• Дизъюнктное объединение (топология)  - пространство, образованное путем оснащения дизъюнктного объединения основных множеств естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Дизъюнктное объединение графов  . Объединение наборов вершин и ребер двух графов.
• Пересечение (теория множеств)  - набор элементов, общих для всех некоторых множеств.
• Список тождеств и отношений множеств  . Равенства для комбинаций множеств.
• Разделение набора  - Математические способы группировки элементов набора.
• Тип суммы  — структура данных, используемая для хранения значения, которое может принимать несколько разных, но фиксированных типов.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Симметричная разница  - элементы ровно в одном из двух наборов.
• Теговое объединение  — структура данных, используемая для хранения значения, которое может принимать несколько разных, но фиксированных типов.
• Union (информатика)  - переменная, способная хранить разные типы данных.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Рекомендации

• Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (Исправленное четвертое издание, исправленное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 211. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
• Вайсштейн, Эрик В. «Разрозненный союз». Математический мир .