Эллиптическая геометрия

Эллиптическая геометрия является примером геометрии , в которой постулат параллельности Евклида не выполняется. Вместо этого, как и в сферической геометрии , параллельных прямых нет, поскольку любые две прямые должны пересекаться. Однако, в отличие от сферической геометрии, обычно предполагается, что две прямые пересекаются в одной точке (а не в двух). Из-за этого эллиптическую геометрию, описанную в этой статье, иногда называют одинарной эллиптической геометрией, тогда как сферическую геометрию иногда называют двойной эллиптической геометрией .

Появление этой геометрии в XIX веке стимулировало развитие неевклидовой геометрии в целом, в том числе и гиперболической геометрии .

Эллиптическая геометрия имеет ряд свойств, которые отличаются от свойств классической евклидовой геометрии плоскости. Например, сумма внутренних углов любого треугольника всегда больше 180°.

Определения

Эллиптическая геометрия может быть получена из сферической геометрии путем идентификации антиподальных точек сферы к одной эллиптической точке. Эллиптические линии соответствуют большим окружностям, уменьшенным путем идентификации антиподальных точек. Поскольку любые два больших круга пересекаются, в эллиптической геометрии нет параллельных линий.

В эллиптической геометрии две перпендикулярные линии к данной линии должны пересекаться. Фактически, все перпендикуляры к данной линии пересекаются в одной точке, называемой абсолютным полюсом этой линии.

Каждая точка соответствует абсолютной полярной линии, абсолютным полюсом которой она является. Любая точка на этой полярной линии образует абсолютную сопряженную пару с полюсом. Такая пара точек ортогональна , а расстояние между ними — квадрант . [ ^1]^{: 89}

Расстояние между парой точек пропорционально углу между их абсолютными полярами. ^[1]^{: 101}

Как объяснил HSM Coxeter :

Название «эллиптический», возможно, вводит в заблуждение. Оно не подразумевает никакой прямой связи с кривой, называемой эллипсом, а лишь довольно надуманную аналогию. Центральная коника называется эллипсом или гиперболой в зависимости от того, имеет ли она асимптоту или две асимптоты . Аналогично, неевклидова плоскость называется эллиптической или гиперболической в зависимости от того, содержит ли каждая из ее линий точку на бесконечности или две точки на бесконечности. ^[2]

Два измерения

Эллиптическая плоскость

Эллиптическая плоскость — это действительная проективная плоскость, снабженная метрикой . Кеплер и Дезарг использовали гномоническую проекцию , чтобы связать плоскость σ с точками на полусфере , касательной к ней. При O — центре полусферы точка P в σ определяет прямую OP, пересекающую полусферу, а любая прямая L ⊂ σ определяет плоскость OL , пересекающую полусферу по половине большого круга . Полусфера ограничена плоскостью, проходящей через O и параллельной σ. Никакая обычная прямая σ не соответствует этой плоскости; вместо этого к σ добавляется линия в бесконечности . Поскольку любая линия в этом расширении σ соответствует плоскости, проходящей через O , и поскольку любая пара таких плоскостей пересекается по линии, проходящей через O , можно заключить, что любая пара линий в расширении пересекается: точка пересечения лежит там, где пересечение плоскостей встречается с σ или линией в бесконечности. Таким образом, подтверждается аксиома проективной геометрии, требующая пересечения всех пар линий в плоскости. ^[3]

При заданных P и Q в σ эллиптическое расстояние между ними является мерой угла POQ , обычно берущегося в радианах. Артур Кэли инициировал изучение эллиптической геометрии, когда написал «Об определении расстояния». ^[4]^{: 82} Это начинание в абстракции в геометрии было продолжено Феликсом Клейном и Бернхардом Риманом, что привело к неевклидовой геометрии и римановой геометрии .

Сравнение с евклидовой геометрией

В евклидовой геометрии фигуру можно увеличивать или уменьшать до бесконечности, и полученные фигуры будут подобны, то есть они будут иметь одинаковые углы и одинаковые внутренние пропорции. В эллиптической геометрии это не так. Например, в сферической модели мы видим, что расстояние между любыми двумя точками должно быть строго меньше половины окружности сферы (потому что определяются антиподальные точки). Поэтому отрезок прямой нельзя увеличивать до бесконечности.

Значительная часть евклидовой геометрии напрямую переносится в эллиптическую геометрию. Например, первый и четвертый постулаты Евклида о том, что существует единственная прямая между любыми двумя точками и что все прямые углы равны, выполняются в эллиптической геометрии. Постулат 3 о том, что можно построить окружность с любым заданным центром и радиусом, не выполняется, если «любой радиус» понимается как «любое действительное число», но выполняется, если его понимать как «длину любого заданного отрезка прямой». Поэтому любой результат в евклидовой геометрии, который следует из этих трех постулатов, будет выполняться в эллиптической геометрии, например, предложение 1 из книги I «Начал» , которое гласит, что для любого отрезка прямой можно построить равносторонний треугольник с этим отрезком в качестве основания.

Эллиптическая геометрия также похожа на евклидову геометрию в том, что пространство непрерывно, однородно, изотропно и не имеет границ. Изотропность гарантируется четвертым постулатом, что все прямые углы равны. В качестве примера однородности отметим, что предложение Евклида I.1 подразумевает, что тот же самый равносторонний треугольник может быть построен в любом месте, а не только в местах, которые являются особыми в каком-то смысле. Отсутствие границ следует из второго постулата, расширяемости отрезка прямой.

Одним из отличий эллиптической геометрии от евклидовой является то, что сумма внутренних углов треугольника больше 180 градусов. Например, в сферической модели треугольник может быть построен с вершинами в местах пересечения сферы тремя положительными декартовыми осями координат, и все три его внутренних угла равны 90 градусам, что в сумме составляет 270 градусов. Для достаточно малых треугольников превышение над 180 градусами может быть сделано сколь угодно малым.

Теорема Пифагора неверна в эллиптической геометрии. В треугольнике 90°–90°–90°, описанном выше, все три стороны имеют одинаковую длину и, следовательно, не удовлетворяют . Результат Пифагора восстанавливается в пределе малых треугольников. $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Отношение длины окружности к ее площади меньше, чем в евклидовой геометрии. В общем случае площадь и объем не масштабируются как вторая и третья степени линейных размеров.

Эллиптическое пространство (трехмерный случай)

Примечание: В этом разделе термин «эллиптическое пространство» используется для обозначения именно 3-мерной эллиптической геометрии. Это контрастирует с предыдущим разделом, который был посвящен 2-мерной эллиптической геометрии. Кватернионы используются для пояснения этого пространства.

Эллиптическое пространство может быть построено способом, аналогичным построению трехмерного векторного пространства: с классами эквивалентности . Используются направленные дуги на больших окружностях сферы. Как направленные отрезки равносильны , когда они параллельны, имеют одинаковую длину и одинаково ориентированы, так и направленные дуги, найденные на больших окружностях, равносильны, когда они имеют одинаковую длину, ориентацию и большую окружность. Эти отношения равносильности создают трехмерное векторное пространство и эллиптическое пространство соответственно.

Доступ к эллиптической структуре пространства обеспечивается через векторную алгебру Уильяма Роуэна Гамильтона : он представлял себе сферу как область квадратных корней из минус единицы. Тогда формула Эйлера (где r находится на сфере) представляет большую окружность в плоскости, содержащей 1 и r . Противоположные точки r и – r соответствуют противоположно направленным окружностям. Дуга между θ и φ равнозначна дуге между 0 и φ – θ. В эллиптическом пространстве длина дуги меньше π, поэтому дуги могут быть параметризованы с θ в [0, π) или (–π/2, π/2]. ^[5] $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$

Для Говорят, что модуль или норма z равна единице (Гамильтон называл его тензором z). Но поскольку r пробегает сферу в 3-мерном пространстве, exp(θ r) пробегает сферу в 4-мерном пространстве, теперь называемую 3 -мерной сферой , поскольку ее поверхность имеет три измерения. Гамильтон назвал свою алгебру кватернионами , и она быстро стала полезным и знаменитым инструментом математики. Ее пространство из четырех измерений развивается в полярных координатах с t в положительных действительных числах . $z=\exp(\theta r),\ z^{*}=\exp(-\theta r)\implies zz^{*}=1.$ $t\exp(\theta r),$

При выполнении тригонометрии на Земле или небесной сфере стороны треугольников являются дугами большого круга. Первым успехом кватернионов было преобразование сферической тригонометрии в алгебру. ^[6] Гамильтон назвал кватернион нормы один версором , и это точки эллиптического пространства.

При фиксированном $r$ версии

e^{ar},\quad 0\leq a<\pi

образуют эллиптическую линию . Расстояние от до 1 равно $a$ . Для произвольного версора $u$ расстояние будет равно θ, для которого $cos θ = ($ $u$ $+$ $u$ $*$ $)/2,$ поскольку это формула для скалярной части любого кватерниона. $e^{ar}$

Эллиптическое движение описывается кватернионным отображением

q\mapsto uqv,

где

u

v

— фиксированные векторы.

Расстояния между точками такие же, как между точками изображения эллиптического движения. В случае, когда $u$ и $v$ являются кватернионными сопряжениями друг друга, движение является пространственным вращением , а их векторная часть является осью вращения. В случае $u = 1$ эллиптическое движение называется правым переносом Клиффорда , или паратаксией . Случай $v = 1$ соответствует левому переносу Клиффорда.

Эллиптические линии, проходящие через $u,$ могут иметь вид

\lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace

или для фиксированного

r

\lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace

Они представляют собой правый и левый переносы Клиффорда $u$ вдоль эллиптической прямой, проходящей через 1. $Эллиптическое$ пространство образовано из $S3$ путем определения антиподальных точек. ^[7]

Эллиптическое пространство имеет специальные структуры, называемые параллелями Клиффорда и поверхностями Клиффорда .

Версорные точки эллиптического пространства отображаются с помощью преобразования Кэли в для альтернативного представления пространства. $\mathbb {R} ^{3}$

Многомерные пространства

Гиперсферическая модель

Гиперсферическая модель является обобщением сферической модели на более высокие измерения. Точки n -мерного эллиптического пространства являются парами единичных векторов $(x, - x)$ в R ^{n +1} , то есть парами антиподальных точек на поверхности единичного шара в ( n + 1) -мерном пространстве ( n -мерной гиперсфере). Прямые в этой модели являются большими окружностями , то есть пересечениями гиперсферы с плоскими гиперповерхностями размерности n , проходящими через начало координат.

Проективная эллиптическая геометрия

В проективной модели эллиптической геометрии в качестве точек модели используются точки n -мерного действительного проективного пространства . Это моделирует абстрактную эллиптическую геометрию, также известную как проективная геометрия .

Точки n -мерного проективного пространства могут быть идентифицированы линиями, проходящими через начало координат в ( n + 1) -мерном пространстве, и могут быть представлены неоднозначно ненулевыми векторами в R ^{n +1} , с пониманием того, что $u$ и $λ u$ , для любого ненулевого скаляра $λ$ , представляют одну и ту же точку. Расстояние определяется с помощью метрики

d(u,v)=\arccos \left({\frac {|u\cdot v|}{\|u\|\ \|v\|}}\right);

то есть расстояние между двумя точками — это угол между их соответствующими прямыми в R ^{n +1} . Формула расстояния однородна по каждой переменной, причем $d (λ u, μ v) = d (u, v)$ , если $λ$ и $μ$ — ненулевые скаляры, поэтому она определяет расстояние между точками проективного пространства.

Примечательным свойством проективной эллиптической геометрии является то, что для четных измерений, таких как плоскость, геометрия является неориентируемой . Она стирает различие между вращением по часовой стрелке и против часовой стрелки, отождествляя их.

Стереографическая модель

Модель, представляющая то же самое пространство, что и гиперсферическая модель, может быть получена с помощью стереографической проекции . Пусть E ⁿ представляет R ⁿ ∪ {∞}, то есть $n$ -мерное действительное пространство, расширенное одной точкой на бесконечности. Мы можем определить метрику, хордовую метрику , на E ⁿ с помощью

\delta (u,v)={\frac {2\|u-v\|}{\sqrt {(1+\|u\|^{2})(1+\|v\|^{2})}}}

где $u$ и $v$ — любые два вектора в R ⁿ и — обычная евклидова норма. Мы также определяем $\|\cdot \|$

\delta (u,\infty )=\delta (\infty ,u)={\frac {2}{\sqrt {1+\|u\|^{2}}}}.

Результатом является метрическое пространство на E ⁿ , которое представляет расстояние вдоль хорды соответствующих точек на гиперсферической модели, на которую оно отображается биективно стереографической проекцией. Мы получаем модель сферической геометрии, если используем метрику

d(u,v)=2\arcsin \left({\frac {\delta (u,v)}{2}}\right).

Эллиптическая геометрия получается из этого путем определения антиподальных точек $u$ и $- u / ‖ u ‖ 2$ и взятия расстояния от $v$ до этой пары равным минимуму расстояний от $v$ до каждой из этих двух точек.

Самосогласованность

Поскольку сферическая эллиптическая геометрия может быть смоделирована как, например, сферическое подпространство евклидова пространства, то отсюда следует, что если евклидова геометрия самосогласована, то и сферическая эллиптическая геометрия также самосогласована. Поэтому невозможно доказать постулат параллельности, основываясь на других четырех постулатах евклидовой геометрии.

Тарский доказал, что элементарная евклидова геометрия является полной : существует алгоритм, который для каждого предложения может показать, что оно либо истинно, либо ложно. ^[8] (Это не нарушает теорему Гёделя , поскольку евклидова геометрия не может описать достаточного количества арифметики для применения теоремы. ^[9] ) Отсюда следует, что элементарная эллиптическая геометрия также является самосогласованной и полной.

Смотрите также

Примечания

^ ab Дункан Соммервилл (1914) Элементы неевклидовой геометрии , глава 3 Эллиптическая геометрия, стр. 88-122, Джордж Белл и сыновья
^ Коксетер 1969 94
^ HSM Coxeter (1965) Введение в геометрию, стр. 92
↑ Кейли, Артур (1859), «Шестой мемуар о квантике», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 149 : 61–90, doi : 10.1098/rstl.1859.0004 , ISSN 0080-4614, JSTOR 108690
^ Рафаэль Арци (1965) Линейная геометрия , Глава 3–8 Кватернионы и эллиптическое трехмерное пространство, стр. 186–94, Addison-Wesley
^ WR Hamilton (1844–1850) О кватернионах или новой системе мнимых чисел в алгебре, Philosophical Magazine , ссылка на коллекцию Дэвида Р. Уилкинса в Тринити-колледже, Дублин
^ Леметр, Жорж (1948), «Кватернионы и эллиптическое пространство», Pontificia Academia Scientiarum, Acta , 12 : 57–78, ISSN 0370-2138
^ Тарский (1951)
^ Францен 2005, стр. 25–26.

Ссылки

Алан Ф. Бирдон, Геометрия дискретных групп , Springer-Verlag, 1983
HSM Coxeter (1942) Неевклидова геометрия , главы 5, 6 и 7: Эллиптическая геометрия в 1, 2 и 3 измерениях, University of Toronto Press , переиздано в 1998 году Математической ассоциацией Америки , ISBN 0-88385-522-4 .
HSM Coxeter (1969) Введение в геометрию , §6.9 Эллиптическая плоскость, стр. 92–95. John Wiley & Sons .
«Эллиптическая геометрия», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Феликс Клейн (1871) «О так называемой неевклидовой геометрии» Mathematische Annalen 4:573–625, переведено и представлено в книге Джона Стиллвелла (1996) Источники гиперболической геометрии , Американское математическое общество ISBN 0-8218-0529-0 .
Борис Оденал "Об изотропных конгруэнциях прямых в эллиптическом трехмерном пространстве"
Эдуард Штуд (1913) Переводчик Д. Х. Дельфенича, «Основы и цели аналитической кинематики», стр. 20.
Альфред Тарский (1951) Метод решения для элементарной алгебры и геометрии . Издательство Калифорнийского университета.
Францен, Торкель (2005). Теорема Гёделя: неполное руководство по ее использованию и злоупотреблению . AK Peters. ISBN 1-56881-238-8.
Альфред Норт Уайтхед (1898) Универсальная алгебра. Архивировано 03.09.2014 в Wayback Machine , Книга VI Глава 2: Эллиптическая геометрия, стр. 371–98.

Внешние ссылки

Медиафайлы по теме Эллиптическая геометрия на Wikimedia Commons