f(R) гравитация

Теория гравитации

f ( R ) — это разновидность модифицированной теории гравитации , которая обобщает общую теорию относительности Эйнштейна . f ( R ) гравитация насамом деле представляет собой семейство теорий, каждая из которых определяется отдельной функцией f скаляра Риччи R . Самый простой случай — это просто функция, равная скаляру; это общая теория относительности. В результате введения произвольной функции может появиться свобода объяснять ускоренное расширение и формирование структуры Вселенной без добавления неизвестных форм темной энергии или темной материи . Некоторые функциональные формы могут быть вдохновлены поправками, вытекающими из квантовой теории гравитации . f ( R ) гравитация была впервые предложена в 1970 году Гансом Адольфом Бухдалом ^[1] (хотядля названия произвольной функциииспользовалось φ , а не f ). Это стало активной областью исследований после работы Старобинского по космической инфляции . ^[2] Из этой теории можно получить широкий спектр явлений, приняв различные функции; однако многие функциональные формы теперь могут быть исключены на основании наблюдений или из-за патологических теоретических проблем.

Введение

В гравитации f ( R ) пытаются обобщить лагранжиан действия Эйнштейна – Гильберта :

$${\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$$

$${\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }f(R){\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$$

тензораРиччи^[3] ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}},g=\det g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle f(R)}$

Есть два способа отследить эффект изменения на , т.е. получить уравнения поля теории . Первый — использовать метрический формализм, второй — формализм Палатини. ^[3] Хотя два формализма приводят к одним и тем же уравнениям поля для общей теории относительности, т. е. при , уравнения поля могут различаться при . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(R)}$ ${\displaystyle f(R)=R}$ ${\displaystyle f(R)\neq R}$

Метрическая f ( R ) гравитация

Вывод уравнений поля

В метрической гравитации f ( R ) к уравнениям поля приходят, варьируя действие относительно метрики и не рассматривая связь независимо. Для полноты картины мы кратко упомянем теперь основные этапы вариации действия. Основные шаги те же, что и в случае вариации действия Эйнштейна–Гильберта (подробнее см. в статье), но есть и некоторые важные различия. ${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }}$

Вариация определителя, как всегда:

$${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }}$$

Скаляр Риччи определяется как

$${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.}$$

Поэтому его изменение относительно обратной метрики определяется выражением ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\left(\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{aligned}}}$$

О втором шаге см. статью о действии Эйнштейна–Гильберта . Поскольку это разница двух связей, она должна преобразоваться как тензор. Следовательно, это можно записать как ${\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

$${\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda a}\left(\nabla _{\mu }\delta g_{a\nu }+\nabla _{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla _{a}\delta g_{\mu \nu }\right).}$$

Подставив в уравнение выше:

$${\displaystyle \delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }}$$

где – ковариантная производная , – оператор Даламбера . ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$ ${\displaystyle \square =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }}$

Обозначая , вариант действия гласит: ${\displaystyle F(R)={\frac {df}{dR}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S[g]&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(\delta f(R){\sqrt {-g}}+f(R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(F(R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\left(F(R)(R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu })-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$$

Интегрируя по частям по второму и третьему слагаемым (и пренебрегая граничными вкладами), получаем:

$${\displaystyle \delta S[g]=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\delta g^{\mu \nu }\left(F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }]F(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x.}$$

Требуя, чтобы действие оставалось инвариантным при изменении метрики , получаем уравнения поля: ${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=0}$

$${\displaystyle F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+\left[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right]F(R)=\kappa T_{\mu \nu },}$$

тензор энергии-импульса, ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

$${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} })}{\delta g^{\mu \nu }}},}$$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}}$

Обобщенные уравнения Фридмана

Предполагая метрику Робертсона-Уокера с масштабным коэффициентом, мы можем найти обобщенные уравнения Фридмана (в единицах, где ): ${\displaystyle a(t)}$ ${\displaystyle \kappa =1}$

$${\displaystyle 3FH^{2}=\rho _{\rm {m}}+\rho _{\rm {rad}}+{\frac {1}{2}}(FR-f)-3H{\dot {F}}}$$

$${\displaystyle -2F{\dot {H}}=\rho _{\rm {m}}+{\frac {4}{3}}\rho _{\rm {rad}}+{\ddot {F}}-H{\dot {F}},}$$

$${\displaystyle H={\frac {\dot {a}}{a}}}$$

параметр Хабблаtρ _mρ _радуравнениям непрерывности

$${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {m}}+3H\rho _{\rm {m}}=0;}$$

$${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {rad}}+4H\rho _{\rm {rad}}=0.}$$

Модифицированная постоянная Ньютона

Интересной особенностью этих теорий является тот факт, что гравитационная постоянная зависит от времени и масштаба. ^[4] Чтобы убедиться в этом, добавим к метрике небольшое скалярное возмущение (в ньютоновской калибровке ):

$${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-(1+2\Phi )\mathrm {d} t^{2}+\alpha ^{2}(1-2\Psi )\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$$

ΦΨуравнение ПуассонаG _effмасштабах2 ^≫ a 2 ^H 2 ⁾

$${\displaystyle \Phi =-4\pi G_{\mathrm {eff} }{\frac {a^{2}}{k^{2}}}\delta \rho _{\mathrm {m} }}$$

δ ρ _mkG _eff

$${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{8\pi F}}{\frac {1+4{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},}$$

$${\displaystyle m\equiv {\frac {RF_{,R}}{F}}.}$$

Массивные гравитационные волны

Этот класс теорий при линеаризации демонстрирует три режима поляризации гравитационных волн , два из которых соответствуют безмассовому гравитону (спиральность ±2), а третий (скалярный) обусловлен тем фактом, что если мы примем во внимание конформное преобразование, Теория четвертого порядка f ( R ) становится общей теорией относительности плюс скалярное поле . Чтобы увидеть это, определите

$${\displaystyle \Phi \to f'(R)\quad {\textrm {and}}\quad {\frac {dV}{d\Phi }}\to {\frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},}$$

$${\displaystyle \Box \Phi ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \Phi }}}$$

Работая над первым порядком теории возмущений:

$${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$$

$${\displaystyle \Phi =\Phi _{0}+\delta \Phi }$$

z

$${\displaystyle h_{\mu \nu }(t,z;\omega )=A^{+}(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{+}+A^{\times }(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{\times }+h_{f}(v_{\mathrm {g} }t-z;\omega )\eta _{\mu \nu }}$$

$${\displaystyle h_{f}\equiv {\frac {\delta \Phi }{\Phi _{0}}},}$$

и v _g ( ω ) = d ω /d k — групповая скорость волнового пакета h _f с центром на волновом векторе k . Первые два члена соответствуют обычным поперечным поляризациям из общей теории относительности, а третий соответствует новой моде массивной поляризации в теориях f ( R ). Этот режим представляет собой смесь безмассовой поперечной моды дыхания (но не бесследовой) и массивной продольной скалярной моды. ^{[5] [6]} Поперечные и бесследовые моды (также известные как тензорные моды) распространяются со скоростью света , но массивная скалярная мода движется со скоростью v _G  < 1 (в единицах, где c  = 1), эта мода дисперсионный. Однако в формализме гравитационной метрики f ( R ) для модели (также известной как чистая модель) третья мода поляризации является чистой дыхательной модой и распространяется со скоростью света в пространстве-времени. ^[7] ${\displaystyle f(R)=\alpha R^{2}}$ ${\displaystyle R^{2}}$

Эквивалентный формализм

При некоторых дополнительных условиях ^[8] можно упростить анализ теорий f ( R ), введя вспомогательное поле Φ . Предполагая, что для всех R , пусть V ( Φ ) будет преобразованием Лежандра f ( R ) , так что и . Тогда получается действие О'Хэнлона (1972): ${\displaystyle f''(R)\neq 0}$ ${\displaystyle \Phi =f'(R)}$ ${\displaystyle R=V'(\Phi )}$

$${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[{\frac {1}{2\kappa }}\left(\Phi R-V(\Phi )\right)+{\mathcal {L}}_{\text{m}}\right].}$$

Имеем уравнения Эйлера–Лагранжа

$${\displaystyle V'(\Phi )=R}$$

$${\displaystyle \Phi \left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)+\left(g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }V(\Phi )=\kappa T_{\mu \nu }}$$

Исключив Φ , получим точно такие же уравнения, как и раньше. Однако уравнения имеют только второй порядок по производным, а не четвертый.

В настоящее время мы работаем с рамкой Jordan . Выполнив конформное масштабирование

$${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi g_{\mu \nu },}$$

систему Эйнштейна

$${\displaystyle R=\Phi \left[{\tilde {R}}+{\frac {3{\tilde {\Box }}\Phi }{\Phi }}-{\frac {9}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}\right]}$$

$${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}-{\frac {V(\Phi )}{\Phi ^{2}}}\right]}$$

Определение и замена ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}={\sqrt {3}}\ln {\Phi }}$

$${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {\Phi }}\right)^{2}-{\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})\right]}$$

$${\displaystyle {\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})=e^{-{\frac {2}{\sqrt {3}}}{\tilde {\Phi }}}V\left(e^{{\tilde {\Phi }}/{\sqrt {3}}}\right).}$$

Это общая теория относительности, соединенная с реальным скалярным полем: использование теории f ( R ) для описания ускоряющейся Вселенной практически эквивалентно использованию квинтэссенции . (По крайней мере, это эквивалентно оговорке, что мы еще не определили связи материи, поэтому (например) гравитация f ( R ), в которой материя минимально связана с метрикой (т. е. в жордановой системе координат), эквивалентна теории квинтэссенции в котором скалярное поле является посредником пятой силы с силой гравитации.)

Палатини f ( R ) гравитация

В Палатини f ( R ) гравитации метрику и связь рассматривают независимо и варьируют действие по отношению к каждой из них в отдельности. Лагранжиан материи предполагается независимым от связи. Было показано, что эти теории эквивалентны теории Бранса – Дике с ω = - 3 ⁄ 2 . ^{[9] [10]} Однако из-за структуры теории теории Палатини f ( R ) кажутся противоречащими Стандартной модели, ^{[9] [11]} могут нарушать эксперименты Солнечной системы, ^[10] и кажутся создавать нежелательные особенности. ^[12]

Метрическая аффинная f ( R ) гравитация

В метрически-аффинной гравитации f ( R ) можно обобщать вещи еще дальше, рассматривая как метрику, так и связь независимо, и предполагая, что лагранжиан материи также зависит от связи.

Наблюдательные испытания

Поскольку существует множество потенциальных форм f ( R )-гравитации, трудно найти общие тесты. Кроме того, поскольку в некоторых случаях отклонения от общей теории относительности могут быть сколь угодно малы, невозможно окончательно исключить некоторые модификации. Некоторого прогресса можно добиться, не принимая конкретную форму функции f ( R ) путем расширения Тейлора

$${\displaystyle f(R)=a_{0}+a_{1}R+a_{2}R^{2}+\cdots }$$

Первый член подобен космологической постоянной и должен быть мал. Следующий коэффициент a ₁ может быть установлен равным единице, как и в общей теории относительности. Для метрической гравитации f ( R ) (в отличие от гравитации Палатини или метрически-аффинной f ( R ) гравитации) квадратичный член лучше всего ограничивается измерениями пятой силы , поскольку это приводит к поправке Юкавы к гравитационному потенциалу. Лучшие текущие границы | 2 | _{_} <4 × 10 ⁻⁹  м ² или эквивалентно | 2 | _{_} <2,3 × 10 ²²  ГэВ ^-2 . ^{[13] [14]}

Параметризованный постньютоновский формализм предназначен для ограничения общих модифицированных теорий гравитации. Однако гравитация f ( R ) имеет многие из тех же значений, что и общая теория относительности, и поэтому неотличима с помощью этих тестов. ^[15] В частности, отклонение света остается неизменным, поэтому гравитация f ( R ), как и Общая теория относительности, полностью соответствует границам слежения Кассини . ^[13]

Старобинский гравитационный

Гравитация Старобинского имеет следующий вид

$${\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}}$$

^[16] ${\displaystyle M}$

Гравитация Старобинского обеспечивает механизм космической инфляции сразу после Большого взрыва , когда она еще была большой. Однако оно не подходит для описания нынешнего ускорения Вселенной , поскольку в настоящее время оно очень мало. ^{[17] [18] [19]} Это означает, что квадратичный член в пренебрежимо мал, т. е. человек стремится к тому, что является общей теорией относительности с нулевой космологической постоянной . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}}$ ${\displaystyle f(R)=R}$

Гравитация Гогои-Госвами

Гравитация Гогои-Госвами имеет следующий вид

$${\displaystyle f(R)=R-{\frac {\alpha }{\pi }}R_{c}\cot ^{-1}\left({\frac {R_{c}^{2}}{R^{2}}}\right)-\beta R_{c}\left[1-\exp \left(-{\frac {R}{R_{c}}}\right)\right]}$$

^[20] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle R_{c}}$

Тензорное обобщение

f ( R ) гравитация, представленная в предыдущих разделах, представляет собой скалярную модификацию общей теории относительности. В более общем смысле мы можем иметь

$${\displaystyle \int \mathrm {d} ^{D}x{\sqrt {-g}}\,f(R,R^{\mu \nu }R_{\mu \nu },R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma })}$$

Риччитензора ВейляfR ), конформная гравитациягравитация Гаусса – Боннегравитация Лавлока

Смотрите также

• Расширенные теории гравитации
• Гравитация Гаусса – Бонне
• Лавлок гравитация

Рекомендации

1. Бухдал, HA (1970). «Нелинейные лагранжианы и космологическая теория». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 150 : 1–8. Бибкод : 1970MNRAS.150....1B. дои : 10.1093/mnras/150.1.1 .
2. Старобинский, А.А. (1980). «Новый тип изотропных космологических моделей без сингулярности». Буквы по физике Б. 91 (1): 99–102. Бибкод : 1980PhLB...91...99S. дои : 10.1016/0370-2693(80)90670-X.
3. Л. Амендола и С. Цудзикава (2013) «Темная энергия, теория и наблюдения» Издательство Кембриджского университета
4. Цудзикава, Синдзи (2007). «Возмущения плотности материи и эффективная гравитационная постоянная в модифицированных гравитационных моделях темной энергии». Физический обзор D . 76 (2): 023514. arXiv : 0705.1032 . Бибкод : 2007PhRvD..76b3514T. doi : 10.1103/PhysRevD.76.023514. S2CID  119324187.
5. Лян, Диконг; Гонг, Юнги; Хоу, Шаоци; Лю, Юньци (2017). «Поляризации гравитационных волн в f(R)-гравитации». Физ. Преподобный Д. 95 (10): 104034. arXiv : 1701.05998 . Бибкод : 2017PhRvD..95j4034L. doi : 10.1103/PhysRevD.95.104034. S2CID  119005163.
6. Гогои, Дхруба Джьоти; Дев Госвами, Умананда (2020). «Новая модель гравитации f(R) и свойства гравитационных волн в ней». Европейский физический журнал C . 80 (12): 1101. arXiv : 2006.04011 . Бибкод : 2020EPJC...80.1101G. doi : 10.1140/epjc/s10052-020-08684-3. S2CID  219530929.
7. Гогои, Дхруба Джьоти; Дев Госвами, Умананда (2022). «Гравитационные волны в модели степенного закона гравитации f(R)». Индийский физический журнал . 96 (2): 637. arXiv : 1901.11277 . Бибкод : 2022InJPh..96..637G. doi : 10.1007/s12648-020-01998-8. S2CID  231655238.
8. Де Феличе, Антонио; Цудзикава, Синдзи (2010). «Теории f(R)». Живые обзоры в теории относительности . 13 (1): 3. arXiv : 1002.4928 . Бибкод : 2010LRR....13....3D. дои : 10.12942/lrr-2010-3. ПМЦ 5255939 . ПМИД  28179828. 
9. Фланаган, Э.Э. (2004). «Конформная свобода отсчета в теориях гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 21 (15): 3817–3829. arXiv : gr-qc/0403063 . Бибкод : 2004CQGra..21.3817F. дои : 10.1088/0264-9381/21/15/N02. S2CID  117619981.
10. Олмо, GJ (2005). «Гравитационный лагранжиан согласно экспериментам Солнечной системы». Письма о физических отзывах . 95 (26): 261102. arXiv : gr-qc/0505101 . Бибкод : 2005PhRvL..95z1102O. doi :10.1103/PhysRevLett.95.261102. PMID  16486333. S2CID  27440524.
11. Иглесиас, А.; Калопер, Н.; Падилья, А.; Парк, М. (2007). «Как (не) использовать формулировку Палатини скалярно-тензорной гравитации». Физический обзор D . 76 (10): 104001. arXiv : 0708.1163 . Бибкод : 2007PhRvD..76j4001I. doi :10.1103/PhysRevD.76.104001.
12. Бараус, Э.; Сотириу, ТП; Миллер, Дж. К. (2008). «Теорема о запрете для политропных сфер в гравитации Палатини f ( R )». Классическая и квантовая гравитация . 25 (6): 062001. arXiv : gr-qc/0703132 . Бибкод : 2008CQGra..25f2001B. дои : 10.1088/0264-9381/25/6/062001. S2CID  119370540.
13. Берри, CPL; Гейр, младший (2011). «Линеаризованная f ( R ) гравитация: гравитационное излучение и испытания Солнечной системы». Физический обзор D . 83 (10): 104022. arXiv : 1104.0819 . Бибкод : 2011PhRvD..83j4022B. doi : 10.1103/PhysRevD.83.104022. S2CID  119202399.
14. Сембранос, JAR (2009). «Темная материя из R ² Gravity». Письма о физических отзывах . 102 (14): 141301. arXiv : 0809.1653 . Бибкод : 2009PhRvL.102n1301C. doi : 10.1103/PhysRevLett.102.141301. PMID  19392422. S2CID  33042847.
15. Клифтон, Т. (2008). «Параметризованный постньютоновский предел теорий гравитации четвертого порядка». Физический обзор D . 77 (2): 024041. arXiv : 0801.0983 . Бибкод : 2008PhRvD..77b4041C. doi : 10.1103/PhysRevD.77.024041. S2CID  54174617.
16. Старобинский, А.А. (1980). «Новый тип изотропных космологических моделей без сингулярности». Буквы по физике Б. 91 (1): 99–102. Бибкод : 1980PhLB...91...99S. дои : 10.1016/0370-2693(80)90670-X.
17. «Будет ли Вселенная расширяться вечно?». НАСА . 24 января 2014 года . Проверено 16 марта 2015 г.
18. Бирон, Лорен (7 апреля 2015 г.). «Наша Вселенная плоская». сайт симметрии . ФермиЛаб/SLAC.
19. Маркус Ю. Ю (2011). «Неожиданные связи». Инженерия и наука . LXXIV1: 30.
20. Гогои, Дхруба Джьоти; Дев Госвами, Умананда (2020). «Новая модель гравитации f(R) и свойства гравитационных волн в ней». Европейский физический журнал C . 80 (12): 1101. arXiv : 2006.04011 . Бибкод : 2020EPJC...80.1101G. doi : 10.1140/epjc/s10052-020-08684-3. S2CID  219530929.

дальнейшее чтение

• См. главу 29 в учебнике «Частицы и квантовые поля» Кляйнерта Х. (2016), World Scientific (Сингапур, 2016) (также доступно онлайн).
• Сотириу, ТП; Фараони, В. (2010). «f(R) Теории гравитации». Обзоры современной физики . 82 (1): 451–497. arXiv : 0805.1726 . Бибкод : 2010РвМП...82..451С. doi : 10.1103/RevModPhys.82.451. S2CID  15024691.
• Сотириу, Т.П. (2009). «6+1 урок гравитации f(R)». Физический журнал: серия конференций . 189 (9): 012039. arXiv : 0810.5594 . Бибкод : 2009JPhCS.189a2039S. дои : 10.1088/1742-6596/189/1/012039. S2CID  14820388.
• Капоцциелло, С.; Де Лаурентис, М. (2011). «Расширенные теории гравитации». Отчеты по физике . 509 (4–5): 167–321. arXiv : 1108.6266 . Бибкод : 2011PhR...509..167C. doi :10.1016/j.physrep.2011.09.003. S2CID  119296243.
• Сальваторе Капоцциелло и Мариафелисия Де Лаурентис, (2015) «Теории гравитации F (R)». Scholarpedia, doi:10.4249/scholarpedia.31422
• Калвакота, Вайбхав Р., (2021) «Исследование f(R)» гравитации и космологии». Архив препринтов по математической физике, https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/c/21/21-38.pdf

Внешние ссылки

• f(R) гравитация на arxiv.org
• Расширенные теории гравитации