Понижение частоты дискретизации (обработка сигнала)

Метод повторной выборки

В цифровой обработке сигналов понижение частоты дискретизации , сжатие и прореживание являются терминами, связанными с процессом повторной выборки в многоскоростной системе цифровой обработки сигналов. Как понижение частоты дискретизации , так и прореживание могут быть синонимами сжатия или могут описывать весь процесс уменьшения полосы пропускания ( фильтрации ) и уменьшения частоты дискретизации. ^{[1] [2]} Когда процесс выполняется над последовательностью выборок сигнала или непрерывной функцией, он создает приближение последовательности, которое было бы получено при дискретизации сигнала с более низкой частотой (или плотностью , как в случае фотографии).

Прореживание — это термин, который исторически означает удаление каждого десятого . ^[a] Но в обработке сигналов прореживание в 10 раз фактически означает сохранение только каждого десятого сэмпла. Этот коэффициент умножает интервал выборки или, что эквивалентно, делит частоту выборки. Например, если аудио компакт-диска с частотой 44 100 сэмплов/сек прореживается в 5/4 раза, результирующая частота выборки составляет 35 280. Системный компонент, который выполняет прореживание, называется прореживанием . Прореживание в целочисленный раз также называется сжатием . ^{[3] [4]}

Понижение частоты дискретизации на целый коэффициент

Снижение скорости на целый коэффициент M можно объяснить как двухэтапный процесс с эквивалентной реализацией, которая более эффективна: ^[5]

1. Уменьшите высокочастотные компоненты сигнала с помощью цифрового фильтра нижних частот .
2. Проредить отфильтрованный сигнал на M , то есть оставить только каждый M ^-й отсчет.

Шаг 2 сам по себе создает нежелательное наложение спектров (т. е. высокочастотные компоненты сигнала будут копироваться в полосу нижних частот и ошибочно приниматься за более низкие частоты). Шаг 1, при необходимости, подавляет наложение спектров до приемлемого уровня. В этом приложении фильтр называется фильтром сглаживания , и его конструкция обсуждается ниже. Также см. раздел субдискретизация для получения информации о прореживании полосовых функций и сигналов.

Когда антиалиасинговый фильтр представляет собой конструкцию IIR , он полагается на обратную связь от выхода к входу до второго шага. При фильтрации FIR легко вычислить только каждый M ^-й выход. Расчет, выполняемый децимирующим FIR-фильтром для n- ^го выходного образца, представляет собой скалярное произведение : ^[b]

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[nM-k]\cdot h[k],}$

где последовательность h [•] — это импульсная характеристика, а K — ее длина.  x [•] представляет собой входную последовательность, которая подвергается субдискретизации. В процессоре общего назначения после вычисления y [ n ] самый простой способ вычислить y [ n +1] — это увеличить начальный индекс в массиве x [•] на M и пересчитать скалярное произведение. В случае M = 2 h [•] можно спроектировать как полуполосный фильтр , где почти половина коэффициентов равна нулю и не должна включаться в скалярные произведения.

Коэффициенты импульсной характеристики, взятые с интервалами M , образуют подпоследовательность, и существует M таких подпоследовательностей (фаз), мультиплексированных вместе. Скалярное произведение представляет собой сумму скалярных произведений каждой подпоследовательности с соответствующими образцами последовательности x [•]. Кроме того, из-за понижения частоты дискретизации с помощью M поток образцов x [•], участвующих в любом из M скалярных произведений, никогда не участвует в других скалярных произведениях. Таким образом, каждый из M низкопорядковых FIR-фильтров фильтрует одну из M мультиплексированных фаз входного потока, а M выходов суммируются. Эта точка зрения предлагает другую реализацию, которая может быть выгодной в многопроцессорной архитектуре. Другими словами, входной поток демультиплексируется и отправляется через банк из M фильтров, выходы которых суммируются. При такой реализации он называется полифазным фильтром.

Для полноты картины отметим, что возможная, но маловероятная реализация каждой фазы заключается в замене коэффициентов других фаз нулями в копии массива h [•], обработке исходной последовательности x [•] со скоростью ввода (что означает умножение на нули) и прореживании выходных данных с коэффициентом M. Эквивалентность этого неэффективного метода и описанной выше реализации известна как первое тождество Нобла . ^{[6] [c]} Иногда оно используется при выводе полифазного метода.

Рис. 1: Эти графики отображают спектральные распределения передискретизированной функции и той же функции, дискретизированной с частотой 1/3 от исходной. Полоса пропускания, B, в этом примере достаточно мала, чтобы более медленная дискретизация не вызывала перекрытия (наложения спектров). Иногда дискретизированная функция повторно дискретизируется с более низкой частотой, сохраняя только каждый M- ^й отсчет и отбрасывая остальные, что обычно называется «децимацией». Потенциальное наложение спектров предотвращается фильтрацией нижних частот отсчетов перед децимацией. Максимальная полоса пропускания фильтра приведена в единицах полосы пропускания, используемых в обычных приложениях проектирования фильтров.

Фильтр сглаживания

Пусть X ( f ) будет преобразованием Фурье любой функции x ( t ), выборки которой на некотором интервале T равны последовательности x [ n ]. Тогда дискретное преобразование Фурье (DTFT) является представлением ряда Фурье периодического суммирования X ( f ): ^[d]

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X{\Bigl (}f-{\frac {k}{T}}{\Bigr )}.}$

Когда T имеет единицы секунды, имеет единицы герц . Замена T на MT в приведенных выше формулах дает DTFT прореженной последовательности, x [ нМ ]: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\cdot MT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fn(MT)}={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {k}{MT}}\right).}$

Периодическое суммирование было уменьшено по амплитуде и периодичности в M раз . Пример обоих этих распределений изображен на двух трассах на рис. 1. ^{[e] [f] [g]} Наложение спектров происходит, когда соседние копии X ( f ) перекрываются. Цель фильтра сглаживания — гарантировать, что уменьшенная периодичность не создаст наложения спектров. Условие, гарантирующее, что копии X ( f ) не перекрываются друг с другом, таково: так что это максимальная частота среза идеального фильтра сглаживания. ^[A] ${\displaystyle B<{\tfrac {0.5}{T}}\cdot {\tfrac {1}{M}},}$

Рациональным фактором

Пусть M/L обозначает коэффициент децимации, ^[B], где: M, L ∈ ; M > L. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

1. Увеличить (передискретизировать) последовательность в L раз . Это называется повышением частоты дискретизации или интерполяцией .
2. Прореживать в М раз

Шаг 1 требует фильтра нижних частот после увеличения ( расширения ) скорости передачи данных, а шаг 2 требует фильтра нижних частот перед прореживанием. Таким образом, обе операции могут быть выполнены одним фильтром с более низкой из двух частот среза. Для случая M  >  L срез фильтра сглаживания,  циклов на промежуточный образец , является более низкой частотой. ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{M}}}$

Смотрите также

• Апсемплинг
• Постеризация
• Преобразование частоты дискретизации
• Алиасинг
• Алгоритм Висвалингама – Уятта

Примечания

1. Реализуемые фильтры нижних частот имеют "юбку", где отклик уменьшается от почти единицы до почти нуля. На практике частота среза располагается достаточно далеко ниже теоретической среза, чтобы юбка фильтра находилась ниже теоретической среза.
2. Общие методы преобразования частоты дискретизации с помощью фактора R ∈ включают полиномиальную интерполяцию и структуру Фарроу. ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Ссылки на страницы

1. Харрис 2004. "6.1". стр. 128.
2. Крошьер и Рабинер "2". стр. 32. уравнение 2.55a.
3. Харрис 2004. "2.2.1". стр. 25.
4. Оппенгейм и Шефер. "4.2". стр. 143. уравнение 4.6, где :     и   ${\displaystyle \Omega \triangleq 2\pi f,}$  ${\displaystyle X_{s}(i\Omega )\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Omega nT},}$ ${\displaystyle X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).}$
5. Харрис 2004. "2.2". стр. 22. рис. 2.10.
6. Оппенгейм и Шефер. «4.6». стр. 171. рис. 4.22.
7. Тан 2008. "1.2.1". рис. 12.2.

Ссылки

1. Оппенгейм, Алан В .; Шефер, Рональд В.; Бак, Джон Р. (1999). "4". Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.). Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall. стр. 168. ISBN 0-13-754920-2.
2. Тан, Ли (2008-04-21). "Upsampling and downsampling". eetimes.com . EE Times . Получено 2017-04-10 . Процесс уменьшения частоты дискретизации на целый множитель называется downsampling последовательности данных. Мы также называем downsampling прореживанием . Термин прореживание, используемый для процесса downsampling, был принят и используется во многих учебниках и областях.
3. Crochiere, RE; Rabiner, LR (1983). "2". Многоскоростная цифровая обработка сигналов. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. стр. 32. ISBN 0136051626.
4. Poularikas, Alexander D. (сентябрь 1998). Справочник формул и таблиц для обработки сигналов (1-е изд.). CRC Press. стр. 42–48. ISBN 0849385792.
5. Харрис, Фредерик Дж. (2004-05-24). "2.2". Многоскоростная обработка сигналов для систем связи . Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall PTR. стр. 20–21. ISBN 0131465112. Процесс понижения частоты дискретизации можно визуализировать как двухшаговую прогрессию. Процесс начинается с входного ряда x(n), который обрабатывается фильтром h(n) для получения выходной последовательности y(n) с уменьшенной полосой пропускания. Затем частота дискретизации выходной последовательности уменьшается Q-to-1 до частоты, соизмеримой с уменьшенной полосой пропускания сигнала. В действительности процессы уменьшения полосы пропускания и уменьшения частоты дискретизации объединены в один процесс, называемый многоскоростным фильтром.
6. Стрэнг, Гилберт ; Нгуен, Труонг (1996-10-01). Вейвлеты и банки фильтров (2-е изд.). Уэллсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press. стр. 100–101. ISBN 0961408871. Ни один здравомыслящий инженер не станет этого делать.
7. Милич, Лиляна (2009). Многоскоростная фильтрация для цифровой обработки сигналов . Нью-Йорк: Херши. п. 192. ИСБН 978-1-60566-178-0. Как правило, этот подход применим, когда отношение Fy/Fx является рациональным или иррациональным числом и подходит как для увеличения частоты дискретизации, так и для уменьшения частоты дискретизации.

Дальнейшее чтение

• Прокис, Джон Г. (2000). Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.). Индия: Prentice-Hall. ISBN 8120311299.
• Lyons, Richard (2001). Понимание цифровой обработки сигналов . Prentice Hall. стр. 304. ISBN 0-201-63467-8Уменьшение частоты дискретизации называется прореживанием.
• Антониу, Андреас (2006). Цифровая обработка сигналов . McGraw-Hill. стр. 830. ISBN 0-07-145424-1. Дециматоры можно использовать для уменьшения частоты дискретизации, тогда как интерполяторы можно использовать для ее увеличения.
• Милич, Лиляна (2009). Многоскоростная фильтрация для цифровой обработки сигналов . Нью-Йорк: Херши. п. 35. ISBN 978-1-60566-178-0. Системы преобразования частоты дискретизации используются для изменения частоты дискретизации сигнала. Процесс уменьшения частоты дискретизации называется прореживанием, а процесс увеличения частоты дискретизации называется интерполяцией.
• T. Schilcher. RF applications in digital signal processing//" Digital signal processing". Труды, CERN Accelerator School, Sigtuna, Sweden, 31 мая - 9 июня 2007 г. - Женева, Швейцария: CERN (2008). - С. 258. - DOI: 10.5170/CERN-2008-003. [1]
• Слюсар И.И., Слюсар В.И., Волошко С.В., Смоляр В.Г. Оптический доступ нового поколения на основе N-OFDM с прореживанием.// Третья международная научно-практическая конференция «Проблемы инфокоммуникаций. Наука и технологии (PIC S&T'2016)». – Харьков. – 3–6 октября 2016 г. [2]
• Саска Линдфорс, Аарно Парсинен, Кари А.И. Халонен. 3-В 230-МГц КМОП-подсэмплер с децимацией.// Транзакции IEEE в схемах и системах. Том. 52, № 2, февраль 2005. – С. 110.