Эссенциальная нижняя грань и эссенциальная супремум

Инфимум и супремум почти везде.

В математике понятия существенной нижней и существенной верхней грани родственны понятиям нижней и верхней граней , но адаптированы для измерения теории и функционального анализа , где часто приходится иметь дело с утверждениями, которые справедливы не для всех элементов множества , а скорее почти для всех элементов множества. везде , кроме множества меры нуль .

Хотя точное определение не является сразу простым, интуитивно основная верхняя граница функции — это наименьшее значение, которое больше или равно значениям функции повсюду, игнорируя при этом то, что функция делает в наборе точек нулевой меры. Например, если взять функцию , равную нулю везде, кроме точки где , то верхняя грань функции будет равна единице. Однако ее существенная верхняя грань равна нулю, если мы применяем меру Лебега-Бореля и можем игнорировать то, что функция делает в той единственной точке, где она является пекулярной. Аналогичным образом определяется существенная нижняя грань. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(0)=1,}$ ${\displaystyle f}$

Определение

Как это часто бывает в вопросах теории меры, определение существенного супремума и нижней границы начинается не с вопроса о том, что функция делает в точках (т. е. образе ) , а скорее с вопроса о наборе точек, где равно конкретное значение (то есть прообраз under ) . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$

Пусть — вещественная функция , определенная на множестве. Супремум функции характеризуется следующим свойством: для всех и если для некоторых имеем для всех то. Более конкретно, вещественное число называется верхней границей для , если для всех , что , если множество пусто . Пусть – набор верхних границ и определим нижнюю границу пустого множества по Тогда верхняя грань равна , если набор верхних границ непуст, и в противном случае. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\leq \sup f\leq \infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \sup f\leq a.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle x\in X;}$ $${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}}$$ $${\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\varnothing \}\,}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \inf \varnothing =+\infty .}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \sup f=\inf U_{f}}$$ ${\displaystyle U_{f}}$ ${\displaystyle \sup f=+\infty }$

Теперь предположим дополнительно, что это пространство с мерой , и для простоты предположим, что функция измерима. Подобно супремуму, существенный супремум функции характеризуется следующим свойством: для - почти все , а если для некоторых имеем для - почти все , то. Более конкретно, число называется числом. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f\leq a.}$ ${\displaystyle a}$существенная верхняя граница ,если измеримое множествопредставляет собой множествонулевой -меры,^[а]То есть, еслидля-почти всевПусть - множество существенных верхних границ. Тогда ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}}$$существенная супремум определяется аналогично, как если быииначе. $${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }}$$ ${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }$

Точно так же определяютсущественная нижняя грань как верхняя граньсущественная нижняя граница s, т.е. если множество существенных нижних границ непусто, и какиначе; снова есть альтернативное выражение as (при этомесли набор пуст). $${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}}$$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{a\in \mathbb {R} :f(x)\geq a{\text{ for almost all }}x\in X\}}$ ${\displaystyle -\infty }$

Примеры

На прямой рассмотрим меру Лебега и соответствующую ей 𝜎-алгебру. Определим функцию по формуле ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Верхняя грань этой функции (наибольшее значение) равна 5, а нижняя грань (наименьшее значение) равна −4. Однако функция принимает эти значения только на множествах и соответственно, которые имеют нулевую меру. Везде функция принимает значение 2. Таким образом, существенная верхняя грань и существенная нижняя грань этой функции равны 2. ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{-1\},}$

В качестве другого примера рассмотрим функцию где обозначает рациональные числа . Эта функция неограничена как сверху, так и снизу, поэтому ее верхняя и нижняя границы равны и соответственно. Однако с точки зрения меры Лебега множество рациональных чисел имеет нулевую меру; Таким образом, действительно важно то, что происходит в дополнении к этому набору, где функция задается следующим образом. Из этого следует, что существенная верхняя грань равна, а существенная нижняя грань равна $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan x,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty ,}$ ${\displaystyle \arctan x.}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle -\pi /2.}$

С другой стороны, рассмотрим функцию, определенную для всех вещественных чисел. Ее существенная верхняя грань равна , а ее существенная нижняя грань равна ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle +\infty ,}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Наконец, рассмотрим функцию then для любого и так и $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\neq 0\\0,&{\text{if }}x=0.\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mu (\{x\in \mathbb {R} :1/x>a\})\geq {\tfrac {1}{|a|}}}$ ${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty .}$

Характеристики

Если тогда и в противном случае, если имеет нулевую меру, то ^[1] ${\displaystyle \mu (X)>0}$ $${\displaystyle \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \sup f~\leq ~\sup f.}$$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle +\infty ~=~\operatorname {ess} \inf f~\geq ~\operatorname {ess} \sup f~=~-\infty .}$$

Если существенные супремумы двух функций и обе неотрицательны, то ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup(fg)~\leq ~(\operatorname {ess} \sup f)\,(\operatorname {ess} \sup g).}$

Учитывая пространство с мерой, пространство , состоящее из всех измеримых функций, ограниченных почти всюду, является полунормированным пространством , полунорма которого является существенной верхней границей абсолютного значения функции, когда ^{[nb 1]} ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}={\begin{cases}\operatorname {ess} \sup |f|&{\text{ if }}0<\mu (S),\\0&{\text{ if }}0=\mu (S),\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mu (S)\neq 0.}$

Смотрите также

• ${\displaystyle L^{p}}$пространство  - функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства с нормой p.

Примечания

1. Для неизмеримых функций определение необходимо изменить, предположив, что оно содержится в множестве нулевой меры. Альтернативно можно предположить, что мера полная . ${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}$

1. Если тогда ${\displaystyle \mu (S)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup |f|=-\infty .}$

Рекомендации

1. Дьедонне Ж .: Трактат об анализе, Vol. II. Ассошиэйтед Пресс, Нью-Йорк, 1976. стр. 172f.

Эта статья включает в себя материал из Essential supremum на сайте PlanetMath , который доступен по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .