f(R) гравитация

Теория гравитации

f ( R ) — это типтеории гравитации , которая обобщает общую теорию относительности Эйнштейна . f ( R ) гравитация на самом деле является семейством теорий, каждая из которых определяется различной функцией f скаляра Риччи R . Простейшим случаем является просто равенство функции скаляру; это общая теория относительности. В результате введения произвольной функции может появиться свобода объяснения ускоренного расширения и формирования структуры Вселенной без добавления неизвестных форм темной энергии или темной материи . Некоторые функциональные формы могут быть вдохновлены поправками, вытекающими из квантовой теории гравитации . f ( R ) гравитация была впервые предложена в 1970 году Гансом Адольфом Бухдалем ^[1] (хотявместо f использовалось ϕ для названия произвольной функции). Она стала активной областью исследований после работы Старобинского по космической инфляции . ^[2] Широкий спектр явлений может быть получен из этой теории путем принятия различных функций; Однако многие функциональные формы теперь можно исключить на основании наблюдений или из-за патологических теоретических проблем.

Введение

В гравитации f ( R ) делается попытка обобщить лагранжиан действия Эйнштейна -Гильберта : где — определитель метрического тензора , а f ( R ) — некоторая функция скаляра Риччи . ^[3 ] $${\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$$ $${\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }f(R){\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$$ ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}},g=\det g_{\mu \nu }}$

Существует два способа отслеживать эффект изменения R на f ( R ), т. е. получить уравнения поля теории . Первый способ — использовать метрический формализм, а второй — использовать формализм Палатини. ^[3] Хотя эти два формализма приводят к одним и тем же уравнениям поля для общей теории относительности, т. е. когда f ( R ) = R , уравнения поля могут различаться, когда f ( R ) ≠ R .

Метрическаяф(Р) гравитация

Вывод уравнений поля

В метрической f ( R ) гравитации уравнения поля достигаются путем варьирования действия относительно метрики и не рассматриваются независимо от связи . Для полноты мы сейчас кратко упомянем основные шаги варьирования действия. Основные шаги такие же, как и в случае варьирования действия Эйнштейна–Гильберта (см. статью для более подробной информации), но есть и некоторые важные различия. ${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }}$

Вариация определителя, как всегда, имеет вид: $${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }}$$

Скаляр Риччи определяется как $${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.}$$

Поэтому его изменение относительно обратной метрики определяется выражением ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\left(\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{aligned}}}$$

Для второго шага см. статью о действии Эйнштейна–Гильберта . Поскольку — это разность двух связей, она должна преобразовываться как тензор. Поэтому ее можно записать как ${\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ $${\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda a}\left(\nabla _{\mu }\delta g_{a\nu }+\nabla _{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla _{a}\delta g_{\mu \nu }\right).}$$

Подставим в уравнение выше: где — ковариантная производная , а — оператор Даламбера . $${\displaystyle \delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }}$$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$ ${\displaystyle \square =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }}$

Обозначая , вариация действия выглядит следующим образом: ${\displaystyle F(R)={\frac {df}{dR}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S[g]&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(\delta f(R){\sqrt {-g}}+f(R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(F(R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\left(F(R)(R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu })-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$$

Выполнив интегрирование по частям по второму и третьему членам (и пренебрегши граничными вкладами), получим: $${\displaystyle \delta S[g]=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\delta g^{\mu \nu }\left(F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }]F(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x.}$$

Требуя, чтобы действие оставалось инвариантным относительно изменений метрики, , получаем уравнения поля: где — тензор энергии-импульса, определяемый как где — лагранжиан материи. ${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=0}$ $${\displaystyle F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+\left[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right]F(R)=\kappa T_{\mu \nu },}$$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} })}{\delta g^{\mu \nu }}},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}}$

Обобщенные уравнения Фридмана

Предполагая метрику Робертсона–Уокера с масштабным коэффициентом, мы можем найти обобщенные уравнения Фридмана , которые будут иметь вид (в единицах, где ): где — параметр Хаббла , точка — производная по космическому времени t , а члены ρ _m и ρ _rad представляют плотности материи и излучения соответственно; они удовлетворяют уравнениям непрерывности : ${\displaystyle a(t)}$ ${\displaystyle \kappa =1}$ $${\displaystyle 3FH^{2}=\rho _{\rm {m}}+\rho _{\rm {rad}}+{\frac {1}{2}}(FR-f)-3H{\dot {F}}}$$ $${\displaystyle -2F{\dot {H}}=\rho _{\rm {m}}+{\frac {4}{3}}\rho _{\rm {rad}}+{\ddot {F}}-H{\dot {F}},}$$ $${\displaystyle H={\frac {\dot {a}}{a}}}$$ $${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {m}}+3H\rho _{\rm {m}}=0;}$$ $${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {rad}}+4H\rho _{\rm {rad}}=0.}$$

Модифицированная гравитационная постоянная

Интересной особенностью этих теорий является тот факт, что гравитационная постоянная зависит от времени и масштаба. ^[4] Чтобы увидеть это, добавьте небольшое скалярное возмущение к метрике (в ньютоновской калибровке ): где Φ и Ψ — ньютоновские потенциалы, и используйте уравнения поля в первом порядке. После некоторых длинных вычислений можно определить уравнение Пуассона в пространстве Фурье и приписать дополнительные члены, которые появляются в правой части, эффективной гравитационной постоянной G _eff . Сделав так, мы получим гравитационный потенциал (справедливый на масштабах ниже горизонта k ² ≫ a ² H ² ): где δ ρ _m — возмущение плотности материи, k — масштаб Фурье, а G _eff равен: с $${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-(1+2\Phi )\mathrm {d} t^{2}+\alpha ^{2}(1-2\Psi )\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$$ $${\displaystyle \Phi =-4\pi G_{\mathrm {eff} }{\frac {a^{2}}{k^{2}}}\delta \rho _{\mathrm {m} }}$$ $${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{8\pi F}}{\frac {1+4{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},}$$ $${\displaystyle m\equiv {\frac {RF_{,R}}{F}}.}$$

Массивные гравитационные волны

Этот класс теорий при линеаризации демонстрирует три поляризационных режима для гравитационных волн , из которых два соответствуют безмассовому гравитону (спиральности ±2), а третий (скалярный) исходит из того факта, что если мы принимаем во внимание конформное преобразование, то теория четвертого порядка f ( R ) становится общей теорией относительности плюс скалярное поле . Чтобы увидеть это, определите и используйте уравнения поля выше, чтобы получить $${\displaystyle \Phi \to f'(R)\quad {\textrm {and}}\quad {\frac {dV}{d\Phi }}\to {\frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},}$$ $${\displaystyle \Box \Phi ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \Phi }}}$$

Работая в первом порядке теории возмущений: и после некоторой утомительной алгебры, можно решить для метрического возмущения, которое соответствует гравитационным волнам. Конкретный компонент частоты для волны, распространяющейся в направлении z , может быть записан как где и v _g ( ω ) = d ω /d k - групповая скорость волнового пакета h _{f ,} центрированного на волновом векторе k . Первые два члена соответствуют обычным поперечным поляризациям из общей теории относительности, в то время как третий соответствует новому массивному поляризационному режиму теорий f ( R ). Этот режим представляет собой смесь безмассового поперечного дыхательного режима (но не бесследового) и массивного продольного скалярного режима. ^{[5] [6]} Поперечные и бесследовые моды (также известные как тензорные моды) распространяются со скоростью света , но массивный скалярный режим движется со скоростью v _G  < 1 (в единицах, где c  = 1), этот режим является дисперсионным. Однако в формализме метрики гравитации f ( R ) для модели (также известной как чистая модель) третья поляризационная мода является чистой дыхательной модой и распространяется со скоростью света через пространство-время. ^[7] $${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$$ $${\displaystyle \Phi =\Phi _{0}+\delta \Phi }$$ $${\displaystyle h_{\mu \nu }(t,z;\omega )=A^{+}(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{+}+A^{\times }(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{\times }+h_{f}(v_{\mathrm {g} }t-z;\omega )\eta _{\mu \nu }}$$ $${\displaystyle h_{f}\equiv {\frac {\delta \Phi }{\Phi _{0}}},}$$ ${\displaystyle f(R)=\alpha R^{2}}$ ${\displaystyle R^{2}}$

Эквивалентный формализм

При некоторых дополнительных условиях ^[8] мы можем упростить анализ теорий f ( R ), введя вспомогательное поле Φ . Предполагая для всех R , пусть V ( Φ ) будет преобразованием Лежандра для f ( R ) так, что и . Тогда получаем действие О'Хэнлона (1972): ${\displaystyle f''(R)\neq 0}$ ${\displaystyle \Phi =f'(R)}$ ${\displaystyle R=V'(\Phi )}$ $${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[{\frac {1}{2\kappa }}\left(\Phi R-V(\Phi )\right)+{\mathcal {L}}_{\text{m}}\right].}$$

Имеем уравнения Эйлера–Лагранжа : $${\displaystyle V'(\Phi )=R}$$ $${\displaystyle \Phi \left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)+\left(g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }V(\Phi )=\kappa T_{\mu \nu }}$$

Исключая Φ , мы получаем точно такие же уравнения, как и раньше. Однако уравнения имеют только второй порядок по производным, а не четвертый.

В настоящее время мы работаем с системой отсчета Жордана . Выполняя конформное масштабирование: мы преобразуемся в систему отсчета Эйнштейна : после интегрирования по частям. $${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi g_{\mu \nu },}$$ $${\displaystyle R=\Phi \left[{\tilde {R}}+{\frac {3{\tilde {\Box }}\Phi }{\Phi }}-{\frac {9}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}\right]}$$ $${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}-{\frac {V(\Phi )}{\Phi ^{2}}}\right]}$$

Определение и замена ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}={\sqrt {3}}\ln {\Phi }}$ $${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {\Phi }}\right)^{2}-{\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})\right]}$$ $${\displaystyle {\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})=e^{-{\frac {2}{\sqrt {3}}}{\tilde {\Phi }}}V\left(e^{{\tilde {\Phi }}/{\sqrt {3}}}\right).}$$

Это общая теория относительности, связанная с реальным скалярным полем: использование теорий f ( R ) для описания ускоряющейся Вселенной практически эквивалентно использованию квинтэссенции . (По крайней мере, эквивалентно с той оговоркой, что мы еще не определили связи материи, поэтому (например) гравитация f ( R ), в которой материя минимально связана с метрикой (т. е. в системе Жордана), эквивалентна теории квинтэссенции, в которой скалярное поле опосредует пятую силу с гравитационной силой.)

Палатиниф(Р) гравитация

В гравитации Palatini f ( R ) метрика и связь рассматриваются независимо и действие изменяется относительно каждой из них по отдельности. Предполагается, что материальный лагранжиан не зависит от связи. Было показано, что эти теории эквивалентны теории Бранса–Дикке с ω = − 3 ⁄ 2 . ^{[9] [10]} Однако из-за структуры теории теории Palatini f ( R ) кажутся противоречащими Стандартной модели, ^{[9] [11]} могут нарушать эксперименты Солнечной системы, ^[10] и, по-видимому, создавать нежелательные сингулярности. ^[12]

Метрически-аффинныйф(Р) гравитация

В метрико-аффинной f ( R ) гравитации мы обобщаем вещи еще больше, рассматривая как метрику, так и связность независимо и предполагая, что лагранжиан материи также зависит от связности.

Наблюдательные тесты

Поскольку существует множество потенциальных форм гравитации f ( R ), трудно найти общие тесты. Кроме того, поскольку отклонения от общей теории относительности могут быть сделаны произвольно малыми в некоторых случаях, невозможно окончательно исключить некоторые модификации. Некоторый прогресс может быть достигнут без предположения конкретной формы для функции f ( R ) путем расширения Тейлора $${\displaystyle f(R)=a_{0}+a_{1}R+a_{2}R^{2}+\cdots }$$

Первый член подобен космологической постоянной и должен быть малым. Следующий коэффициент a ₁ может быть установлен равным единице, как в общей теории относительности. Для метрической f ( R ) гравитации (в отличие от Палатини или метрически-аффинной f ( R ) гравитации) квадратичный член лучше всего ограничивается измерениями пятой силы , поскольку он приводит к поправке Юкавы к гравитационному потенциалу. Наилучшие текущие границы: | a ₂ | <4 × 10−9  м ² или эквивалентно | a ₂ ^| <2,3 × 10 ²²  ГэВ ⁻² . ^{[13] [14]}

Параметризованный постньютоновский формализм разработан для того, чтобы иметь возможность ограничивать общие модифицированные теории гравитации. Однако f ( R ) гравитация разделяет многие из тех же значений, что и общая теория относительности, и поэтому неразличима с помощью этих тестов. ^[15] В частности, отклонение света не меняется, поэтому f ( R ) гравитация, как и общая теория относительности, полностью согласуется с ограничениями из отслеживания Кассини . ^[13]

Старобинский гравитационный

Старобинская гравитация имеет следующий вид , где имеет размерность массы. ^[16] $${\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}}$$ ${\displaystyle M}$

Гравитация Старобинского обеспечивает механизм космической инфляции сразу после Большого взрыва , когда R все еще было большим. Однако она не подходит для описания современного ускорения Вселенной, поскольку в настоящее время R очень мало. ^{[17] [18] [19]} Это означает, что квадратичный член в пренебрежимо мал, т. е. мы стремимся к f ( R ) = R , что является общей теорией относительности с нулевой космологической постоянной . ${\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}}$

Гравитация Гогои-Госвами

Гравитация Гогои-Госвами имеет следующую форму , где и — две безразмерные положительные константы, а R _c — характеристическая константа кривизны. ^[20] $${\displaystyle f(R)=R-{\frac {\alpha }{\pi }}R_{c}\cot ^{-1}\left({\frac {R_{c}^{2}}{R^{2}}}\right)-\beta R_{c}\left[1-\exp \left(-{\frac {R}{R_{c}}}\right)\right]}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Тензорное обобщение

f ( R ) гравитация, представленная в предыдущих разделах, является скалярной модификацией общей теории относительности. В более общем смысле, мы можем иметь связь, включающую инварианты тензора Риччи и тензора Вейля . Особыми случаями являются f ( R ) гравитация, конформная гравитация , гравитация Гаусса–Бонне и гравитация Лавлока . Обратите внимание, что при любой нетривиальной тензорной зависимости мы обычно имеем дополнительные массивные степени свободы спина 2, в дополнение к безмассовому гравитону и массивному скаляру. Исключением является гравитация Гаусса–Бонне, где члены четвертого порядка для компонент спина 2 сокращаются. $${\displaystyle \int \mathrm {d} ^{D}x{\sqrt {-g}}\,f(R,R^{\mu \nu }R_{\mu \nu },R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma })}$$

Смотрите также

• Расширенные теории гравитации
• Гравитация Гаусса-Бонне
• Гравитация Лавлока

Ссылки

1. Buchdahl, HA (1970). «Нелинейные лагранжианы и космологическая теория». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 150 : 1–8. Bibcode :1970MNRAS.150....1B. doi : 10.1093/mnras/150.1.1 .
2. Старобинский, АА (1980). «Новый тип изотропных космологических моделей без сингулярности». Physics Letters B. 91 ( 1): 99–102. Bibcode :1980PhLB...91...99S. doi :10.1016/0370-2693(80)90670-X.
3. Л. Амендола и С. Цудзикава (2013) «Темная энергия, теория и наблюдения» Издательство Кембриджского университета
4. Цудзикава, Синдзи (2007). «Возмущения плотности материи и эффективная гравитационная постоянная в модифицированных гравитационных моделях темной энергии». Physical Review D. 76 ( 2): 023514. arXiv : 0705.1032 . Bibcode : 2007PhRvD..76b3514T. doi : 10.1103/PhysRevD.76.023514. S2CID  119324187.
5. Лян, Диконг; Гун, Юнгуй; Хоу, Шаоци; Лю, Юньци (2017). «Поляризации гравитационных волн в f ( R ) гравитации». Phys. Rev. D . 95 (10): 104034. arXiv : 1701.05998 . Bibcode :2017PhRvD..95j4034L. doi :10.1103/PhysRevD.95.104034. S2CID  119005163.
6. Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev Goswami, Umananda (2020). "Новая модель гравитации f(R) и свойства гравитационных волн в ней". The European Physical Journal C. 80 ( 12): 1101. arXiv : 2006.04011 . Bibcode : 2020EPJC...80.1101G. doi : 10.1140/epjc/s10052-020-08684-3. S2CID  219530929.
7. Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev Goswami, Umananda (2022). "Gravitational Waves in f(R) Gravity Power Law Model". Indian Journal of Physics . 96 (2): 637. arXiv : 1901.11277 . Bibcode : 2022InJPh..96..637G. doi : 10.1007/s12648-020-01998-8. S2CID  231655238.
8. Де Феличе, Антонио; Цудзикава, Синдзи (2010). "f(R) Теории". Living Reviews in Relativity . 13 (1): 3. arXiv : 1002.4928 . Bibcode : 2010LRR ....13....3D. doi : 10.12942/lrr-2010-3 . PMC 5255939. PMID  28179828. 
9. Flanagan, EE (2004). «Свобода конформной системы отсчета в теориях гравитации». Classical and Quantum Gravity . 21 (15): 3817–3829. arXiv : gr-qc/0403063 . Bibcode : 2004CQGra..21.3817F. doi : 10.1088/0264-9381/21/15/N02. S2CID  117619981.
10. Olmo, GJ (2005). "Гравитационный лагранжиан согласно экспериментам в Солнечной системе". Physical Review Letters . 95 (26): 261102. arXiv : gr-qc/0505101 . Bibcode : 2005PhRvL..95z1102O. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.261102. PMID  16486333. S2CID  27440524.
11. Иглесиас, А.; Калопер, Н.; Падилла, А.; Парк, М. (2007). «Как (не) использовать формулировку Палатини скалярно-тензорной гравитации». Physical Review D. 76 ( 10): 104001. arXiv : 0708.1163 . Bibcode : 2007PhRvD..76j4001I. doi : 10.1103/PhysRevD.76.104001.
12. Barausse, E.; Sotiriou, TP; Miller, JC (2008). "Теорема о недопустимости для политропных сфер в гравитации Palatini f ( R )". Классическая и квантовая гравитация . 25 (6): 062001. arXiv : gr-qc/0703132 . Bibcode :2008CQGra..25f2001B. doi :10.1088/0264-9381/25/6/062001. S2CID  119370540.
13. Berry, CPL; Gair, JR (2011). "Линеаризованная f ( R ) гравитация: гравитационное излучение и тесты Солнечной системы". Physical Review D . 83 (10): 104022. arXiv : 1104.0819 . Bibcode :2011PhRvD..83j4022B. doi :10.1103/PhysRevD.83.104022. S2CID  119202399.
14. Cembranos, JAR (2009). "Темная материя из R ² Gravity". Physical Review Letters . 102 (14): 141301. arXiv : 0809.1653 . Bibcode : 2009PhRvL.102n1301C. doi : 10.1103/PhysRevLett.102.141301. PMID  19392422. S2CID  33042847.
15. Клифтон, Т. (2008). «Параметризованный постньютоновский предел теорий гравитации четвертого порядка». Physical Review D. 77 ( 2): 024041. arXiv : 0801.0983 . Bibcode : 2008PhRvD..77b4041C. doi : 10.1103/PhysRevD.77.024041. S2CID  54174617.
16. Старобинский, АА (1980). «Новый тип изотропных космологических моделей без сингулярности». Physics Letters B. 91 ( 1): 99–102. Bibcode :1980PhLB...91...99S. doi :10.1016/0370-2693(80)90670-X.
17. «Будет ли Вселенная расширяться вечно?». NASA . 24 января 2014 г. Получено 16 марта 2015 г.
18. Бирон, Лорен (7 апреля 2015 г.). «Наша Вселенная плоская». symmetrymagazine.org . FermiLab/SLAC.
19. Маркус Й. Ю (2011). «Неожиданные связи». Инженерное дело и наука . LXXIV1: 30.
20. Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev Goswami, Umananda (2020). "Новая модель гравитации f(R) и свойства гравитационных волн в ней". The European Physical Journal C. 80 ( 12): 1101. arXiv : 2006.04011 . Bibcode : 2020EPJC...80.1101G. doi : 10.1140/epjc/s10052-020-08684-3. S2CID  219530929.

Дальнейшее чтение

• См. главу 29 в учебнике «Частицы и квантовые поля» Кляйнерта, Х. (2016), World Scientific (Сингапур, 2016) (также доступно онлайн)
• Сотириу, Т. П.; Фараони, В. (2010). "f(R) Теории гравитации". Reviews of Modern Physics . 82 (1): 451–497. arXiv : 0805.1726 . Bibcode :2010RvMP...82..451S. doi :10.1103/RevModPhys.82.451. S2CID  15024691.
• Сотириу, TP (2009). "6+1 уроков из f(R) гравитации". Журнал физики: Серия конференций . 189 (9): 012039. arXiv : 0810.5594 . Bibcode : 2009JPhCS.189a2039S. doi : 10.1088/1742-6596/189/1/012039. S2CID  14820388.
• Capozziello, S.; De Laurentis, M. (2011). «Расширенные теории гравитации». Physics Reports . 509 (4–5): 167–321. arXiv : 1108.6266 . Bibcode : 2011PhR...509..167C. doi : 10.1016/j.physrep.2011.09.003. S2CID  119296243.
• Сальваторе Капоцциелло и Мариафелисия Де Лаурентис, (2015) « F ( R ) теории гравитации». Scholarpedia, doi:10.4249/scholarpedia.31422
• Калвакота, Вайбхав Р., (2021) «Исследование f ( R )» гравитации и космологии». Архив препринтов по математической физике, https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/c/21/21-38.pdf

Внешние ссылки

• f(R) гравитация на arxiv.org
• Расширенные теории гравитации