Устойчивость направления

Направленная устойчивость — это устойчивость движущегося тела или транспортного средства относительно оси, перпендикулярной направлению его движения. Устойчивость транспортного средства связана с тенденцией транспортного средства возвращаться в исходное направление по отношению к встречной среде (воде, воздуху, дорожному покрытию и т. д.) при возмущении (повороте) от этого исходного направления. Если транспортное средство направленно устойчиво, создается восстанавливающий момент , который направлен в направлении, противоположном вращательному возмущению. Это «толкает» транспортное средство (во вращении) так, чтобы вернуть его в исходную ориентацию, таким образом стремясь сохранить ориентацию транспортного средства в исходном направлении.

Устойчивость направления движения часто называют «флюгером», поскольку устойчивое по направлению движение транспортного средства, свободно вращающееся вокруг своего центра масс, похоже на флюгер, вращающийся вокруг своей (вертикальной) оси.

За исключением космических кораблей, транспортные средства, как правило, имеют узнаваемые переднюю и заднюю части и спроектированы так, что передняя часть направлена ​​более или менее в направлении движения. Без этой устойчивости они могут переворачиваться, вращаться или ориентироваться под большим углом атаки , даже боком к направлению движения. При больших углах атаки силы сопротивления могут стать чрезмерными, транспортное средство может стать неуправляемым или даже может произойти разрушение конструкции. В целом, наземные, морские, воздушные и подводные транспортные средства спроектированы так, чтобы иметь естественную тенденцию указывать в направлении движения.

Пример: дорожное транспортное средство

Стрелы, дротики, ракеты и дирижабли имеют хвостовые поверхности (плавники или перья) для достижения курсовой устойчивости; самолет использует свой вертикальный стабилизатор для той же цели. Дорожное транспортное средство не имеет элементов, специально предназначенных для поддержания устойчивости, а полагается в первую очередь на распределение массы .

Введение

Эти положения лучше всего проиллюстрировать на примере. Первым этапом изучения устойчивости дорожного транспортного средства является вывод разумного приближения к уравнениям движения.

На схеме изображено четырехколесное транспортное средство, в котором передняя ось расположена на расстоянии впереди центра тяжести , а задняя ось — на расстоянии сзади от центра тяжести. Кузов автомобиля направлен в направлении (тета), в то время как он движется в направлении (пси). В общем, это не одно и то же. Протекторы шин находятся в области точки контакта в направлении движения, но ступицы выровнены с кузовом транспортного средства, а рулевое управление удерживается по центру. Шины деформируются при вращении, чтобы компенсировать это несоосность, и, как следствие, создают боковые силы. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \psi }$

Чистая боковая сила Y, действующая на транспортное средство, представляет собой центростремительную силу, заставляющую транспортное средство изменять направление движения:

${\displaystyle MV{\frac {d\psi }{dt}}=Y\,\cos(\theta -\psi )}$

где M — масса транспортного средства , а V — скорость. Все углы предполагаются малыми, поэтому уравнение боковой силы имеет вид:

${\displaystyle MV{\frac {d\psi }{dt}}=Y}$

Вращение тела под действием момента рыскания N регулируется следующим образом:

${\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=N}$

где I — момент инерции в рыскании. Силы и моменты, представляющие интерес, возникают из-за деформации шин. Угол между направлением качения протектора и ступицей называется углом скольжения . Это немного неправильное название, потому что шина в целом на самом деле не скользит, часть области, контактирующей с дорогой, прилипает, а часть области скользит. Мы предполагаем, что сила шины прямо пропорциональна углу скольжения ( ). Она состоит из скольжения транспортного средства в целом, измененного угловой скоростью кузова. Для передней оси: ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (front)=\theta -\psi -{\frac {a}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

в то время как для задней оси:

${\displaystyle \phi (rear)=\theta -\psi +{\frac {b}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

Пусть коэффициент пропорциональности равен k. Следовательно, боковая сила равна:

${\displaystyle Y=2k(\phi (front)+\phi (rear))=4k(\theta -\psi )+2k{\frac {(b-a)}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

Настал момент:

${\displaystyle N=2k(a\phi (front)-b\phi (rear))=2k(a-b)(\theta -\psi )-2k{\frac {(a^{2}+b^{2})}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

Обозначая угловую скорость , уравнения движения имеют вид: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dt}}=2k{\frac {(a-b)}{I}}(\theta -\psi )-2k{\frac {(a^{2}+b^{2})}{VI}}\omega }$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=\omega }$

${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}={\frac {4k}{MV}}(\theta -\psi )+2k{\frac {(b-a)}{MV^{2}}}\omega }$

Пусть (бета) — угол увода для транспортного средства в целом: ${\displaystyle \theta -\psi =\beta }$

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dt}}=2k{\frac {(a-b)}{I}}\beta -2k{\frac {(a^{2}+b^{2})}{VI}}\omega }$

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}=-{\frac {4k}{MV}}\beta +(1-2k{\frac {(b-a)}{MV^{2}}})\omega }$

Исключение дает следующее уравнение : ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+({\frac {4k}{MV}}+{\frac {2k(a^{2}+b^{2})}{VI}}){\frac {d\beta }{dt}}+({\frac {4k^{2}(a+b)^{2}}{MV^{2}I}}+{\frac {2k(b-a)}{I}})\beta =0}$

Это называется линейным однородным уравнением второго порядка, и его свойства составляют основу большей части теории управления .

Анализ устойчивости

Нам не нужно решать уравнение движения явно, чтобы определить, расходится ли решение бесконечно или сходится к нулю после начального возмущения. Форма решения зависит от знаков коэффициентов.

Коэффициент будем называть « демпфированием » по аналогии с массо-пружинным амортизатором, имеющим похожее уравнение движения. ${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}}$

По той же аналогии коэффициент будем называть «жесткостью», поскольку его функция заключается в возвращении системы к нулевому прогибу, подобно пружине. ${\displaystyle \beta }$

Вид решения зависит только от знаков членов затухания и жесткости. Четыре возможных типа решения представлены на рисунке.

Единственное удовлетворительное решение требует, чтобы и жесткость, и демпфирование были положительными.

Коэффициент затухания:

${\displaystyle ({\frac {4k}{MV}}+{\frac {2k(a^{2}+b^{2})}{VI}})}$

Коэффициент скольжения шины k положителен, как и масса, момент инерции и скорость, поэтому демпфирование положительно, и направленное движение должно быть динамически устойчивым.

Термин жесткости:

${\displaystyle ({\frac {4k^{2}(a+b)^{2}}{MIV^{2}}}+{\frac {2k(b-a)}{I}})}$

Если центр тяжести находится впереди центра колесной базы ( ) , этот показатель всегда будет положительным, и транспортное средство будет устойчивым на всех скоростях. Однако, если он находится дальше сзади, этот показатель может стать отрицательным при превышении скорости, определяемой по формуле: ${\displaystyle (b>a)}$

${\displaystyle V^{2}={\frac {2k(a+b)^{2}}{M(a-b)}}}$

Выше этой скорости транспортное средство будет неустойчиво в движении .

Относительное влияние передних и задних шин

Если по какой-то причине (неправильное давление воздуха, изношенный протектор) шины на одной оси не способны создавать значительную боковую силу, это, очевидно, повлияет на устойчивость.

Предположим для начала, что задние шины неисправны, как это влияет на устойчивость? Если задние шины не создают значительных сил, боковая сила и момент рыскания становятся:

${\displaystyle Y=2k(\phi (front))=2k(\theta -\psi )-2k{\frac {a}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

${\displaystyle N=2k(a\phi (front))=2ka(\theta -\psi )-2k{\frac {a^{2}}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

Уравнение движения принимает вид:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+({\frac {2k}{MV}}+{\frac {2ka^{2}}{VI}}){\frac {d\beta }{dt}}-({\frac {2ka}{I}})\beta =0}$

Коэффициент отрицательный, поэтому транспортное средство будет неустойчивым. ${\displaystyle \beta }$

Теперь рассмотрим эффект неисправных шин спереди. Боковая сила и момент рыскания становятся:

${\displaystyle Y=2k(\phi (rear))=2k(\theta -\psi )+2k{\frac {b}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

${\displaystyle N=-2k(b\phi (rear))=-2kb(\theta -\psi )-2k{\frac {b^{2}}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}}$

Уравнение движения принимает вид:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+({\frac {2k}{MV}}+{\frac {2kb^{2}}{VI}}){\frac {d\beta }{dt}}+({\frac {2kb}{I}})\beta =0}$

Коэффициент положительный, поэтому транспортное средство будет устойчивым, но неуправляемым. ${\displaystyle \beta }$

Из этого следует, что состояние задних шин более критично для курсовой устойчивости, чем состояние передних шин. Кроме того, блокировка задних колес путем применения ручного тормоза делает автомобиль неустойчивым в направлении движения, вызывая его вращение. Поскольку автомобиль не контролируется во время вращения, «поворот с ручным тормозом » обычно является незаконным на дорогах общего пользования.

Рулевые силы

Отклонение рулевого управления изменяет угол скольжения передних шин, создавая боковую силу. При обычном рулевом управлении шины отклоняются на разную величину, но для целей этого анализа дополнительное скольжение будет считаться равным для обеих передних шин.

Боковая сила становится:

${\displaystyle Y=2k(\phi (front)+\phi (rear))=4k(\theta -\psi )+2k{\frac {(b-a)}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}+2k\eta }$

где (eta) — отклонение руля. Аналогично, момент рыскания становится: ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle N=2k(a\phi (front)-b\phi (rear))=2k(a-b)(\theta -\psi )-2k{\frac {(a^{2}+b^{2})}{V}}{\frac {d\theta }{dt}}+2ka\eta }$

Включение термина «рулевое управление» вводит вынужденную реакцию:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+({\frac {4k}{MV}}+{\frac {2k(a^{2}+b^{2})}{VI}}){\frac {d\beta }{dt}}+({\frac {4k^{2}(a+b)^{2}}{MV^{2}I}}+{\frac {2k(b-a)}{I}})\beta =-{\frac {2k}{MV}}{\frac {d\eta }{dt}}+({\frac {2ka}{I}}-{\frac {4k^{2}b(a+b)}{IMV^{2}}})\eta }$

Стационарный ответ имеет место, когда все производные по времени установлены на ноль. Устойчивость требует, чтобы коэффициент был положительным, поэтому знак ответа определяется коэффициентом : ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle ({\frac {2ka}{I}}-{\frac {4k^{2}b(a+b)}{IMV^{2}}})}$

Это функция скорости. Когда скорость низкая, скольжение отрицательное и кузов направлен из угла ( недостаточная поворачиваемость ). На скорости, заданной как:

${\displaystyle V^{2}={\frac {2kb(a+b)}{Ma}}}$

Тело направлено в сторону движения. Выше этой скорости тело направлено в сторону поворота ( избыточная поворачиваемость ).

В качестве примера:

при k=10 кН/радиан, M=1000 кг, b=1,0 м, a=1,0 м автомобиль испытывает недостаточную поворачиваемость при скорости ниже 11,3 миль/ч.

Очевидно, что смещение центра тяжести вперед увеличивает эту скорость, что приводит к возникновению у автомобиля тенденции к недостаточной поворачиваемости .

Примечание: Установка тяжелого, мощного двигателя в легком серийном автомобиле, разработанном вокруг небольшого двигателя, увеличивает как его курсовую устойчивость, так и его склонность к недостаточной поворачиваемости. Результатом является перегруженный автомобиль с плохой проходимостью.

Еще хуже обстоит дело с установкой силового агрегата увеличенного размера в серийный автомобиль с задним расположением двигателя без соответствующей модификации подвески или распределения массы, поскольку в результате автомобиль станет неустойчивым на высокой скорости.

Ограничения анализа

Силы, возникающие при скольжении, зависят от нагрузки на шину, а также от угла скольжения; этот эффект игнорировался, но его можно было бы учесть, предположив разные значения k для передней и задней осей. Движение качения из-за поворота перераспределит нагрузку на шины между ближней и дальней стороной транспортного средства, снова изменяя силы на шинах. Крутящий момент двигателя также перераспределяет нагрузку между передними и задними шинами.

Полный анализ должен также учитывать реакцию подвески .

Полный анализ необходим для проектирования высокопроизводительных дорожных транспортных средств, но выходит за рамки данной статьи.

Авиация

Фюзеляж за центром тяжести (ЦТ) и хвостовой киль способствуют путевой устойчивости.

Направленная устойчивость относительно вертикальной оси самолета также называется рысканием . Это достигается в первую очередь за счет площади вертикального стабилизатора и сторон фюзеляжа позади центра тяжести. Когда самолет летит по прямой и сталкивается с боковым порывом ветра, левое/правое рыскание будет остановлено воздухом, ударяющимся в правую/левую сторону вертикального стабилизатора. ^[1]

Смотрите также

• Расслабленная стабильность
• Управление автомобилем
• Динамика полета
• голландский рулет
• Продольная устойчивость
• Охотничьи колебания

Ссылки

• Барвелл Ф.Т.: Автоматизация и управление на транспорте, Pergamon Press, 1972.
• Синг Дж. Л. и Б. А. Гриффитс: Принципы механики, раздел 6.3, McGraw-Hill Kogakusha Ltd, 3-е издание, 1970.

1. «Справочник пилота по аэронавигационным знаниям». Федеральное управление гражданской авиации . 24 августа 2016 г. стр. 5–19 . Получено 16 января 2023 г.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Направленная устойчивость на Wikimedia Commons