Эллиптическая орбита

Орбита Кеплера с эксцентриситетом менее единицы

Анимация орбиты по эксцентриситету
  0.0  ·   0,2  ·   0,4  ·   0,6  ·   0,8

Два тела с одинаковой массой, вращающиеся вокруг общего барицентра по эллиптическим орбитам.

Два тела с неравной массой, вращающиеся вокруг общего барицентра по круговым орбитам.

Два тела с существенно разной массой, вращающиеся вокруг общего барицентра по круговым орбитам.

Эллиптическая орбита изображена в правом верхнем квадранте этой диаграммы, где гравитационный потенциальный колодец центральной массы показывает потенциальную энергию, а кинетическая энергия орбитальной скорости показана красным цветом. Высота кинетической энергии уменьшается по мере уменьшения скорости вращающегося тела и увеличения расстояния в соответствии с законами Кеплера.

В астродинамике или небесной механике эллиптическая орбита или эллиптическая орбита — это орбита Кеплера с эксцентриситетом менее 1; сюда входит частный случай круговой орбиты с эксцентриситетом, равным 0. В более строгом смысле это орбита Кеплера с эксцентриситетом больше 0 и меньше 1 (таким образом исключая круговую орбиту). В более широком смысле это орбита Кеплера с отрицательной энергией . Сюда входит радиальная эллиптическая орбита с эксцентриситетом, равным 1. Они часто используются во время различных астродинамических расчетов.

В гравитационной задаче двух тел с отрицательной энергией оба тела следуют по схожим эллиптическим орбитам с одинаковым орбитальным периодом вокруг их общего барицентра . Относительное положение одного тела по отношению к другому также следует эллиптической орбите.

Примерами эллиптических орбит являются переходные орбиты Гомана , орбиты Молнии и орбиты тундры .

Скорость

При стандартных предположениях, не действуют никакие другие силы, кроме двух сферически симметричных тел и , ^[1] орбитальная скорость ( ) одного тела, движущегося по эллиптической орбите, может быть вычислена из уравнения vis-viva следующим образом: ^[2] ${\displaystyle (m_{1})}$ ${\displaystyle (m_{2})}$ ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

где:

• ${\displaystyle \mu \,}$— стандартный гравитационный параметр , часто выражаемый как случай, когда одно тело намного больше другого. ${\displaystyle G(m_{1}+m_{2})}$ ${\displaystyle GM}$
• ${\displaystyle r\,}$— расстояние между движущимся по орбите телом и центром масс.
• ${\displaystyle a\,\!}$— длина большой полуоси .

Уравнение скорости для гиперболической траектории имеет либо , либо то же самое с условием, что в этом случае оно отрицательно. ${\displaystyle (+{1 \over {a}})}$ ${\displaystyle (a)}$

Период обращения

При стандартных предположениях орбитальный период ( ) тела, движущегося по эллиптической орбите, можно вычислить как: ^[3] ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

где:

• ${\displaystyle \mu }$— стандартный гравитационный параметр .
• ${\displaystyle a\,\!}$— длина большой полуоси .

Выводы:

• Орбитальный период равен периоду для круговой орбиты с орбитальным радиусом, равным большой полуоси ( ), ${\displaystyle a\,\!}$
• Для заданной большой полуоси орбитальный период не зависит от эксцентриситета (см. также: Третий закон Кеплера ).

Энергия

При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия ( ) эллиптической орбиты отрицательна и уравнение сохранения орбитальной энергии ( уравнение Vis-viva ) для этой орбиты может иметь вид: ^[4] ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

где:

• ${\displaystyle v\,}$- орбитальная скорость движущегося по орбите тела,
• ${\displaystyle r\,}$- расстояние орбитального тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle a\,}$- длина большой полуоси ,
• ${\displaystyle \mu \,}$— стандартный гравитационный параметр .

Выводы:

• Для данной большой полуоси удельная орбитальная энергия не зависит от эксцентриситета.

Используя теорему вириала, находим:

• среднее по времени значение удельной потенциальной энергии равно −2ε
  • среднее по времени значение r ⁻¹ равно a ⁻¹
• среднее по времени значение удельной кинетической энергии равно ε

Энергия в терминах большой полуоси

Может быть полезно знать энергию в терминах большой полуоси (и вовлеченных масс). Полная энергия орбиты определяется как

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{2a}}}$,

где а — большая полуось.

Вывод

Поскольку гравитация является центральной силой, момент импульса постоянен:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {L} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F(r)\mathbf {\hat {r}} =0}$

При максимальном и максимальном приближении момент импульса перпендикулярен расстоянию до вращающейся массы, поэтому:

${\displaystyle L=rp=rmv}$.

Полная энергия орбиты определяется выражением ^[5]

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Подставляя v, уравнение принимает вид

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Это справедливо для r, являющегося ближайшим/наиболее дальним расстоянием, поэтому составляются два одновременных уравнения, которые при решении относительно E:

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}}$

Так как и , где эпсилон — эксцентриситет орбиты, то указанный результат достигается. ${\textstyle r_{1}=a+a\epsilon }$ ${\displaystyle r_{2}=a-a\epsilon }$

Угол траектории полета

Угол траектории полета — это угол между вектором скорости тела, движущегося по орбите (равным вектору касательной к мгновенной орбите) и локальной горизонталью. При стандартных предположениях о сохранении момента импульса угол траектории полета удовлетворяет уравнению: ^[6] ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle h\,=r\,v\,\cos \phi }$

где:

• ${\displaystyle h\,}$- удельный относительный момент импульса орбиты,
• ${\displaystyle v\,}$- орбитальная скорость движущегося по орбите тела,
• ${\displaystyle r\,}$- радиальное расстояние орбитального тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle \phi \,}$угол траектории полета

${\displaystyle \psi }$- угол между вектором орбитальной скорости и большой полуосью. - локальная истинная аномалия . , следовательно, ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi }$

${\displaystyle \cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}}$

где эксцентриситет. ${\displaystyle e}$

Угловой момент связан с векторным произведением положения и скорости, которое пропорционально синусу угла между этими двумя векторами. Здесь определяется как угол, который отличается на 90 градусов от этого, поэтому вместо синуса появляется косинус. ${\displaystyle \phi }$

Уравнение движения

Из начального положения и скорости

Уравнение орбиты определяет путь тела, вращающегося вокруг центрального тела относительно , ​​без указания положения как функции времени. Если эксцентриситет меньше 1, то уравнение движения описывает эллиптическую орбиту. Поскольку уравнение Кеплера не имеет общего замкнутого решения для аномалии эксцентричности (E) в терминах аномалии среднего значения (M), уравнения движения как функции времени также не имеют замкнутого решения (хотя численные решения существуют для обоих). ${\displaystyle m_{2}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ ${\displaystyle M=E-e\sin E}$

Однако замкнутые уравнения пути эллиптической орбиты относительно центрального тела, не зависящие от времени, можно определить только по начальному положению ( ) и скорости ( ). ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

В этом случае удобно использовать следующие предположения, которые несколько отличаются от стандартных предположений, приведенных выше:

1. Центральное тело находится в начале координат и является главным фокусом ( ) эллипса (в качестве альтернативы можно использовать центр масс, если вращающееся тело имеет значительную массу). ${\displaystyle \mathbf {F1} }$
2. Масса центрального тела (m1) известна.
3. Начальное положение ( ) и скорость ( ) тела, движущегося по орбите, известны. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$
4. Эллипс лежит в плоскости XY.

Четвертое предположение можно сделать без потери общности, поскольку любые три точки (или вектора) должны лежать в общей плоскости. При этих предположениях второй фокус (иногда называемый «пустым» фокусом) также должен лежать в плоскости XY: . ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

Использование векторов

Общее уравнение эллипса при этих предположениях с использованием векторов имеет вид:

${\displaystyle |\mathbf {F2} -\mathbf {p} |+|\mathbf {p} |=2a\qquad \mid z=0}$

где:

• ${\displaystyle a\,\!}$— длина большой полуоси .
• ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$второй («пустой») фокус.
• ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(x,y\right)}$любое значение (x,y), удовлетворяющее уравнению.

Длину большой полуоси (a) можно рассчитать как:

${\displaystyle a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}}$

где - стандартный гравитационный параметр . ${\displaystyle \mu \ =Gm_{1}}$

Пустой фокус ( ) можно найти, предварительно определив вектор эксцентриситета : ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}}$

Где — удельный момент импульса вращающегося тела: ^[7] ${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$

Затем

${\displaystyle \mathbf {F2} =-2a\mathbf {e} }$

Использование координат XY

Это можно сделать в декартовых координатах, используя следующую процедуру:

Общее уравнение эллипса при сделанных выше предположениях имеет вид:

${\displaystyle {\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0}$

Данный:

${\displaystyle r_{x},r_{y}\quad }$начальные координаты положения

${\displaystyle v_{x},v_{y}\quad }$начальные координаты скорости

и

${\displaystyle \mu =Gm_{1}\quad }$гравитационный параметр

Затем:

${\displaystyle h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad }$удельный угловой момент

${\displaystyle r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad }$начальное расстояние от F1 (в начале координат)

${\displaystyle a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad }$длина большой полуоси

${\displaystyle e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad }$Координаты вектора эксцентриситета

${\displaystyle e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad }$

Наконец, координаты пустого фокуса

${\displaystyle f_{x}=-2ae_{x}\quad }$

${\displaystyle f_{y}=-2ae_{y}\quad }$

Теперь полученные значения fx, fy и a можно применить к общему уравнению эллипса, приведенному выше.

Параметры орбиты

Состояние орбитального тела в любой момент времени определяется положением и скоростью орбитального тела относительно центрального тела, которые могут быть представлены трехмерными декартовыми координатами (положение орбитального тела представлено x, y и z) и аналогичными декартовыми компонентами скорости орбитального тела. Этот набор из шести переменных вместе со временем называется векторами орбитального состояния . Учитывая массы двух тел, они определяют полную орбиту. Два наиболее общих случая с этими 6 степенями свободы — эллиптическая и гиперболическая орбита. Особые случаи с меньшим количеством степеней свободы — круговая и параболическая орбита.

Поскольку для полного представления эллиптической орбиты с этим набором параметров абсолютно необходимо не менее шести переменных, то для представления орбиты с любым набором параметров требуется шесть переменных. Другой набор из шести параметров, которые обычно используются, — это орбитальные элементы .

Солнечная система

В Солнечной системе планеты , астероиды , большинство комет и некоторые части космического мусора имеют приблизительно эллиптические орбиты вокруг Солнца. Строго говоря, оба тела вращаются вокруг одного и того же фокуса эллипса, тот, что ближе к более массивному телу , но когда одно тело значительно массивнее, например, Солнце по отношению к Земле, фокус может содержаться внутри большего массивного тела, и, таким образом, говорят, что меньшее вращается вокруг него. Следующая диаграмма перигелия и афелия планет , карликовых планет и кометы Галлея демонстрирует изменение эксцентриситета их эллиптических орбит. Для схожих расстояний от Солнца более широкие полосы обозначают больший эксцентриситет. Обратите внимание на почти нулевой эксцентриситет Земли и Венеры по сравнению с огромным эксцентриситетом кометы Галлея и Эриды .

Расстояния отдельных тел Солнечной системы от Солнца. Левый и правый края каждой полосы соответствуют перигелию и афелию тела, соответственно, поэтому длинные полосы обозначают высокий эксцентриситет орбиты . Радиус Солнца составляет 0,7 млн ​​км, а радиус Юпитера (крупнейшей планеты) — 0,07 млн ​​км, оба слишком малы, чтобы разрешиться на этом изображении.

Радиальная эллиптическая траектория

Радиальная траектория может быть двойным отрезком прямой , который является вырожденным эллипсом с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита. Применимо большинство свойств и формул эллиптических орбит. Однако орбита не может быть замкнутой. Это открытая орбита, соответствующая части вырожденного эллипса с момента соприкосновения тел и удаления друг от друга до их повторного соприкосновения. В случае точечных масс возможна одна полная орбита, начинающаяся и заканчивающаяся сингулярностью. Скорости в начале и конце бесконечны в противоположных направлениях, а потенциальная энергия равна минус бесконечности.

Радиальная эллиптическая траектория является решением задачи двух тел, имеющих в некоторый момент нулевую скорость, как в случае падения предмета (пренебрегая сопротивлением воздуха).

История

Вавилоняне первыми поняли, что движение Солнца по эклиптике неравномерно , хотя они и не знали, почему это так; сегодня известно, что это происходит из-за движения Земли по эллиптической орбите вокруг Солнца, причем Земля движется быстрее, когда она находится ближе к Солнцу в перигелии , и движется медленнее, когда она находится дальше в афелии . ^[8]

В XVII веке Иоганн Кеплер открыл, что орбиты, по которым планеты движутся вокруг Солнца, представляют собой эллипсы с Солнцем в одном из фокусов, и описал это в своем первом законе движения планет . Позднее Исаак Ньютон объяснил это как следствие своего закона всемирного тяготения .

Смотрите также

• Апсис
• Характерная энергия
• Эллипс
• Список орбит
• Эксцентриситет орбиты
• Уравнение орбиты
• Параболическая траектория

Ссылки

1. Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики (первое издание). Нью-Йорк: Довер. С. 11–12. ISBN 0-486-60061-0.
2. Лиссауэр, Джек Дж.; де Патер, Имке (2019). Фундаментальные планетарные науки: физика, химия и обитаемость . Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Cambridge University Press. стр. 29–31. ISBN 9781108411981.
3. Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики (первое издание). Нью-Йорк: Довер. стр. 33. ISBN 0-486-60061-0.
4. Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики (первое издание). Нью-Йорк: Довер. С. 27–28. ISBN 0-486-60061-0.
5. Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики (первое издание). Нью-Йорк: Довер. стр. 15. ISBN 0-486-60061-0.
6. Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики (первое издание). Нью-Йорк: Довер. стр. 18. ISBN 0-486-60061-0.
7. Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики (первое издание). Нью-Йорк: Довер. стр. 17. ISBN 0-486-60061-0.
8. Дэвид Леверингтон (2003), От Вавилона до Вояджера и далее: история планетарной астрономии, Cambridge University Press , стр. 6–7, ISBN 0-521-80840-5

Источники

• D'Eliseo, Maurizio M. (2007). «Орбитальное уравнение первого порядка». American Journal of Physics . 75 (4): 352–355. Bibcode : 2007AmJPh..75..352D. doi : 10.1119/1.2432126.
• D'Eliseo, Maurizio M.; Mironov, Sergey V. (2009). "Гравитационный эллипс". Журнал математической физики . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Bibcode : 2009JMP....50a2901M. doi : 10.1063/1.3078419.
• Кертис, Говард Д. (2019). Орбитальная механика для студентов-инженеров (4-е изд.). Butterworth-Heinemann . ISBN 978-0-08-102133-0.

Внешние ссылки

• Java-апплет, анимирующий орбиту спутника на эллиптической кеплеровской орбите вокруг Земли с любым значением большой полуоси и эксцентриситета.
• Апогей - Перигей Сравнение лунных фотографий
• Сравнение фотографий Солнца Афелия и Перигелия
• http://www.castor2.ca