В науке e -folding — это временной интервал, в течение которого экспоненциально растущая величина увеличивается в e- раз ; [1] это аналог удвоения времени по основанию e . Этот термин часто используется во многих областях науки , таких как химия атмосферы , медицина и теоретическая физика , особенно при исследовании космической инфляции . Физики и химики часто говорят о шкале времени e -folding , которая определяется собственным временем, в течение которого длина участка пространства или пространства-времени увеличивается в e -раз, упомянутом выше.
В финансах логарифмическая доходность или непрерывно начисляемая доходность , также известная как сила процентов , является величиной, обратной времени сложения .
Термин «время складывания e» также иногда используется аналогичным образом в случае экспоненциального распада для обозначения шкалы времени, в течение которой величина уменьшается до 1/ e от своего предыдущего значения.
Процесс перехода к равновесию часто характеризуется временной шкалой, называемой временем e -свертки, τ . Это время используется для процессов, которые экспоненциально развиваются к конечному состоянию (равновесию). Другими словами, если мы рассмотрим наблюдаемую величину X , связанную с системой ( например, температуру или плотность ), то через некоторое время τ начальная разница между начальным значением наблюдаемой величины и равновесным значением Δ X i уменьшится до Δ X i / e , где число e ≈ 2,71828 .
Концепция времени e -фолдинга может быть использована в анализе кинетики . Рассмотрим химический вид A, который распадается на другой химический вид B. Мы могли бы изобразить это в виде уравнения:
Предположим, что эта реакция следует кинетике первого порядка, что означает, что превращение A в B зависит только от концентрации A и константы скорости , которая определяет скорость, с которой это происходит, k . Мы могли бы написать следующую реакцию, чтобы описать этот кинетический процесс первого порядка:
Это обыкновенное дифференциальное уравнение утверждает, что изменение (в данном случае исчезновение) концентрации A, d [A]/ dt , равно константе скорости k, умноженной на концентрацию A. Рассмотрим, какими будут единицы k . С левой стороны у нас есть концентрация, деленная на единицу времени. Единицы для k должны позволять им быть воспроизведенными с правой стороны. По этой причине единицы k здесь будут 1/время.
Поскольку это линейное , однородное и разделимое дифференциальное уравнение, мы можем разделить члены таким образом, что уравнение примет вид:
Затем мы можем интегрировать обе части этого уравнения, что приводит к включению константы e :
где [A] f и [A] i — конечная и начальная концентрации A. Сравнивая соотношение в левой части с уравнением в правой части, мы приходим к выводу, что соотношение между конечной и начальной концентрациями следует экспоненциальной функции, основанием которой является e .
Как упоминалось выше, единицами для k являются обратное время. Если бы мы взяли обратную величину этого, у нас остались бы единицы времени. По этой причине мы часто заявляем, что продолжительность жизни вида, который подвергается распаду первого порядка, равна обратной величине k . Теперь рассмотрим, что произойдет, если мы установим время t как обратную величину константы скорости k , то есть t = 1/ k . Это даст
Это говорит о том, что после одного времени жизни (1/ k ) отношение конечной концентрации к начальной равно примерно 0,37. Другими словами, после одного времени жизни мы имеем
что означает, что мы потеряли (1 − 0,37 = 0,63) 63% A, и осталось только 37%. Теперь мы знаем, что если у нас прошла 1 жизнь, мы прошли 1 "e-folding". Как будут выглядеть 2 "e-folding"? После двух жизней у нас будет t = 1/ k + 1/ k = 2/ k , что приведет к
что говорит о том, что осталось только около 14% A. Именно таким образом e -сворачивание дает нам простой способ описания количества прошедших жизней. После 1 жизни у нас остается 1/ e . После 2 жизней у нас остается 1/ e 2. Таким образом, одно время жизни равно одному e -сворачиванию, что является наиболее наглядным способом описания распада.