Эллиптический фильтр

Фильтр обработки сигнала

Эллиптический фильтр (также известный как фильтр Кауэра , названный в честь Вильгельма Кауэра , или как фильтр Золотарева , в честь Егора Золотарева ) — это фильтр обработки сигнала с поведением выровненной пульсации (equiripple) как в полосе пропускания , так и в полосе задерживания . Величина пульсации в каждой полосе регулируется независимо, и никакой другой фильтр равного порядка не может иметь более быстрого перехода в усилении между полосой пропускания и полосой задерживания для заданных значений пульсации (независимо от того, выровнена пульсация или нет). ^{[ необходима ссылка ]} В качестве альтернативы можно отказаться от возможности независимой регулировки пульсации полосы пропускания и полосы задерживания и вместо этого разработать фильтр, который будет максимально нечувствителен к изменениям компонентов.

Когда пульсация в полосе задерживания приближается к нулю, фильтр становится фильтром Чебышева типа I. Когда пульсация в полосе пропускания приближается к нулю, фильтр становится фильтром Чебышева типа II и, наконец, когда оба значения пульсации приближаются к нулю, фильтр становится фильтром Баттерворта .

Коэффициент усиления эллиптического фильтра нижних частот как функция угловой частоты ω определяется по формуле:

${\displaystyle G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0})}}}}$

где R _n — эллиптическая рациональная функция n -го порядка (иногда называемая рациональной функцией Чебышева) и

${\displaystyle \omega _{0}}$ это частота среза

${\displaystyle \epsilon }$это фактор пульсации

${\displaystyle \xi }$является фактором селективности

Значение коэффициента пульсации определяет пульсацию в полосе пропускания, тогда как сочетание коэффициента пульсации и коэффициента селективности определяет пульсацию в полосе задерживания.

Характеристики

Частотная характеристика эллиптического фильтра нижних частот четвертого порядка с ε  = 0,5 и ξ  = 1,05. Также показаны минимальный коэффициент усиления в полосе пропускания и максимальный коэффициент усиления в полосе задерживания, а также переходная область между нормализованной частотой 1 и ξ

Крупный план переходной области на приведенном выше графике.

• В полосе пропускания эллиптическая рациональная функция изменяется от нуля до единицы. Поэтому коэффициент усиления полосы пропускания будет изменяться от 1 до . ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}$
• В полосе задерживания эллиптическая рациональная функция изменяется от бесконечности до коэффициента дискриминации , который определяется как: ${\displaystyle L_{n}}$

${\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )\,}$

Таким образом, коэффициент усиления полосы задерживания будет изменяться от 0 до . ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}}$

• В пределе эллиптическая рациональная функция становится многочленом Чебышева , и, следовательно, фильтр становится фильтром Чебышева I типа с коэффициентом пульсации ε ${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$
• Поскольку фильтр Баттерворта является предельной формой фильтра Чебышева, то в пределе следует , что и такой, что фильтр становится фильтром Баттерворта ${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1}$
• В пределе , и такого, что и , фильтр становится фильтром Чебышева II рода с коэффициентом усиления ${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \xi \omega _{0}=1}$ ${\displaystyle \epsilon L_{n}=\alpha }$

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}}$

Полюса и нули

Логарифм абсолютного значения усиления эллиптического фильтра 8-го порядка в комплексном частотном пространстве (s = σ + jω) с ε = 0,5, ξ = 1,05 и ω ₀ = 1. Белые пятна — полюса, а черные пятна — нули. Всего имеется 16 полюсов и 8 двойных нулей. То, что кажется одним полюсом и нулем вблизи переходной области, на самом деле является четырьмя полюсами и двумя двойными нулями, как показано на развернутом виде ниже. На этом изображении черный цвет соответствует усилению 0,0001 или меньше, а белый цвет соответствует усилению 10 или больше.

Расширенный вид переходной области на изображении выше, на котором видны четыре полюса и два двойных нуля.

Нули коэффициента усиления эллиптического фильтра будут совпадать с полюсами эллиптической рациональной функции, которые выведены в статье об эллиптических рациональных функциях .

Полюса усиления эллиптического фильтра могут быть получены способом, очень похожим на вывод полюсов усиления фильтра Чебышева типа I. Для простоты предположим, что частота среза равна единице. Полюса усиления эллиптического фильтра будут нулями знаменателя усиления. Используя комплексную частоту, это означает, что: ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0\,}$

Определяя , где cd() — эллиптическая косинусная функция Якоби , и используя определение эллиптических рациональных функций, получаем: ${\displaystyle -js=\mathrm {cd} (w,1/\xi )}$

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n}}{K}},{\frac {1}{L_{n}}}\right)=0\,}$

где и . Решение для w ${\displaystyle K=K(1/\xi )}$ ${\displaystyle K_{n}=K(1/L_{n})}$

${\displaystyle w={\frac {K}{nK_{n}}}\mathrm {cd} ^{-1}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}}}$

где множественные значения обратной функции cd() явно указываются с помощью целочисленного индекса m .

Полюса эллиптической функции усиления тогда следующие:

${\displaystyle s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi )\,}$

Как и в случае с полиномами Чебышева, это можно выразить в явной комплексной форме (Lutovac & et al. 2001, § 12.8)

${\displaystyle s_{pm}={\frac {a+jb}{c}}}$

${\displaystyle a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}/\xi ^{2}}}}$

${\displaystyle b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}}$

${\displaystyle c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2}}$

где — функция от и — нули эллиптической рациональной функции. выражается для всех n через эллиптические функции Якоби или алгебраически для некоторых порядков, особенно порядков 1, 2 и 3. Для порядков 1 и 2 имеем ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n,\,\epsilon }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$

${\displaystyle \zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}}$

${\displaystyle \zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}}$

где

${\displaystyle t={\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}}$

Алгебраическое выражение для довольно сложное (см. Lutovac & et al. (2001, § 12.8.1)). ${\displaystyle \zeta _{3}}$

Свойство вложенности эллиптических рациональных функций можно использовать для построения выражений более высокого порядка для : ${\displaystyle \zeta _{n}}$

${\displaystyle \zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt {{\frac {1}{\zeta _{n}^{2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\right)}$

где . ${\displaystyle L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi )}$

Минимальный заказ

Чтобы разработать эллиптический фильтр с использованием минимально необходимого количества элементов, минимальный порядок эллиптического фильтра можно рассчитать с помощью эллиптических интегралов следующим образом. ^[1] Уравнения учитывают только стандартные эллиптические фильтры нижних частот. Даже изменения порядка приведут к ошибке, которую уравнения не учитывают.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{1}&={\sqrt {\frac {10^{\alpha _{p}/10}-1}{10^{\alpha _{s}/10}-1}}}\\\tau _{2}&={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\\X_{1}&={\text{ Complete Elliptic integral of }}\tau _{1}\\X_{1}'&={\text{ Complete Elliptic integral of }}{\sqrt {1-\tau _{1}^{2}}}\\X_{2}&={\text{ Complete Elliptic integral of }}\tau _{2}\\X_{2}'&={\text{ Complete Elliptic integral of }}{\sqrt {1-\tau _{2}^{2}}}\\n&=ceil{\bigg [}{\frac {X_{1}'X_{2}}{X_{1}X_{2}'}}{\bigg ]}\\\end{aligned}}}$

Эллиптические интегральные вычисления можно исключить, используя следующее выражение. ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\text{ the selectivity factor }}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}{\text{ (same as }}\tau _{2}{\text{ above)}}\\u&={\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{2(1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}})}}\\q&=u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\D&={\frac {10^{A_{s}/10}-1}{10^{A_{p}/10}-1}}{\text{ (same as }}1/\tau _{1}{\text{ above)}}\\n&=ceil{\bigg (}{\frac {\log {16D}}{\log(1/q)}}{\bigg )}\\\end{aligned}}}$

где:

${\displaystyle \omega _{p}}$и - частота пульсации полосы пропускания и максимальное затухание пульсации в дБ ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$и - частота полосы задерживания и минимальное затухание полосы задерживания в дБ ${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$минимальное количество полюсов, порядок фильтра.

ceil [] — функция округления до следующего целого числа.

Эллиптические фильтры с минимальным Q-фактором

Нормализованные добротности полюсов эллиптического фильтра 8-го порядка с ξ  = 1,1 как функции коэффициента пульсации ε . Каждая кривая представляет четыре полюса, поскольку комплексно-сопряженные пары полюсов и пары положительно-отрицательных полюсов имеют одинаковую добротность. (Синяя и голубая кривые почти совпадают). Добротности всех полюсов одновременно минимизируются при ε _Qmin  = 1 /  √ L _n  = 0,02323...

См. Лутовак и др. (2001, § 12.11, 13.14).

Эллиптические фильтры обычно специфицируются, требуя определенного значения для пульсации полосы пропускания, пульсации полосы задерживания и резкости среза. Это обычно указывает минимальное значение порядка фильтра, которое должно использоваться. Другим соображением при проектировании является чувствительность функции усиления к значениям электронных компонентов, используемых для построения фильтра. Эта чувствительность обратно пропорциональна добротности ( Q-фактору ) полюсов передаточной функции фильтра. Q-фактор полюса определяется как:

${\displaystyle Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}}$

и является мерой влияния полюса на функцию усиления. Для эллиптического фильтра случается так, что для заданного порядка существует соотношение между коэффициентом пульсации и коэффициентом селективности, которое одновременно минимизирует добротность всех полюсов в передаточной функции:

${\displaystyle \epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}}$

Это приводит к фильтру, который максимально нечувствителен к изменениям компонентов, но возможность независимо задавать пульсации полосы пропускания и полосы задерживания будет потеряна. Для таких фильтров с увеличением порядка пульсация в обеих полосах будет уменьшаться, а скорость среза будет увеличиваться. Если кто-то решит использовать эллиптический фильтр с минимальной добротностью для достижения определенной минимальной пульсации в полосах фильтра вместе с определенной скоростью среза, необходимый порядок, как правило, будет больше, чем порядок, который в противном случае потребовался бы без ограничения минимальной добротности. Изображение абсолютного значения усиления будет очень похоже на изображение в предыдущем разделе, за исключением того, что полюса расположены по кругу, а не по эллипсу. Они не будут равномерно распределены, и на оси ω будут нули, в отличие от фильтра Баттерворта , полюса которого расположены по равномерно распределенному кругу без нулей.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Ниже представлено изображение, показывающее эллиптический фильтр рядом с другими распространенными типами фильтров, полученными с тем же количеством коэффициентов:

Как видно из изображения, эллиптические фильтры более резкие, чем все остальные, но они демонстрируют рябь по всей полосе пропускания.

Строительство из нулей Чебышевской передачи

Эллиптические полосы заграждения фильтра по сути являются фильтрами Чебышева с нулями пропускания , где нули пропускания расположены таким образом, что дают равноволнистую полосу заграждения. Учитывая это, можно преобразовать характеристическое уравнение фильтра Чебышева, содержащее нули отражения Чебышева в числителе и не нули пропускания в знаменателе, в эллиптический фильтр, содержащий нули эллиптического отражения в числителе и нули эллиптического пропускания в знаменателе, итеративно создавая нули пропускания из масштабированной инверсии нулей отражения Чебышева, а затем восстанавливая равноволнистую полосу пропускания Чебышева из нулей пропускания и повторяя до тех пор, пока итерации не перестанут давать существенные изменения в . ^[3] Используемый масштабный коэффициент, , представляет собой отношение частот среза полосы заграждения к полосе пропускания и также известен как обратная величина «фактора селективности». ^[2] Поскольку эллиптические конструкции обычно определяются на основе требований к затуханию в полосе задерживания, , можно вывести из уравнений, устанавливающих минимальный порядок n, приведенных выше. ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$

отношение может быть получено путем решения задачи минимального порядка n , рассмотренной выше в обратном порядке от n, чтобы найти . ^[2] ${\displaystyle \omega _{s}/\omega _{p}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\text{ number of poles (order of the filter)}}\\q&=(16D)^{(-1/n)}\\0&=-q+u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\u&={\text{ real root of above equation}}\\k&={\text{ the selectivity factor }}={\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}\\\Omega _{c}&={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}={\frac {1}{k}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}}\\\end{aligned}}}$

Характеристические полиномы, вычисленные из и требований к затуханию, затем могут быть преобразованы в полиномы передаточной функции с классическим преобразованием, где и - пульсация полосы пропускания. ^{[3] [4]} ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)={\sqrt {1/(1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s))}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=10^{Ap/10.}-1.}$ ${\displaystyle A_{p}}$

Простой пример

Разработайте эллиптический фильтр с пульсацией полосы пропускания 1 дБ от 0 до 1 рад/с и пульсацией полосы задерживания 40 дБ от не менее 1,25 рад/с до . ${\displaystyle \infty }$

Применяя вышеприведенные вычисления для значения n до применения функции ceil() , получаем, что n равно 4,83721900, округленному до следующего целого числа, 5, путем применения функции ceil() , что означает, что для соответствия указанным требованиям к конструкции требуется 5-полюсный эллиптический фильтр. Применяя вышеприведенные вычисления для необходимого для проектирования полосы затухания точно в 40 дБ, получаем 1,2186824. ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$

Функция инверсии масштабированного полинома может быть выполнена путем преобразования каждого корня s в , что может быть легко достигнуто путем инвертирования полинома и масштабирования его на , как показано. ${\displaystyle \Omega _{c}/s}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&as^{n}+bs^{n-1}\dots cs^{2}+ds^{1}+es^{0}\Longrightarrow ({\frac {e}{\Omega _{c}^{n}}})s^{n}+({\frac {d}{\Omega _{c}^{n-1}}})s^{n-1}\dots ({\frac {c}{\Omega _{c}^{2}}})s^{2}+({\frac {b}{\Omega _{c}^{1}}})s^{1}+({\frac {a}{\Omega _{c}^{0}}})s^{0}\\\end{aligned}}}$

Затем шаги эллиптического проектирования следующие: ^[3]

1. Разработать фильтр Чебышева с неравномерностью полосы пропускания 1 дБ.
2. Инвертировать все нули отражений, чтобы создать нули пропускания ${\displaystyle \Omega _{c}}$
3. Создайте равноволновую полосу пропускания из нулей передачи, используя процесс, описанный в Чебышевских нулях передачи.
4. Повторяйте шаги 2 и 3 до тех пор, пока полоса пропускания и полоса остановки не перестанут меняться на сколько-нибудь ощутимую величину. Обычно 15–25 итераций дают разницу коэффициентов порядка 1.e-15.

Чтобы проиллюстрировать шаги, нижеприведенные уравнения K(s) начинаются со стандартного чебышевского K(s), затем итерируются по процессу. Видимые различия видны в первых трех итерациях. К моменту достижения 18 итераций различия в K(s) становятся незначительными. Итерации могут быть прекращены, когда изменение коэффициентов K(s) станет достаточно малым, чтобы соответствовать требованиям точности проектирования. Все нижеприведенные итерации K(s) были нормализованы таким образом, что , однако, этот шаг может быть отложен до последней итерации, если это необходимо. ${\displaystyle |K(j)|=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{iteration 0: }}K(s)&={\frac {16s^{5}+20s^{3}+5s}{1}}\\{\text{iteration 1: }}K(s)&={\frac {9.2965947s^{5}+12.999133s^{3}+4.0025668s}{0.14167325s^{4}+0.84164496s^{2}+1}}\\{\text{iteration 2: }}K(s)&={\frac {8.6496472s^{5}+12.270597s^{3}+3.8746611s}{0.19518773s^{4}+0.94147634s^{2}+1}}\\&\vdots \\{\text{iteration 17: }}K(s)&={\frac {8.550086786383502s^{5}+12.157269873073034s^{3}+3.854163602012615s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\{\text{iteration 18: }}K(s)&={\frac {8.550086786383422s^{5}+12.157269873072942s^{3}+3.854163602012599s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\\end{aligned}}}$

Чтобы найти передаточную функцию, выполните следующие действия. ^[3] ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{{\sqrt {-18.928479s^{10}-53.78661s^{8}-54.942632s^{6}-22.939175s^{4}-1.931467+1}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}$

Чтобы получить из левой полуплоскости, разложите числитель и знаменатель на множители, чтобы получить корни, используя алгоритм поиска корня . Отбросьте все корни из правой полуплоскости знаменателя, половину повторных корней в числителе и перестройте с оставшимися корнями. ^{[3] [4]} Обычно нормализуют до 1 при . ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle |G(s)|}$ ${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{4.3506872s^{5}+4.0174213s^{4}+8.0362343s^{3}+4.9129149s^{2}+3.4288915s+1}}\\\end{aligned}}}$

Для подтверждения правильности примера ниже показан график с неравномерностью полосы пропускания 1 дБ, частотой среза 1 рад/сек, затуханием полосы задерживания 40 дБ, начиная с 1,21868 рад/сек. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle j\omega }$

Пятиполюсное эллиптическое моделирование

Даже порядок модификаций

Эллиптические фильтры четного порядка, реализованные с пассивными элементами, обычно индукторами, конденсаторами и линиями передачи, с окончаниями одинакового значения на каждой стороне, не могут быть реализованы с традиционной эллиптической передаточной функцией без использования связанных катушек, что может быть нежелательным или невыполнимым. Это связано с физической невозможностью разместить нули отражения Чебышева четного порядка и нули пропускания , которые приводят к значениям матрицы рассеяния S12, превышающим значение S12 при , и конечным значениям S12, которые существуют при . Если невозможно спроектировать фильтр с одним из окончаний, увеличенным или уменьшенным для размещения полосы пропускания S12, то эллиптическую передаточную функцию необходимо изменить таким образом, чтобы переместить нуль отражения низшего четного порядка в и нуль пропускания низшего четного порядка в, сохраняя при этом равноволновую характеристику полосы пропускания и полосы задерживания. ^[5] ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =\infty }$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =\infty }$

Необходимая модификация включает отображение каждого полюса и нуля эллиптической передаточной функции таким образом, чтобы отображать ноль отражения самой низкой частоты в ноль, ноль передачи самой высокой частоты в , а остальные полюса и нули по мере необходимости для поддержания полосы пропускания и полосы задержки с равной пульсацией. Ноль отражения самой низкой частоты можно найти путем разложения числителя , а ноль передачи самой высокой частоты можно найти путем разложения знаменателя. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$

Для переноса нулей отражения применяется следующее уравнение ко всем полюсам и нулям . ^[5] Хотя теоретически операции переноса могут выполняться либо над , либо над , нули отражения должны быть извлечены из , поэтому, как правило, более эффективно выполнять операции переноса над . ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {R_{i}^{2}+\omega _{LO}^{2}}{1-\omega _{LO}^{2}}}}}$

Где:

${\displaystyle R_{i}}$является ли исходная эллиптическая функция нулем или полюсом

${\displaystyle R_{i}'}$— отображенный ноль или полюс для модифицированной передаточной функции четного порядка.

${\displaystyle \omega _{LO}}$самая низкая частота отражения нуля в полосе пропускания.

Знак мнимой составляющей определяется знаком исходной . ${\displaystyle R_{i}'}$ ${\displaystyle R_{i}}$

Для переноса нулей передачи следующее уравнение применяется ко всем полюсам и нулям . ^[5] Хотя теоретически операции переноса могут выполняться либо над , либо над , если нули отражения необходимо извлечь из , может быть более эффективно выполнять операции переноса над . ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {(\omega _{HI}^{2}-1)R_{i}^{2}}{\omega _{HI}^{2}+R_{i}^{2}}}}}$

Где:

${\displaystyle R_{i}}$является ли исходная эллиптическая функция нулем или полюсом

${\displaystyle R_{i}'}$— отображенный ноль или полюс для модифицированной передаточной функции четного порядка.

${\displaystyle \omega _{HI}}$самая высокая частота пропускания нуля в полосе пропускания.

Знак мнимой составляющей определяется знаком исходного . Если оперировать знаком действительной составляющей , то она должна быть отрицательной, чтобы соответствовать требованию левой полуплоскости. ${\displaystyle R_{i}'}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle R_{i}'}$

Важно отметить, что все приложения требуют как пропускающих, так и останавливающих трансляций. Пассивные сетевые диплексеры, например, требуют только останавливающих трансляций четного порядка и работают более эффективно с нетранслируемыми полосами пропускания четного порядка. ^[5]

После завершения создается равноволновая передаточная функция со значениями матрицы рассеяния для S12, равными 1 и 0 при , которая может быть реализована с помощью пассивных равносогласованных сетей. ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =\infty }$

На рисунке ниже показан эллиптический фильтр 8-го порядка, модифицированный для поддержки пассивных сетей четного порядка с одинаковой нагрузкой путем перемещения нуля отражения самой низкой частоты с конечной частоты на 0, а нуля передачи самой высокой частоты на 0, при этом сохраняя равноволнистую частотную характеристику полосы пропускания и полосы задерживания. ${\displaystyle \infty }$

Четный порядок модифицированной эллиптической иллюстрации

Вычисления и порядка в параграфе эллиптической конструкции выше предназначены только для немодифицированных эллиптических фильтров. Хотя изменения четного порядка не влияют на затухание полосы пропускания или полосы задерживания, следует ожидать небольших ошибок в вычислениях порядка и. Поэтому важно применять изменения четного порядка после завершения всех итераций, если требуется сохранить затухания полосы пропускания и полосы задерживания. Если модифицированная эллиптическая функция четного порядка создается из требования, фактическое значение будет немного больше, чем проектное . Аналогично, вычисление порядка, n , может привести к меньшему значению, чем фактически требуемый порядок. ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$ ${\displaystyle \Omega _{c}}$

Реализация песочных часов

Фильтр «Песочные часы» — это особый случай фильтра, в котором нули отражения являются обратной величиной нулей передачи около нормализованной частоты среза 3,01 дБ 1 рад/с, в результате чего все полюса фильтра располагаются на единичной окружности. ^[6] Реализация эллиптических песочных часов имеет преимущество перед обратным фильтром Чебышева в том, что полоса пропускания более плоская, и имеет преимущество перед традиционными эллиптическими фильтрами в том, что групповая задержка имеет менее острый пик на частоте среза.

7-полюсный песочный часовой механизм, обратная частотная характеристика S11 и S12

Процесс синтеза

Самый простой способ синтезировать фильтр «песочные часы» — разработать эллиптический фильтр с заданным расчетным затуханием в полосе задерживания, As , и рассчитанным затуханием в полосе пропускания, которое соответствует требованию к двухпортовой сети без потерь, что параметры рассеяния . ^[7] Вместе с хорошо известной величиной дБ в арифметическом переводе, алгебраическая манипуляция дает следующее расчетное требование к затуханию в полосе пропускания. ${\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1}$ ${\displaystyle (S_{ij})_{dB}=20log_{10}(|S_{ij}|_{arith})}$

${\displaystyle A_{p}=-10\log _{10}{(1.-10^{(-A_{s}/10)})}}$

A _p , определенный выше , будет производить обратные нули отражения и передачи около пока неизвестной частоты среза 3,01 дБ. Чтобы разработать эллиптический фильтр с частотой полосы пропускания 1 рад/сек, необходимо определить частоту затухания 3,01 дБ, и эту частоту необходимо использовать для обратного масштабирования полиномов эллиптического дизайна. Результатом будут полиномы с затуханием 3,01 дБ на нормализованной частоте 1 рад/сек. Для определения частоты затухания 3,01 дБ можно использовать метод Ньютона или решение уравнений напрямую с помощью алгоритма поиска корня .

Масштабирование частоты методом Ньютона

Если — это передаточная функция песочных часов, чтобы найти частоту 3,01 дБ, и — это частота 3 дБ, которую нужно найти, то для нахождения можно использовать следующие шаги: ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$

1. Если еще не доступно, умножьте на, чтобы получить . ${\displaystyle G(s)G(-s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(-s)}$ ${\displaystyle G(s)G(-s)}$
2. отрицать все члены , когда делится на . Это будет , , , и так далее. Измененная функция будет называться , и эта модификация позволит использовать действительные числа вместо комплексных при оценке многочлена и его производной. Теперь действительные числа можно использовать вместо комплексных ${\displaystyle s^{n}}$ ${\displaystyle (n+2)}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle s^{2}}$ ${\displaystyle s^{6}}$ ${\displaystyle s^{10}}$ ${\displaystyle G_{2}(s)G_{2}(-s)}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle j\omega _{a}}$
3. Преобразуйте желаемое затухание в дБ, , в квадрат арифметического значения усиления, , используя . Например, 3,010 дБ преобразуется в 0,5, 1 дБ преобразуется в 0,79432823 и т. д. ${\displaystyle A_{dB}}$ ${\displaystyle B_{arith}^{2}}$ ${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}$
4. Рассчитайте модифицированное значение по методу Ньютона, используя действительное значение. Всегда берите абсолютное значение. ${\displaystyle |G_{2}(s)G_{2}(-s)|}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$
5. Рассчитайте производную, модифицированную по отношению к действительному значению. НЕ берите абсолютное значение производной. ${\displaystyle G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$

После завершения шагов 1)–4) выражение, включающее метод Ньютона, можно записать так:

${\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-([G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})}$

используя действительное значение для без необходимости сложной арифметики. Движение должно быть ограничено, чтобы предотвратить его отклонение от нуля на ранних этапах итераций для повышения надежности. Когда сходимость будет завершена, можно использовать для , который можно использовать для масштабирования исходного знаменателя передаточной функции. Затухание измененного затем будет фактически точным желаемым значением при 1 рад/сек. При правильном выполнении требуется всего несколько итераций, чтобы установить затухание в широком диапазоне желаемых значений затухания как для фильтров малого, так и для фильтров очень большого порядка. ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$

Масштабирование частоты с поиском корня

Поскольку не содержит никакой фазовой информации, прямое разложение передаточной функции не даст пригодных для использования результатов. Однако передаточную функцию можно изменить, умножив ее на , чтобы исключить все нечетные степени , что, в свою очередь, заставляет быть действительным на всех частотах, а затем найти частоту, которая получается на квадрате желаемого внимания. ${\displaystyle |G(j\omega _{a})|}$ ${\displaystyle G(-s)}$ ${\displaystyle G(j\omega a)}$ ${\displaystyle G(j\omega a)}$

1. Если еще не доступно, умножьте на, чтобы получить . ${\displaystyle G(s)G(-s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G(-s)}$ ${\displaystyle G(s)G(-s)}$
2. Преобразуйте желаемое затухание в дБ, , в квадрат арифметического значения усиления, , используя . Например, 3,010 дБ преобразуется в 0,5, 1 дБ преобразуется в 0,79432823 и т. д. ${\displaystyle A_{dB}}$ ${\displaystyle B_{arith}^{2}}$ ${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}$
3. Находить ${\displaystyle P(S)=G_{num}(S)G_{num}(-S)-B_{arith}^{2}G_{den}(S)G_{den}(-S)}$
4. Найдите корни P(S), используя алгоритм поиска корней.
5. Из набора корней, приведенного выше, выберите положительный мнимый корень для фильтров всех порядков и положительный действительный корень для фильтров четных порядков для . ${\displaystyle \omega _{c}}$

Масштабирование передаточной функции

После определения полином передаточной функции песочных часов можно масштабировать следующим образом: ${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(s)_{\text{orig}}&={\frac {N_{nn}s^{nn}+\dots +N_{2}s^{2}+N_{1}s+N_{0}}{D_{nn}s^{nd}+\dots +D_{2}s^{2}+D_{1}s+D_{0}}}{\text{ (original unscaled transfer function polynomials)}}\\G(s)_{\text{ scaled}}&={\frac {N_{nn}(\omega _{c}s)^{nn}+\dots +N_{2}(\omega _{c}s)^{2}+N_{1}\omega _{c}s+N_{0}}{D_{nn}(\omega _{c}s)^{nd}+\dots +D_{2}(\omega _{c}s)^{2}+D_{1}\omega _{c}s+D_{0}}}{\text{ (}}3.01{\text{ dB at 1 rad/sec scaled transfer function polynomials)}}\\\omega _{c}&=|G(s)|{\text{ 3.01 dB attenuation frequency }}\\nn,nd&={\text{ order of numerator and denominator, respectively}}\\N,D&={\text{ coefficients of numerator and denominator, respectively}}\\\end{aligned}}}$

Даже порядок модификаций

Фильтры четного порядка Hourglass имеют те же ограничения относительно одинаково терминированных пассивных сетей, что и другие эллиптические фильтры. Те же модификации четного порядка, которые решают проблему с эллиптическими фильтрами, решают и проблему с фильтрами Hourglass.

Ссылки

1. Паарманн, Ларри Д. (2001). Проектирование и анализ аналоговых фильтров, перспективы обработки сигналов. Норвелл, Массачусетс, США: Kluwer Academic Publishers. стр. 182–198. ISBN 0-7923-7373-1.
2. Rorabaugh, C. Britton (1 января 1993 г.). Digital Filter Designer's Handbook (переиздание). Blue Ridge Summit, PA, US: Tab Books, Division of McGraw-Hill, Inc., стр. 93–95. ISBN 978-0830644315.
3. Архивировано 23 апреля 2024 г. доктором Байроном Беннеттом в заметках о лекциях по проектированию фильтров на Wayback Machine , 1985 г., Университет штата Монтана. Архивировано 28 марта 2023 г. в Wayback Machine , кафедра электротехники. Архивировано 15 апреля 2024 г. в Wayback Machine , Бозмен , Монтана, США.
4. Sedra, Adel S.; Brackett, Peter O. (1978). Теория и проектирование фильтров: активные и пассивные. Beaverton, Oegon, США: Matrix Publishers, Inc. стр. 45–73. ISBN 978-0916460143.
5. Саал, Рудольф (январь 1979 г.). Справочник по проектированию фильтров (на английском и немецком языках) (1-е изд.). Мюнхен, Германия: Allgemeine Elektricitais-Gesellschaft. стр. 25, 26, 56–61, 116, 117. ISBN. 3-87087-070-2.
6. Беннетт, Байрон Дж. (декабрь 1988 г.). «Новый метод синтеза фильтров — песочные часы». Труды IEEE по схемам и системам . 35 (12): 1469–1477. doi :10.1109/31.9910 — через IEEE.
7. Маттеи, Джордж Л.; Янг, Лео; Джонс, EMT (1984). Микроволновые фильтры, сети согласования импульсов и структуры связи. 610 Washington Street, Дедхэм, Массачусетс, США: Artech House, Inc. (опубликовано в 1985 г.). стр. 44. ISBN 0-89006-099-1.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

• Дэниелс, Ричард В. (1974). Методы аппроксимации для проектирования электронных фильтров . Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.
• Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V.; Evans, Brian L. (2001). Проектирование фильтров для обработки сигналов с использованием MATLAB и Mathematica. Нью-Джерси, США: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2.