Упругая энергия

Form of energy

Упругая энергия — это механическая потенциальная энергия, хранящаяся в конфигурации материала или физической системы, поскольку она подвергается упругой деформации за счет работы, выполненной над ней. Упругая энергия возникает, когда объекты непостоянно сжимаются, растягиваются или вообще деформируются любым способом. Теория упругости в первую очередь разрабатывает формализмы для механики твердых тел и материалов. ^[1] (Однако следует отметить, что работа, выполняемая растянутой резиновой лентой, не является примером упругой энергии. Это пример энтропийной упругости .) Уравнение упругой потенциальной энергии используется при расчетах положений механического равновесия . Энергия является потенциальной, поскольку она будет преобразована в другие формы энергии, такие как кинетическая энергия и звуковая энергия , когда объекту позволяют вернуться к своей первоначальной форме (реформации) за счет его упругости .

$${\displaystyle U={\frac {1}{2}}k\,\Delta x^{2}}$$

Суть упругости — обратимость. Силы, приложенные к упругому материалу, передают энергию в материал, который, отдавая эту энергию окружающей среде, может восстановить свою первоначальную форму. Однако все материалы имеют пределы степени деформации, которую они могут выдержать без разрушения или необратимого изменения своей внутренней структуры. Следовательно, характеристики твердых материалов включают спецификацию, обычно в терминах деформаций, его пределов упругости. За пределами предела упругости материал больше не хранит всю энергию от механической работы, выполненной над ним, в форме упругой энергии.

Упругая энергия вещества или внутри него — это статическая энергия конфигурации. Она соответствует энергии, запасенной в основном за счет изменения межатомных расстояний между ядрами. Тепловая энергия — это рандомизированное распределение кинетической энергии внутри материала, приводящее к статистическим колебаниям материала вокруг равновесной конфигурации. Однако существует некоторое взаимодействие. Например, для некоторых твердых объектов скручивание, изгиб и другие искажения могут генерировать тепловую энергию, вызывая повышение температуры материала. Тепловая энергия в твердых телах часто переносится внутренними упругими волнами, называемыми фононами . Упругие волны, которые велики в масштабе изолированного объекта, обычно производят макроскопические колебания. Хотя упругость чаще всего ассоциируется с механикой твердых тел или материалов, даже ранняя литература по классической термодинамике определяет и использует «упругость жидкости» способами, совместимыми с широким определением, приведенным во Введении выше. ^{[2] : 107 и далее.}

Твердые тела включают сложные кристаллические материалы с иногда сложным поведением. Напротив, поведение сжимаемых жидкостей, и особенно газов, демонстрирует суть упругой энергии с незначительным усложнением. Простая термодинамическая формула: где dU - бесконечно малое изменение восстанавливаемой внутренней энергии U , P - равномерное давление (сила на единицу площади), приложенное к исследуемому образцу материала, а dV - бесконечно малое изменение объема, которое соответствует изменению внутренней энергии. Знак минус появляется, потому что dV отрицательно при сжатии положительным приложенным давлением, которое также увеличивает внутреннюю энергию. При обращении вспять работа, выполняемая системой , является отрицательным изменением ее внутренней энергии, соответствующим положительному dV увеличивающегося объема. Другими словами, система теряет запасенную внутреннюю энергию, выполняя работу над своим окружением. Давление - это напряжение, а объемное изменение соответствует изменению относительного расстояния между точками внутри материала. Соотношение напряжение-деформация-внутренняя энергия в приведенной выше формуле повторяется в формулировках для упругой энергии твердых материалов со сложной кристаллической структурой. ${\displaystyle dU=-P\,dV\ ,}$

Упругая потенциальная энергия в механических системах

Компоненты механических систем сохраняют упругую потенциальную энергию , если они деформируются при приложении к системе сил. Энергия передается объекту посредством работы , когда внешняя сила смещает или деформирует объект. Количество переданной энергии является векторным скалярным произведением силы и смещения объекта. Когда силы прикладываются к системе, они распределяются внутри ее составных частей. Хотя часть переданной энергии может в конечном итоге сохраняться в виде кинетической энергии приобретенной скорости, деформация составных объектов приводит к сохранению упругой энергии.

Прототипическим упругим компонентом является спиральная пружина. Линейная упругая характеристика пружины параметризуется константой пропорциональности, называемой константой пружины. Эта константа обычно обозначается как k (см. также Закон Гука ) и зависит от геометрии, площади поперечного сечения, недеформированной длины и природы материала, из которого изготовлена ​​спираль. В пределах определенного диапазона деформации k остается постоянным и определяется как отрицательное отношение смещения к величине восстанавливающей силы, создаваемой пружиной при этом смещении.

$${\displaystyle k=-{\frac {F_{r}}{L-L_{o}}}}$$

Деформированная длина L может быть больше или меньше L _o , недеформированной длины, поэтому для сохранения k положительным, F _r должен быть задан как векторный компонент восстанавливающей силы, знак которого отрицателен для L > L _o и положителен для L < L _o . Если смещение сокращено как , то закон Гука можно записать в обычной форме $${\displaystyle L-L_{o}=x,}$$ $${\displaystyle F_{r}=-k\,x.}$$

Энергию, поглощенную и удерживаемую в пружине, можно вывести с помощью закона Гука, чтобы вычислить восстанавливающую силу как меру приложенной силы. Это требует предположения, достаточно корректного в большинстве случаев, что в данный момент величина приложенной силы.

Для каждого бесконечно малого смещения dx приложенная сила просто kx , а произведение этих сил — бесконечно малая передача энергии в пружину dU . Таким образом, полная упругая энергия, помещенная в пружину от нулевого смещения до конечной длины L, является интегралом $${\displaystyle U=\int _{0}^{L-L_{o}}k\,x\,dx={\tfrac {1}{2}}k(L-L_{o})^{2}}$$

Для материала с модулем Юнга Y (то же самое, что и модуль упругости λ ), площадью поперечного сечения A ₀ , начальной длиной l ₀ , который растягивается на длину: где U e _— упругая потенциальная энергия. ${\displaystyle \Delta l}$ $${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {YA_{0}\Delta l}{l_{0}}}\,d\left(\Delta l\right)={\frac {YA_{0}{\Delta l}^{2}}{2l_{0}}}}$$

Упругая потенциальная энергия на единицу объема определяется по формуле: где — деформация материала. $${\displaystyle {\frac {U_{e}}{A_{0}l_{0}}}={\frac {Y{\Delta l}^{2}}{2l_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}Y{\varepsilon }^{2}}$$ ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}}$

В общем случае упругая энергия определяется свободной энергией на единицу объема f как функцией компонент тензора деформации ε _ij , где λ и μ — упругие коэффициенты Ламе, и мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании . Отмечая термодинамическую связь между компонентами тензора напряжений и компонентами тензора деформации, ^[1] где индекс T обозначает, что температура поддерживается постоянной, мы обнаруживаем, что если закон Гука справедлив, мы можем записать плотность упругой энергии как $${\displaystyle f(\varepsilon _{ij})={\frac {1}{2}}\lambda \varepsilon _{ii}^{2}+\mu \varepsilon _{ij}^{2}}$$ $${\displaystyle \sigma _{ij}=\left({\frac {\partial f}{\partial \varepsilon _{ij}}}\right)_{T},}$$ $${\displaystyle f={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ij}\sigma _{ij}.}$$

Континуальные системы

Материя в объеме может быть искажена многими различными способами: растяжением, сдвигом, изгибом, скручиванием и т. д. Каждый вид искажения вносит вклад в упругую энергию деформированного материала. В ортогональных координатах упругая энергия на единицу объема из-за деформации, таким образом, является суммой вкладов: где - тензор 4-го ранга , называемый упругим тензором или тензором жесткости ^[3], который является обобщением упругих модулей механических систем, а - тензор деформации ( для обозначения суммирования по повторяющимся индексам использовалась нотация суммирования Эйнштейна ). Значения зависят от кристаллической структуры материала: в общем случае из-за симметричной природы и упругий тензор состоит из 21 независимого упругого коэффициента. ^[4] Это число может быть дополнительно уменьшено симметрией материала: 9 для орторомбического кристалла, 5 для гексагональной структуры и 3 для кубической симметрии. ^[5] Наконец, для изотропного материала существует только два независимых параметра, причем , где и — константы Ламе , а — символ Кронекера . $${\displaystyle U={\frac {1}{2}}C_{ijkl}\varepsilon _{ij}\varepsilon _{kl},}$$ ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Сам тензор деформации может быть определен для отражения искажения любым способом, который приводит к инвариантности относительно полного вращения, но наиболее распространенное определение, в соответствии с которым обычно выражаются тензоры упругости, определяет деформацию как симметричную часть градиента смещения со всеми подавленными нелинейными членами: где — смещение в точке в -ом направлении, а — частная производная в -ом направлении. Обратите внимание, что: где не предполагается суммирование. Хотя полная нотация Эйнштейна суммирует по повышенным и пониженным парам индексов, значения компонентов тензора упругости и деформации обычно выражаются со всеми пониженными индексами. Таким образом, будьте осторожны (как здесь), что в некоторых контекстах повторяющийся индекс не подразумевает сумму сверхзначений этого индекса ( в данном случае), а просто один компонент тензора. $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \partial _{j}}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle \varepsilon _{jj}=\partial _{j}u_{j}}$$ ${\displaystyle j}$

Смотрите также

• Часовой механизм
• Эласто-капиллярность
• Эластичность резины

Ссылки

1. Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1986). Теория упругости (3-е изд.). Оксфорд, Англия: Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2633-X.
2. Максвелл, Дж. К. (1888). Питер Песич (ред.). Теория тепла (9-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications Inc. ISBN 0-486-41735-2.
3. Dove, Martin T. (2003). Структура и динамика: атомный взгляд на материалы . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-850677-5. OCLC  50022684.
4. Най, Дж. Ф. (1985). Физические свойства кристаллов: их представление тензорами и матрицами (1-е издание в pbk. с исправлениями, 1985 ред.). Оксфорд [Оксфордшир]: Clarendon Press. ISBN 0-19-851165-5. OCLC  11114089.
5. Mouhat, Félix; Coudert, François-Xavier (2014-12-05). "Необходимые и достаточные условия упругой устойчивости в различных кристаллических системах". Physical Review B. 90 ( 22): 224104. arXiv : 1410.0065 . Bibcode : 2014PhRvB..90v4104M. doi : 10.1103/PhysRevB.90.224104. ISSN  1098-0121. S2CID  54058316.

Источники

• Эшелби, Дж. Д. (ноябрь 1975 г.). «Тензор упругой энергии-импульса». Журнал эластичности . 5 (3–4): 321–335. doi :10.1007/BF00126994. S2CID  121320629.