Метод Гаусса

Способ определения предварительной орбиты по начальным наблюдениям в астрономии

В орбитальной механике (подраздел небесной механики ) метод Гаусса используется для предварительного определения орбиты по меньшей мере из трех наблюдений (большее количество наблюдений увеличивает точность определяемой орбиты) интересующего нас тела, движущегося по орбите, в три различных момента времени. Необходимая информация — это время наблюдений, радиус-векторы точек наблюдения (в экваториальной системе координат ), вектор направляющего косинуса тела, движущегося по орбите из точек наблюдения (из топоцентрической экваториальной системы координат) и общие физические данные.

Работая в 1801 году, Карл Фридрих Гаусс разработал важные математические методы (обобщенные в методах Гаусса), которые были специально использованы для определения орбиты Цереры . Метод, показанный ниже, представляет собой определение орбиты вращающегося вокруг фокального тела тела, из которого были сделаны наблюдения, тогда как метод определения орбиты Цереры требует немного больше усилий, поскольку наблюдения были сделаны с Земли , в то время как Церера вращается вокруг Солнца .

Вектор положения наблюдателя

Вектор положения наблюдателя (в экваториальной системе координат ) точек наблюдения можно определить по широте и местному звездному времени (из топоцентрической системы координат ) на поверхности фокального тела вращающегося тела (например, Земли) одним из следующих способов:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R_{n}} &=\left[{R_{e} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n}}}}+H_{n}\right]\cos \phi _{n}(\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J}} )+\left[{R_{e}(1-f)^{2} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n}}}}+H_{n}\right]\sin \phi _{n}\ \mathbf {\hat {K}} \\&=\left[{R_{e} \over {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi _{n}}}}+H_{n}\right]\cos \phi _{n}(\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J}} )+\left[{R_{e}(1-e^{2}) \over {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi _{n}}}}+H_{n}\right]\sin \phi _{n}\ \mathbf {\hat {K}} \end{aligned}}}$$или где, $${\displaystyle \mathbf {R_{n}} =r_{e}\cos \phi '_{n}\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +r_{e}\cos \phi '_{n}\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J}} +r_{e}\sin \phi '_{n}\ \mathbf {\hat {K}} }$$

• ${\displaystyle \mathbf {R_{n}} }$— вектор положения соответствующего наблюдателя (в экваториальной системе координат)
• ${\displaystyle R_{e}}$экваториальный радиус центрального тела (например, 6378 км для Земли)
• ${\displaystyle r_{e}}$геоцентрическое расстояние
• ${\displaystyle f}$сплющенность (или уплощенность ) центрального тела (например, 0,003353 для Земли)
• ${\displaystyle e}$эксцентриситет центрального тела (например, 0,081819 для Земли)
• ${\displaystyle \phi _{n}}$геодезическая широта (угол между нормалью горизонтальной плоскости и экваториальной плоскостью)
• ${\displaystyle \phi '_{n}}$геоцентрическая широта (угол между радиусом и экваториальной плоскостью)
• ${\displaystyle H_{n}}$это геодезическая высота
• ${\displaystyle \theta _{n}}$местное звездное время места наблюдения

Вектор косинуса направления вращающегося тела

Прямое восхождение (синий) и склонение (зеленый), наблюдаемые из-за пределов небесной сферы.

Вектор косинуса направления движения тела по орбите можно определить из прямого восхождения и склонения (из топоцентрической экваториальной системы координат) тела по орбите из точек наблюдения с помощью:

$${\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} =\cos \delta _{n}\cos \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\cos \delta _{n}\sin \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {J}} +\sin \delta _{n}\ \mathbf {\hat {K}} }$$где,

• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }$— соответствующий единичный вектор в направлении радиус-вектора (от точки наблюдения до движущегося по орбите тела в топоцентрической экваториальной системе координат) ${\displaystyle \rho }$
• ${\displaystyle \delta _{n}}$это соответствующее склонение
• ${\displaystyle \alpha _{n}}$является соответствующим прямым восхождением

Алгоритм

Первоначальный вывод начинается с векторного сложения для определения вектора положения тела, движущегося по орбите. Затем на основе сохранения углового момента и принципов орбиты Кеплера (которые утверждают, что орбита лежит в двумерной плоскости в трехмерном пространстве) устанавливается линейная комбинация указанных векторов положения. Также используется связь между положением тела и вектором скорости с помощью коэффициентов Лагранжа , что приводит к использованию указанных коэффициентов. Затем с помощью векторной манипуляции и алгебры были выведены следующие уравнения. Для подробного вывода обратитесь к Кертису. ^[1]

ПРИМЕЧАНИЕ: Метод Гаусса — это предварительное определение орбиты, с акцентом на предварительном. Аппроксимация коэффициентов Лагранжа и ограничения требуемых условий наблюдения (т. е. незначительная кривизна дуги между наблюдениями, см. Gronchi ^[2] для получения более подробной информации) вызывают неточности. Однако метод Гаусса можно улучшить, увеличив точность подкомпонентов, например, решив уравнение Кеплера . Другой способ повысить точность — провести больше наблюдений.

Шаг 1

Рассчитайте временные интервалы, вычтите время между наблюдениями: где $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{1}&=t_{1}-t_{2}\\\tau _{3}&=t_{3}-t_{2}\\\tau &=t_{3}-t_{1}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \tau _{n}}$это временной интервал
• ${\displaystyle t_{n}}$соответствующее время наблюдения

Шаг 2

Векторные произведения относительно правосторонней системы координат

Рассчитайте перекрестные произведения, возьмите перекрестные произведения направления наблюдаемой единицы (порядок имеет значение): где $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p_{1}} &=\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{3}} \\\mathbf {p_{2}} &=\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{3}} \\\mathbf {p_{3}} &=\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$это перекрестное произведение векторов ${\displaystyle \mathbf {a} {\text{ and }}\mathbf {b} }$
• ${\displaystyle \mathbf {p_{n}} }$— это соответствующий вектор перекрестного произведения
• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }$— соответствующий единичный вектор

Шаг 3

Три вектора, определяющие параллелепипед. Величина тройного произведения, , описывает объем. ${\displaystyle |\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$

Вычислить общую скалярную величину (скалярное тройное произведение), взять скалярное произведение первого единичного вектора наблюдения с векторным произведением второго и третьего единичных векторов наблюдения:

$${\displaystyle D_{0}=\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} =\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \cdot (\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{3}} )}$$где

• ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$это скалярное произведение векторов и ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle D_{0}}$является общим скалярным тройным произведением
• ${\displaystyle \mathbf {p_{n}} }$— это соответствующий вектор перекрестного произведения
• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }$— соответствующий единичный вектор

Шаг 4

Рассчитайте девять скалярных величин (аналогично шагу 3): где $${\displaystyle {\begin{aligned}D_{11}&=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} &D_{12}&=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{2}} &D_{13}&=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{3}} \\D_{21}&=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{1}} &D_{22}&=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{2}} &D_{23}&=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{3}} \\D_{31}&=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{1}} &D_{32}&=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{2}} &D_{33}&=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{3}} \end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle D_{mn}}$это соответствующие скалярные величины
• ${\displaystyle \mathbf {R_{m}} }$— это вектор положения соответствующего наблюдателя
• ${\displaystyle \mathbf {p_{n}} }$— это соответствующий вектор перекрестного произведения

Шаг 5

Рассчитайте скалярные коэффициенты положения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{D_{0}}}\left(-D_{12}{\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{22}+D_{32}{\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right)\\B&={\frac {1}{6D_{0}}}\left[D_{12}\left(\tau _{3}^{2}-\tau ^{2}\right){\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{32}\left(\tau ^{2}-\tau _{1}^{2}\right){\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right]\\E&=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \end{aligned}}}$$где

• ${\displaystyle A}$, , и являются скалярными позиционными коэффициентами ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle D_{0}}$является общей скалярной величиной
• ${\displaystyle D_{mn}}$это соответствующие скалярные величины
• ${\displaystyle \tau _{n}}$это временной интервал
• ${\displaystyle R_{n}}$— это вектор положения соответствующего наблюдателя
• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }$— соответствующий единичный вектор

Шаг 6

Рассчитайте квадрат скалярного расстояния второго наблюдения, взяв скалярное произведение вектора положения второго наблюдения: где $${\displaystyle {R_{2}}^{2}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {R_{2}} }$$

• ${\displaystyle {R_{2}}^{2}}$это квадрат расстояния второго наблюдения
• ${\displaystyle \mathbf {R_{2}} }$— радиус-вектор второго наблюдения

Шаг 7

Рассчитайте коэффициенты скалярного полинома расстояния для второго наблюдения орбитального тела: где $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=-\left(A^{2}+2AE+{R_{2}}^{2}\right)\\b&=-2\mu B(A+E)\\c&=-\mu ^{2}B^{2}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle a{\text{, }}b{\text{, and }}c}$являются коэффициентами скалярного полинома расстояния для второго наблюдения орбитального тела
• ${\displaystyle A{\text{, }}B{\text{, and }}E}$являются скалярными позиционными коэффициентами
• ${\displaystyle \mu }$гравитационный параметр фокального тела вращающегося тела

Шаг 8

Найдите корень скалярного полинома расстояния для второго наблюдения орбитального тела: где $${\displaystyle {r_{2}}^{8}+a{r_{2}}^{6}+b{r_{2}}^{3}+c=0}$$

• ${\displaystyle r_{2}}$скалярное расстояние для второго наблюдения орбитального тела (оно и его вектор r ₂ находятся в экваториальной системе координат)
• ${\displaystyle a{\text{, }}b{\text{, and }}c}$являются коэффициентами, как указано ранее

Для нахождения корня можно использовать различные методы, предлагаемый метод — метод Ньютона–Рафсона . Корень должен быть физически возможным (т. е. не отрицательным и не комплексным), и если подходят несколько корней, каждый из них должен быть оценен и сравнен с любыми доступными данными для подтверждения их достоверности.

Шаг 9

Рассчитайте наклонную дальность , расстояние от точки наблюдения до движущегося по орбите тела в соответствующее время: где $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{1}&={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{31}{\dfrac {\tau _{1}}{\tau _{3}}}+D_{21}{\dfrac {\tau }{\tau _{3}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{31}\left(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{1}}{\tau _{3}}}}{6{r_{2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right)}}-D_{11}\right]\\\rho _{2}&=A+{\frac {\mu B}{{r_{2}}^{3}}}\\\rho _{3}&={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{13}{\dfrac {\tau _{3}}{\tau _{1}}}-D_{23}{\dfrac {\tau }{\tau _{1}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{13}\left(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{3}}{\tau _{1}}}}{6{r_{2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right)}}-D_{33}\right]\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \rho _{n}}$— соответствующая наклонная дальность (она и ее вектор находятся в топоцентрической экваториальной системе координат) ${\displaystyle \mathbf {\rho _{n}} }$
• ${\displaystyle D_{0}}$является общей скалярной величиной
• ${\displaystyle D_{mn}}$это соответствующие скалярные величины
• ${\displaystyle \tau _{(n)}}$это временной интервал.
• ${\displaystyle r_{2}}$скалярное расстояние для второго наблюдения орбитального тела
• ${\displaystyle \mu }$гравитационный параметр фокального тела вращающегося тела

Шаг 10

Рассчитайте векторы положения тела на орбите, добавив вектор положения наблюдателя к вектору направления наклона (который представляет собой наклонное расстояние, умноженное на вектор направления наклона):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r_{1}} &=\mathbf {R_{1}} +\rho _{1}\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \\[1.7ex]\mathbf {r_{2}} &=\mathbf {R_{2}} +\rho _{2}\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \\[1.7ex]\mathbf {r_{3}} &=\mathbf {R_{3}} +\rho _{3}\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{3}} \end{aligned}}}$$где

• ${\displaystyle \mathbf {r_{n}} }$- вектор положения соответствующего орбитального тела (в экваториальной системе координат )
• ${\displaystyle \mathbf {R_{n}} }$— это вектор положения соответствующего наблюдателя
• ${\displaystyle \rho _{n}}$это соответствующий наклонный диапазон
• ${\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }$— соответствующий единичный вектор

Шаг 11

Рассчитаем коэффициенты Лагранжа: где, $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&\approx 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^{2}\\f_{3}&\approx 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^{2}\\g_{1}&\approx \tau _{1}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^{3}\\g_{3}&\approx \tau _{3}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^{3}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle f_{1}}$, , и — коэффициенты Лагранжа (это всего лишь первые два члена выражения ряда, основанного на предположении о малости временного интервала) ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{3}}$
• ${\displaystyle \mu }$гравитационный параметр фокального тела вращающегося тела
• ${\displaystyle r_{2}}$скалярное расстояние для второго наблюдения орбитального тела
• ${\displaystyle \tau _{(n)}}$это временной интервал

Шаг 12

Рассчитаем вектор скорости для второго наблюдения движущегося по орбите тела:

$${\displaystyle \mathbf {v_{2}} ={\frac {1}{f_{1}g_{3}-f_{3}g_{1}}}\left(-f_{3}\mathbf {r_{1}} +f_{1}\mathbf {r_{3}} \right)}$$где

• ${\displaystyle \mathbf {v_{2}} }$вектор скорости для второго наблюдения орбитального тела (в экваториальной системе координат )
• ${\displaystyle f_{1}}$, , и — коэффициенты Лагранжа ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{3}}$
• ${\displaystyle \mathbf {r_{n}} }$- вектор положения соответствующего орбитального тела

Шаг 13

Векторы орбитального состояния теперь найдены, вектор положения ( r ₂ ) и вектор скорости ( v ₂ ) для второго наблюдения орбитального тела. С помощью этих двух векторов можно найти элементы орбиты и определить орбиту.

Смотрите также

• Теорема о вписанном угле и трехточечная форма для эллипсов

Ссылки

1. Кертис, Говард Д. Орбитальная механика для студентов инженерных специальностей . Оксфорд: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005. Печать.
2. Гронки, Джованни Ф.. «Классическое и современное определение орбит астероидов». Труды Международного астрономического союза 2004.IAUC196 (2004): 1-11. Печать.

• Дер, Джим Дж. «Новые алгоритмы определения начальной орбиты только по углам». Конференция по передовым технологиям оптического и космического наблюдения в Мауи. (2012). Печать.