В теоретической физике и прикладной математике уравнение поля — это уравнение в частных производных , которое определяет динамику физического поля , в частности, эволюцию во времени и пространственное распределение поля. Решениями уравнения являются математические функции, которые напрямую соответствуют полю как функции времени и пространства. Поскольку уравнение поля является уравнением в частных производных, существуют семейства решений, которые представляют множество физических возможностей. Обычно существует не одно уравнение, а набор связанных уравнений, которые необходимо решать одновременно. Уравнения поля не являются обычными дифференциальными уравнениями, поскольку поле зависит от пространства и времени, для чего требуется как минимум две переменные.
Хотя « волновое уравнение », « уравнение диффузии » и « уравнение неразрывности » имеют стандартные формы (и различные частные случаи или обобщения), не существует единого специального уравнения, называемого «уравнением поля».
Эта тема в общих чертах распадается на уравнения классической теории поля и квантовой теории поля . Классические уравнения поля описывают многие физические свойства, такие как температура вещества, скорость жидкости, напряжения в упругом материале, электрические и магнитные поля тока и т. д. [1] Они также описывают фундаментальные силы природы, такие как электромагнетизм и гравитация. . [2] [3] В квантовой теории поля частицы или системы «частиц», такие как электроны и фотоны , связаны с полями, что допускает бесконечные степени свободы (в отличие от конечных степеней свободы в механике частиц) и переменное количество частиц, которое может быть создано или уничтожено .
Обычно уравнения поля постулируются (например, уравнения поля Эйнштейна и уравнение Шредингера , лежащее в основе всех квантовых уравнений поля) или получаются из результатов экспериментов (например, уравнения Максвелла ). Степень их достоверности — это их способность правильно прогнозировать и согласовываться с экспериментальными результатами.
С теоретической точки зрения уравнения поля могут быть сформулированы в рамках лагранжевой теории поля , гамильтоновой теории поля и теоретико-полевых формулировок принципа стационарного действия . [4] При наличии подходящей плотности лагранжиана или гамильтониана, функции полей в данной системе, а также их производных, принцип стационарного действия приведет к уравнению поля.
И в классической, и в квантовой теориях уравнения поля удовлетворяют симметрии базовой физической теории. В большинстве случаев симметрии Галилея достаточно для скоростей (распространяющихся полей) намного меньших, чем скорость света. Когда частицы и поля распространяются со скоростями, близкими к световой, симметрия Лоренца является одной из наиболее распространенных настроек, поскольку тогда уравнение и его решения согласуются со специальной теорией относительности.
Другая симметрия возникает из-за калибровочной свободы , которая присуща уравнениям поля. Поля, соответствующие взаимодействиям, могут быть калибровочными полями , что означает, что они могут быть получены из потенциала, и определенные значения потенциалов соответствуют одному и тому же значению поля.
Уравнения поля можно классифицировать по-разному: классические или квантовые, нерелятивистские или релятивистские, в зависимости от спина или массы поля, а также количества компонентов поля и того, как они изменяются при преобразованиях координат (например, скалярные поля , векторные поля , тензорные поля , спинорные поля , твисторные поля и т. д.). Они также могут наследовать классификацию дифференциальных уравнений, как линейные или нелинейные , порядок старшей производной или даже как дробные дифференциальные уравнения . Калибровочные поля можно классифицировать как в теории групп , как абелевы и неабелевы.
Уравнения поля лежат в основе волновых уравнений, поскольку периодически меняющиеся поля порождают волны. Волновые уравнения можно рассматривать как уравнения поля в том смысле, что их часто можно вывести из уравнений поля. Альтернативно, при наличии подходящих лагранжевых или гамильтониановых плотностей и использовании принципа стационарного действия можно также получить волновые уравнения.
Например, уравнения Максвелла можно использовать для вывода уравнений неоднородных электромагнитных волн , а из уравнений поля Эйнштейна можно вывести уравнения для гравитационных волн .
Не каждое уравнение в частных производных (ЧДУ) в физике автоматически называется «уравнением поля», даже если в нем участвуют поля. Это дополнительные уравнения, обеспечивающие дополнительные ограничения для данной физической системы.
« Уравнения непрерывности » и « уравнения диффузии » описывают явления переноса , хотя они могут включать в себя поля, влияющие на процессы переноса.
Если « определяющее уравнение » принимает форму УЧП и включает поля, его обычно не называют уравнением поля, поскольку оно не управляет динамическим поведением полей. Они связывают одно поле с другим в данном материале. Определяющие уравнения используются наряду с уравнениями поля, когда необходимо принять во внимание влияние материи.
Классические уравнения поля возникают в механике сплошных сред (включая эластодинамику и механику жидкости ), теплопередаче , электромагнетизме и гравитации .
Фундаментальные классические уравнения поля включают
Важные уравнения, выведенные из фундаментальных законов, включают:
В рамках реальных процессов математического моделирования классические уравнения поля сопровождаются другими уравнениями движения , уравнениями состояния , определяющими уравнениями и уравнениями неразрывности.
В квантовой теории поля частицы описываются квантовыми полями, которые удовлетворяют уравнению Шрёдингера . Они также являются операторами рождения и уничтожения , которые удовлетворяют коммутационным соотношениям и подчиняются теореме спин-статистики .
К частным случаям релятивистских квантовых уравнений поля относятся [5]
В уравнениях квантового поля обычно используются компоненты импульса частицы вместо координат положения частицы, поля находятся в пространстве импульсов , и преобразования Фурье связывают их с представлением положения.
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )