Фильтр-банк

Инструмент для цифровой обработки сигналов

В обработке сигналов банк фильтров (или банк фильтров ) представляет собой массив полосовых фильтров , который разделяет входной сигнал на несколько компонентов, каждый из которых несет поддиапазон исходного сигнала. ^[1] Одним из применений банка фильтров является графический эквалайзер , который может по-разному ослаблять компоненты и рекомбинировать их в измененную версию исходного сигнала. Процесс разложения, выполняемый банком фильтров, называется анализом (имеется в виду анализ сигнала с точки зрения его компонентов в каждом поддиапазоне); выход анализа называется сигналом поддиапазона с таким количеством поддиапазонов, сколько фильтров в банке фильтров. Процесс реконструкции называется синтезом , что означает воссоздание полного сигнала, полученного в результате процесса фильтрации.

В цифровой обработке сигналов термин «банк фильтров» также обычно применяется к банку приемников. Разница в том, что приемники также преобразуют поддиапазоны в низкую центральную частоту, которая может быть повторно дискретизирована с уменьшенной скоростью. Иногда тот же результат может быть достигнут путем субдискретизации поддиапазонов полосы пропускания.

Другое применение банков фильтров — сжатие с потерями , когда некоторые частоты важнее других. После разложения важные частоты можно кодировать с высоким разрешением. Небольшие различия на этих частотах существенны, и необходимо использовать схему кодирования , которая сохраняет эти различия. С другой стороны, менее важные частоты не обязательно должны быть точными. Можно использовать более грубую схему кодирования, даже если некоторые из более тонких (но менее важных) деталей будут потеряны при кодировании.

Вокодер использует банк фильтров для определения амплитудной информации поддиапазонов сигнала модулятора (например , голоса) и использует их для управления амплитудой поддиапазонов несущего сигнала (например, выходного сигнала гитары или синтезатора), тем самым накладывая динамические характеристики модулятора на носитель.

Изображение реализации и работы банка фильтров с весовым перекрытием (WOLA). Обертывание кольцевого входного буфера используется для компенсации фазовых разрывов, вызванных отсутствием истинной временной привязки для преобразования Фурье (DFT). ^[2]

Некоторые банки фильтров работают почти полностью во временной области, используя ряд фильтров, таких как квадратурные зеркальные фильтры или алгоритм Герцеля, чтобы разделить сигнал на меньшие полосы. Другие банки фильтров используют быстрое преобразование Фурье (БПФ).

Банки фильтров БПФ

Банк приемников может быть создан путем выполнения последовательности БПФ на перекрывающихся сегментах входного потока данных. Весовая функция (также известная как оконная функция ) применяется к каждому сегменту для управления формой частотных характеристик фильтров. Чем шире форма, тем чаще должны выполняться БПФ для удовлетворения критериев выборки Найквиста . ^[A] Для фиксированной длины сегмента величина перекрытия определяет, как часто выполняются БПФ (и наоборот). Кроме того, чем шире форма фильтров, тем меньше фильтров необходимо для охвата входной полосы пропускания. Устранение ненужных фильтров (т. е. прореживание по частоте) эффективно выполняется путем обработки каждого взвешенного сегмента как последовательности меньших блоков , а БПФ выполняется только на сумме блоков. Это называется весовым перекрытием-сложением (WOLA) и взвешенным предварительным суммированием БПФ . (см. § Выборка DTFT )

Особый случай возникает, когда по замыслу длина блоков является целым кратным интервала между БПФ. Тогда банк фильтров БПФ можно описать в терминах одной или нескольких структур полифазных фильтров, где фазы рекомбинируются БПФ вместо простого суммирования. Количество блоков на сегмент является длиной импульсной характеристики (или глубиной ) каждого фильтра. Вычислительная эффективность структур БПФ и полифазных структур на процессоре общего назначения одинакова.

Синтез (т. е. рекомбинация выходов нескольких приемников) в основном заключается в передискретизации каждого из них со скоростью, соизмеримой с общей полосой пропускания, которую необходимо создать, переводе каждого канала на его новую центральную частоту и суммировании потоков выборок. В этом контексте интерполяционный фильтр, связанный с передискретизацией, называется фильтром синтеза . Чистая частотная характеристика каждого канала является произведением фильтра синтеза на частотную характеристику банка фильтров ( фильтр анализа ). В идеале частотные характеристики соседних каналов суммируются до постоянного значения на каждой частоте между центрами каналов. Это состояние известно как идеальная реконструкция .

Банки фильтров как частотно-временные распределения

В частотно-временной обработке сигналов банк фильтров представляет собой специальное квадратичное распределение времени и частоты (TFD), которое представляет сигнал в совместной частотно-временной области . Оно связано с распределением Вигнера-Вилле двумерной фильтрацией, которая определяет класс квадратичных (или билинейных) частотно-временных распределений . ^[3] Банк фильтров и спектрограмма являются двумя простейшими способами создания квадратичного TFD; по сути, они похожи, поскольку один (спектрограмма) получается путем деления временной области на срезы и последующего выполнения преобразования Фурье, в то время как другой (банк фильтров) получается путем деления частотной области на срезы, образующие полосовые фильтры, которые возбуждаются анализируемым сигналом.

Многоскоростной банк фильтров

Многоскоростной банк фильтров делит сигнал на ряд поддиапазонов, которые могут быть проанализированы с разной скоростью, соответствующей полосе пропускания частотных диапазонов. Реализация использует понижение частоты дискретизации (децимацию) и повышение частоты дискретизации (расширение) . См. Дискретное преобразование Фурье § Свойства и Z-преобразование § Свойства для дополнительного понимания эффектов этих операций в доменах преобразования.

Узкий фильтр нижних частот

Можно определить узкий фильтр нижних частот как фильтр нижних частот с узкой полосой пропускания. Чтобы создать многоскоростной узкий фильтр нижних частот FIR, можно заменить независимый от времени фильтр нижних частот антиалиасинговым фильтром и дециматором, а также интерполятором и фильтром нижних частот анти-изображения. Таким образом, полученная многоскоростная система представляет собой изменяющийся во времени линейно-фазовый фильтр через дециматор и интерполятор. Фильтр нижних частот состоит из двух полифазных фильтров, одного для дециматора и одного для интерполятора. ^[4]

Банк фильтров делит входной сигнал на набор сигналов . Таким образом, каждый из сгенерированных сигналов соответствует отдельной области в спектре . В этом процессе области могут перекрываться (или нет, в зависимости от приложения). ${\displaystyle x\left(n\right)}$ ${\displaystyle x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...}$ ${\displaystyle x\left(n\right)}$

Генерируемые сигналы могут быть получены с помощью набора полосовых фильтров с полосами пропускания и центральными частотами (соответственно). Многоскоростной банк фильтров использует один входной сигнал, а затем производит несколько выходов сигнала путем фильтрации и субдискретизации. Для того чтобы разделить входной сигнал на два или более сигналов, можно использовать систему анализа-синтеза. ${\displaystyle x_{1}(n),x_{2}(n),x_{3}(n),...}$ ${\displaystyle {\rm {BW_{1},BW_{2},BW_{3},...}}}$ ${\displaystyle f_{c1},f_{c2},f_{c3},...}$

Сигнал будет разделен с помощью четырех фильтров для k = 0, 1, 2, 3 на 4 полосы одинаковой ширины (в банке анализа), а затем каждый подсигнал будет прорежен в 4 раза. В каждой полосе путем деления сигнала в каждой полосе мы получим различные характеристики сигнала. ${\displaystyle H_{k}(z)}$

В секции синтеза фильтр реконструирует исходный сигнал: сначала повышая дискретизацию 4 подсигналов на выходе процессора в 4 раза, а затем фильтруя 4 фильтрами синтеза для k = 0, 1, 2, 3. Наконец, выходы этих четырех фильтров складываются. ${\displaystyle F_{k}(z)}$

Статистически оптимизированный банк фильтров (банк собственных фильтров)

Структура банка фильтров с дискретным временем позволяет включать желаемые зависимые от входного сигнала характеристики в конструкцию в дополнение к более традиционному свойству идеальной реконструкции. Информационно-теоретические характеристики, такие как максимизированное уплотнение энергии, идеальная декорреляция сигналов поддиапазона и другие характеристики для заданной структуры входной ковариации/корреляции, включены в конструкцию оптимальных банков фильтров. ^[5] Эти банки фильтров напоминают зависимое от сигнала преобразование Карунена–Лоэва (KLT), которое является оптимальным блочным преобразованием, где длина L базисных функций (фильтров) и размерность подпространства M одинаковы.

Многомерные банки фильтров

Квинконсная решетка

Многомерная фильтрация , понижение и повышение частоты дискретизации являются основными частями многоскоростных систем и банков фильтров.

Полный банк фильтров состоит из анализа и синтеза. Банк фильтров анализа делит входной сигнал на различные поддиапазоны с различными частотными спектрами. Синтезирующая часть повторно собирает различные сигналы поддиапазонов и генерирует восстановленный сигнал. Два основных строительных блока — это дециматор и экспандер. Например, вход делится на четыре направленных поддиапазона, каждый из которых покрывает одну из клиновидных частотных областей. В одномерных системах M-кратные дециматоры сохраняют только те образцы, которые кратны M, и отбрасывают остальные. в то время как в многомерных системах дециматоры представляют собой невырожденную целочисленную матрицу D × D. он учитывает только те образцы, которые находятся на решетке, сгенерированной дециматором. Обычно используемый дециматор — это квинконксный дециматор, решетка которого генерируется из матрицы квинконкс , которая определяется как ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\;\;\,1&1\\-1&1\end{bmatrix}}}$

Решетка квинконкс, сгенерированная матрицей квинконкс, показана на рисунке; ​​часть синтеза является двойственной к части анализа. Банки фильтров можно анализировать с точки зрения частотной области с точки зрения разложения и реконструкции поддиапазонов. Однако не менее важна интерпретация банков фильтров в гильбертовом пространстве , которая играет ключевую роль в геометрических представлениях сигналов. Для общего банка фильтров K -каналов с фильтрами анализа , фильтрами синтеза и матрицами выборки . На стороне анализа мы можем определить векторы в как ${\displaystyle \left\{h_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K}}$ ${\displaystyle \left\{g_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K}}$ ${\displaystyle \left\{M_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbf {Z} ^{d})}$

${\displaystyle \varphi _{k,m}[n]{\stackrel {\rm {def}}{=}}h_{k}^{*}[M_{k}m-n]}$,

каждый индекс по двум параметрам: и . ${\displaystyle 1\leq k\leq K}$ ${\displaystyle m\in \mathbf {Z} ^{2}}$

Аналогично для фильтров синтеза мы можем определить . ${\displaystyle g_{k}[n]}$ ${\displaystyle \psi _{k,m}[n]{\stackrel {\rm {def}}{=}}g_{k}^{*}[M_{k}m-n]}$

Рассматривая определение сторон анализа/синтеза, можно убедиться, что ^[6] и для части реконструкции: ${\displaystyle c_{k}[m]=\langle x[n],\varphi _{k,m}[n]\rangle }$

${\displaystyle {\hat {x}}[n]=\sum _{1\leq k\leq K,m\in \mathbf {Z} ^{2}}c_{k}[m]\psi _{k,m}[n]}$.

Другими словами, банк фильтров анализа вычисляет внутреннее произведение входного сигнала и вектора из набора анализа. Более того, реконструированный сигнал в комбинации векторов из набора синтеза и коэффициенты комбинации вычисленных внутренних произведений, что означает, что

${\displaystyle {\hat {x}}[n]=\sum _{1\leq k\leq K,m\in \mathbf {Z} ^{2}}\langle x[n],\varphi _{k,m}[n]\rangle \psi _{k,m}[n]}$

Если при разложении и последующей реконструкции нет потерь, то банк фильтров называется идеальной реконструкцией . (В этом случае мы имели бы . ^[7] На рисунке показан общий многомерный банк фильтров с N каналами и общей матрицей выборки M. Часть анализа преобразует входной сигнал в N отфильтрованных и прошедших субдискретизацию выходных сигналов . Часть синтеза восстанавливает исходный сигнал путем повышения частоты дискретизации и фильтрации. Этот тип настройки используется во многих приложениях, таких как кодирование поддиапазонов , многоканальный сбор данных и дискретные вейвлет-преобразования . ${\displaystyle x[n]={\hat {x[n]}}}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y_{j}[n],}$ ${\displaystyle j=0,1,...,N-1}$ ${\displaystyle y_{j}[n]}$

Идеальные реконструкционные фильтр-банки

Мы можем использовать полифазное представление, поэтому входной сигнал может быть представлен вектором его полифазных компонентов . Обозначим Таким образом, мы будем иметь , где обозначает j -й полифазный компонент фильтра . ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}(X_{0}(z),...,X_{|M|-1}(z))^{T}}$ ${\displaystyle y(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}(Y_{0}(z),...,Y_{|N|-1}(z))^{T}.}$
${\displaystyle y(z)=H(z)x(z)}$ ${\displaystyle H_{i,j}(z)}$ ${\displaystyle H_{i}(z)}$

Аналогично, для выходного сигнала мы будем иметь , где . Также G является матрицей, где обозначает i-ю полифазную компоненту j-го фильтра синтеза Gj(z). ${\displaystyle {\hat {x}}(z)=G(z)y(z)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}({\hat {X}}_{0}(z),...,{\hat {X}}_{|M|-1}(z))^{T}}$ ${\displaystyle G_{i,j}(z)}$

Банк фильтров имеет идеальную реконструкцию, если для любого входного сигнала, или, что эквивалентно , что означает, что G(z) является левым обратным H(z). ${\displaystyle x(z)={\hat {x}}(z)}$ ${\displaystyle I_{|M|}=G(z)H(z)}$

Многомерная конструкция фильтра

1D-банк фильтров

Банк 2D-фильтров

Банки 1-D фильтров были хорошо разработаны до сегодняшнего дня. Однако многие сигналы, такие как изображение, видео, 3D-звук, радар, сонар, являются многомерными и требуют разработки банков многомерных фильтров.

С быстрым развитием коммуникационных технологий система обработки сигналов нуждается в большем пространстве для хранения данных во время обработки, передачи и приема. Чтобы уменьшить объем обрабатываемых данных, сэкономить хранилище и снизить сложность, были введены методы многоскоростной выборки для достижения этих целей. Банки фильтров могут использоваться в различных областях, таких как кодирование изображений, кодирование голоса, радиолокация и т. д.

Многие проблемы одномерных фильтров были хорошо изучены, и исследователи предложили много подходов к проектированию банка одномерных фильтров. Но все еще есть много проблем проектирования банка многомерных фильтров, которые необходимо решить. ^[8] Некоторые методы могут не очень хорошо восстанавливать сигнал, некоторые методы сложны и трудны для реализации.

Самый простой подход к проектированию многомерного банка фильтров — каскадировать банки одномерных фильтров в виде древовидной структуры, где матрица прореживания диагональна, а данные обрабатываются в каждом измерении отдельно. Такие системы называются разделяемыми системами. Однако область поддержки банков фильтров может быть неразделимой. В этом случае проектирование банка фильтров становится сложным. В большинстве случаев мы имеем дело с неразделяемыми системами.

Банк фильтров состоит из этапа анализа и этапа синтеза. Каждый этап состоит из набора фильтров, работающих параллельно. Проектирование банка фильтров представляет собой проектирование фильтров на этапах анализа и синтеза. Фильтры анализа разделяют сигнал на перекрывающиеся или неперекрывающиеся поддиапазоны в зависимости от требований приложения. Фильтры синтеза должны быть спроектированы для восстановления входного сигнала обратно из поддиапазонов при объединении выходов этих фильтров. Обработка обычно выполняется после этапа анализа. Эти банки фильтров могут быть спроектированы как с бесконечной импульсной характеристикой (IIR) или конечной импульсной характеристикой (FIR). Для снижения скорости передачи данных на этапах анализа и синтеза выполняется понижение и повышение частоты дискретизации соответственно.

Существующие подходы

Ниже приведены несколько подходов к проектированию многомерных банков фильтров. Для получения более подробной информации, пожалуйста, проверьте ОРИГИНАЛЬНЫЕ ссылки.

Многомерные банки фильтров идеальной реконструкции

Когда необходимо восстановить разделенный сигнал обратно в исходный, можно использовать банки фильтров идеальной реконструкции (PR).

Пусть H( z ) будет передаточной функцией фильтра. Размер фильтра определяется как порядок соответствующего полинома в каждом измерении. Симметрия или антисимметрия полинома определяет линейное фазовое свойство соответствующего фильтра и связана с его размером. Как и в случае 1D, член наложения A(z) и передаточная функция T(z) для банка фильтров с 2 каналами равны: ^[9]

A( z )=1/2(H ₀ (- z ) F ₀ ( z )+H ₁ (- z ) F ₁ ( z )); T( z )=1/2(H ₀ ( z ) F ₀ ( z )+H ₁ ( z ) F ₁ ( z )), где H ₀ и H ₁ — фильтры разложения, а F ₀ и F ₁ — фильтры реконструкции.

Входной сигнал может быть идеально восстановлен, если псевдотерм отменен и T( z ) равен моному. Поэтому необходимым условием является то, что T'( z ) в целом симметричен и имеет нечетный размер.

Фильтры PR с линейной фазой очень полезны для обработки изображений. Этот двухканальный банк фильтров относительно прост в реализации. Но иногда двух каналов недостаточно. Двухканальные банки фильтров можно каскадировать для создания многоканальных банков фильтров.

Многомерные направленные фильтры и поверхностности

Банки фильтров многомерного анализа

M-мерные направленные банки фильтров (MDFB) представляют собой семейство банков фильтров, которые могут достигать направленного разложения произвольных M-мерных сигналов с помощью простой и эффективной древовидной конструкции. Он обладает многими отличительными свойствами, такими как: направленное разложение, эффективное построение дерева, угловое разрешение и идеальная реконструкция. В общем M-мерном случае идеальными частотными носителями MDFB являются гиперпирамиды на основе гиперкуба. Первый уровень разложения для MDFB достигается с помощью N-канального недецимированного банка фильтров, компонентные фильтры которого представляют собой фильтры в форме «песочных часов» MD, выровненные по осям w ₁ ,...,w _M соответственно. После этого входной сигнал далее разлагается серией 2-D итеративно передискретизированных банков фильтров шахматной доски IRC _li ^{( Li )} (i=2,3,...,M), где IRC _li ^{( Li )} работает с 2-D срезами входного сигнала, представленными парой измерений (n ₁ ,n _i ), а верхний индекс (Li) означает уровни разложения для банка фильтров уровня i. Обратите внимание, что, начиная со второго уровня, мы присоединяем банк фильтров IRC к каждому выходному каналу с предыдущего уровня, и, следовательно, весь фильтр имеет в общей сложности 2 ^{( L ₁ +...+ L _N )} выходных канала. ^[10]

Многомерные банки фильтров с избыточной выборкой

Многомерные банки фильтров синтеза

Передискретизированные банки фильтров — это банки фильтров с несколькими скоростями, в которых количество выходных выборок на этапе анализа больше количества входных выборок. Предлагается для надежных приложений. Один конкретный класс передискретизированных банков фильтров — это неподдискретизированные банки фильтров без понижения или повышения частоты дискретизации. Идеальное условие реконструкции для передискретизированного банка фильтров можно сформулировать как обратную задачу матрицы в полифазной области. ^[11]

Для банка фильтров IIR с передискретизацией идеальная реконструкция была изучена в работах Воловича ^[12] и Кайлата ^[13] в контексте теории управления. В то время как для банка фильтров FIR с передискретизацией нам приходится использовать разные стратегии для 1-D и MD. Фильтры FIR более популярны, поскольку их проще реализовать. Для банков фильтров FIR с передискретизацией 1-D ключевую роль в обратной задаче матрицы играет евклидов алгоритм. ^[14] Однако евклидов алгоритм не работает для многомерных (MD) фильтров. Для фильтра MD мы можем преобразовать представление FIR в полиномиальное представление. ^[15] А затем использовать алгебраическую геометрию и базисы Грёбнера, чтобы получить структуру и условие реконструкции банков фильтров с передискретизацией многомерных. ^[11]

Многомерные несубдискретизированные банки FIR-фильтров

Неподвыборочные банки фильтров — это особые перевыборочные банки фильтров без понижения или повышения частоты дискретизации. Идеальное условие реконструкции для неподвыборочных банков FIR-фильтров приводит к векторной обратной задаче: даны фильтры анализа и FIR, и цель состоит в том, чтобы найти набор удовлетворяющих фильтров синтеза FIR. ^[11] ${\displaystyle \{H_{1},...,H_{N}\}}$ ${\displaystyle \{G_{1},...,G_{N}\}}$

Использование оснований Грёбнера

Многомерные банки фильтров M-каналов

Поскольку многомерные банки фильтров могут быть представлены многомерными рациональными матрицами, этот метод является очень эффективным инструментом, который можно использовать для работы с многомерными банками фильтров. ^[15]

В работе Charo ^[15] представлен и обсуждается многомерный полиномиальный алгоритм факторизации матрицы. Наиболее распространенной проблемой являются многомерные банки фильтров для идеальной реконструкции. В этой статье говорится о методе достижения этой цели, который удовлетворяет ограниченному условию линейной фазы.

Согласно описанию статьи, обсуждаются некоторые новые результаты в факторизации, которые применяются к проблемам многомерных линейных фазовых идеальных реконструкционных конечно-импульсных фильтрационных банков. Основная концепция базисов Грёбнера дана в работе Адамса. ^[16]

Этот подход, основанный на многомерной матричной факторизации, может быть использован в различных областях. Алгоритмическая теория полиномиальных идеалов и модулей может быть модифицирована для решения проблем обработки, сжатия, передачи и декодирования многомерных сигналов.

Общий многомерный банк фильтров (рисунок 7) может быть представлен парой полифазных матриц анализа и синтеза и размером и , где N — число каналов, а — абсолютное значение определителя матрицы выборки. Также и являются z-преобразованием полифазных компонентов фильтров анализа и синтеза. Следовательно, они являются многомерными полиномами Лорана , которые имеют общий вид: ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle G(z)}$ ${\displaystyle N\times M}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle M{\stackrel {\rm {def}}{=}}|M|}$ ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle G(z)}$

${\displaystyle F(z)=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{d}}f[k]z^{k}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{d}}f[k_{1},...,k_{d}]z_{1}^{k_{1}}...z_{d}^{k_{d}}}$.

Для проектирования идеальных банков фильтров реконструкции необходимо решить уравнение полиномиальной матрицы Лорана:

${\displaystyle G(z)H(z)=I_{|M|}}$.

В многомерном случае с многомерными полиномами необходимо использовать теорию и алгоритмы базисов Грёбнера. ^[17]

Базисы Грёбнера можно использовать для характеристики многомерных банков фильтров идеальной реконструкции, но сначала необходимо расширить их от полиномиальных матриц до полиномиальных матриц Лорана. ^{[18] [19]}

Вычисление базиса Грёбнера можно рассматривать эквивалентно как исключение Гаусса для решения полиномиального матричного уравнения . Если у нас есть набор полиномиальных векторов ${\displaystyle G(z)H(z)=I_{|M|}}$

${\displaystyle \mathrm {Module} \left\{h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\{c_{1}(z)h_{1}(z)+...+c_{N}(z)h_{N}(z)\}}$

где — многочлены. ${\displaystyle c_{1}(z),...,c_{N}(z)}$

Модуль аналогичен охвату набора векторов в линейной алгебре. Теория базисов Грёбнера подразумевает, что Модуль имеет уникальный редуцированный базис Грёбнера для заданного порядка степенных произведений в многочленах.

Если мы определим базис Грёбнера как , то его можно получить из с помощью конечной последовательности шагов редукции (деления). ${\displaystyle \left\{b_{1}(z),...,b_{N}(z)\right\}}$ ${\displaystyle \left\{h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\}}$

Используя обратную разработку, мы можем вычислить базисные векторы в терминах исходных векторов через матрицу преобразования следующим образом: ${\displaystyle b_{i}(z)}$ ${\displaystyle h_{j}(z)}$ ${\displaystyle K\times N}$ ${\displaystyle W_{ij}(z)}$

${\displaystyle b_{i}(z)=\sum _{j=1}^{N}W_{ij}(z)h_{j}(z),i=1,...,K}$

Многомерные банки фильтров на основе картографирования

Проектирование фильтров с хорошими частотными характеристиками является сложной задачей с помощью подхода базисов Грёбнера.
Проектирование на основе картирования широко используется для проектирования неразделимых многомерных банков фильтров с хорошими частотными характеристиками. ^{[20] [21]}

Подходы к отображению имеют определенные ограничения на тип фильтров; однако, это дает много важных преимуществ, таких как эффективная реализация с помощью подъемных/лестничных структур. Здесь мы приводим пример двухканальных банков фильтров в 2D с матрицей выборки У нас было бы несколько возможных вариантов идеальных частотных характеристик канального фильтра и . (Обратите внимание, что два других фильтра и поддерживаются на дополнительных областях.) Все частотные области на рисунке могут быть критически выбраны прямоугольной решеткой, охватываемой . Итак, представьте, что банк фильтров достигает идеальной реконструкции с помощью КИХ-фильтров. Тогда из характеристики полифазной области следует, что фильтры H1(z) и G1(z) полностью определяются H0(z) и G0(z) соответственно. Поэтому нам нужно спроектировать H0(x) и G0(z), которые имеют желаемые частотные характеристики и удовлетворяют условиям полифазной области. Существуют различные методы отображения, которые можно использовать для получения вышеуказанного результата. ^[22]
${\displaystyle D_{1}=\left[{\begin{array}{cc}2&0\\0&1\end{array}}\right]}$ ${\displaystyle H_{0}(\xi )}$ ${\displaystyle G_{0}(\xi )}$ ${\displaystyle H_{1}(\xi )}$ ${\displaystyle G_{1}(\xi )}$
${\displaystyle D_{1}}$
${\displaystyle H_{0}(z_{1},z_{2})G_{0}(z_{1},z_{2})+H_{0}(-z_{1},z_{2})G_{0}(-z_{1},z_{2})=2}$

Проектирование банка фильтров в частотной области

Когда идеальная реконструкция не требуется, задачу проектирования можно упростить, работая в частотной области вместо использования КИХ-фильтров. ^{[23] [24]}
Обратите внимание, что метод частотной области не ограничивается проектированием несубдискретизированных банков фильтров (см. ^[25] ).

Прямая оптимизация в частотной области

Многие из существующих методов проектирования банков фильтров 2-канальных основаны на методе преобразования переменной. Например, преобразование Макклеллана может быть использовано для проектирования банков фильтров 1-D 2-канальных. Хотя банки фильтров 2-D имеют много схожих свойств с прототипом 1-D, но их трудно распространить на случаи более чем 2-канальные. ^[26]

В работе Нгуена ^[26] авторы говорят о проектировании многомерных банков фильтров путем прямой оптимизации в частотной области. Метод, предложенный здесь, в основном сосредоточен на проектировании банков 2D-фильтров M-каналов. Метод является гибким по отношению к конфигурациям поддержки частот. Банки 2D-фильтров, разработанные путем оптимизации в частотной области, использовались в работе Вэя ^[27] и Лу. ^[28] В статье Нгуена ^[26] предложенный метод не ограничивается проектированием банков 2D-фильтров с двумя каналами; подход обобщен на банки фильтров M-каналов с любой критической матрицей подвыборки. Согласно реализации в статье, его можно использовать для достижения проектирования банков 2D-фильтров с числом каналов до 8.

(6) Обратная оболочка матрицы ^[29]

В статье Ли 1999 года ^[29] авторы говорят о проектировании банка многомерных фильтров с использованием матрицы обратной оболочки . Пусть H — матрица Адамара порядка n , транспонирование H тесно связано с ее инверсией. Правильная формула: , где I _n — единичная матрица n×n, а H ^T — транспонирование H. В статье 1999 года ^[29] авторы обобщают матрицу обратной оболочки [RJ] _N с использованием матриц Адамара и взвешенных матриц Адамара. ^{[30] [31]} ${\displaystyle HH^{T}=I_{n}}$

В этой статье авторы предложили использовать FIR-фильтр с 128 отводами в качестве базового фильтра, а фактор децимации вычислить для матриц RJ. Они провели симуляции на основе различных параметров и достигли хорошего качества производительности при низком факторе децимации.

Направленные фильтры

Бамбергер и Смит предложили 2D направленный банк фильтров (DFB). ^[32] DFB эффективно реализуется посредством l -уровневой древовидной декомпозиции, которая приводит к поддиапазонам с клиновидным частотным разделением (см. рисунок). Первоначальная конструкция DFB включает модуляцию входного сигнала и использование ромбовидных фильтров. Более того, чтобы получить желаемое частотное разделение, необходимо следовать сложному правилу расширения дерева. ^[33] В результате частотные области для полученных поддиапазонов не следуют простому порядку, как показано на рисунке 9, на основе индексов каналов. ${\displaystyle 2^{l}}$

Первое преимущество DFB заключается в том, что он не только не является избыточным преобразованием, но и предлагает идеальную реконструкцию. Другим преимуществом DFB является его направленная избирательность и эффективная структура. Это преимущество делает DFB подходящим подходом для многих применений обработки сигналов и изображений. (например, пирамида Лапласа, построенные контуры, ^[34] разреженное представление изображений, медицинская визуализация, ^[35] и т. д.).

Банки направленных фильтров могут быть разработаны для более высоких измерений. Их можно использовать в 3-D для достижения частотного секционирования.

Приемопередатчик с фильтром

Фильтр-банки являются важными элементами для физического уровня в широкополосной беспроводной связи, где проблема заключается в эффективной обработке базового диапазона нескольких каналов. Архитектура приемопередатчика на основе фильтр-банка устраняет проблемы масштабируемости и эффективности, наблюдавшиеся в предыдущих схемах в случае несмежных каналов. Соответствующая конструкция фильтра необходима для снижения ухудшения производительности, вызванного фильтр-банком. Для получения универсально применимых конструкций можно сделать умеренные предположения о формате формы сигнала, статистике канала и схеме кодирования/декодирования. Можно использовать как эвристические, так и оптимальные методологии проектирования, и возможна превосходная производительность при низкой сложности, пока приемопередатчик работает с достаточно большим коэффициентом передискретизации. Практическим применением является передача OFDM, где они обеспечивают очень хорошую производительность при небольшой дополнительной сложности. ^[36]

Примечания

1. Термин фильтр подразумевает, что он сохраняет информацию в пределах своей полосы пропускания и подавляет информацию (или шум) за пределами полосы пропускания. Когда скорость БПФ недостаточна для этого, конструкция обычно называется анализатором спектра . И в этом случае сегментам не обязательно перекрываться.

Ссылки

1. Саранги, Сусанта; Сахидулла, Мэриленд; Саха, Гаутам (сентябрь 2020 г.). «Оптимизация банка фильтров на основе данных для автоматической проверки говорящего». Цифровая обработка сигналов . 104 : 102795. arXiv : 2007.10729 . Bibcode : 2020DSP...10402795S. doi : 10.1016/j.dsp.2020.102795. S2CID  220665533.
2. Crochiere, RE; Rabiner, LR (1983). "7.2". Многоскоростная цифровая обработка сигналов . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. стр. 313–323. ISBN 0136051626.
3. Б. Боашаш, редактор, «Анализ и обработка частотно-временных сигналов – полный справочник», Elsevier Science, Оксфорд, 2003; ISBN 0-08-044335-4 
4. Паркс, TW (1987). Проектирование цифровых фильтров . Wiley-Interscience.
5. H. Caglar, Y. Liu и AN Akansu, «Статистически оптимизированная конструкция PR-QMF», Proc. SPIE Visual Communications and Image Processing, стр. 86–94, т. 1605, Бостон, ноябрь 1991 г.
6. До, Мин Н (2011). «Многомерные банки фильтров и многомасштабные геометрические представления». Обработка сигналов : 157–264.
7. Маллат, Стефан (2008). Вейвлет-тур по обработке сигналов: разреженный путь . Академическая пресса.
8. Чен, Цухан и П. П. Вайдьянатан. «Соображения при проектировании банка многомерных фильтров» Международный симпозиум IEEE по схемам и системам, стр. 643–646., май 1993 г.
9. Чжан, Лэй и Анамитра Макур. «Многомерные банки фильтров идеальной реконструкции: подход алгебраической геометрии». Многомерные системы и обработка сигналов. Том 20, выпуск 1, стр. 3–24. Март 2009 г.
10. Lu, Yue M. и Minh N. Do. "Многомерные направленные банки фильтров и поверхностные элементы", IEEE Transactions on Image Processing. Том 16, выпуск 4, стр. 918–931. Апрель 2007 г.
11. J. Zhou и MN Do, "Многомерные банки фильтров с избыточной выборкой" в Proc. SPIE Conf. Wavelet Applications Signal Image Processing XI, Сан-Диего, Калифорния, стр. 591424–1-591424-12, июль 2005 г.
12. Волович, Уильям А. Линейные многомерные системы. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1974.
13. Кайлат, Томас. Линейные системы. Т. 1. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, 1980.
14. Цветкович, Зоран и Мартин Веттерли. «Банки фильтров с избыточной выборкой» IEEE Transactions on Signal Processing, Vol.46 Issue 5, pp. 1245–1255. Май 1998 г.
15. Charoenlarpnopparut, Chalie и NK Bose. «Разработка банка многомерных КИХ-фильтров с использованием базисов Грёбнера» IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, Volume 46 Issue 12, pp. 1475–1486, Dec, 1999
16. Адамс, Уильям У. и Филипп Лустаунау. «Введение в базисы Грёбнера, том 3 Graduate Studies in Mathematics » Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд 24(47), 1994.
17. Бухбергер, Бруно (1985). «Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов». Многомерная теория систем . doi :10.1007/978-94-009-5225-6_6 (неактивен 1 ноября 2024 г.).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of November 2024 (link)
18. Пак, Хёнджу; Калкер, Тон и Веттерли, Мартин (1997). "Базисы Грёбнера и многомерные КИХ-системы с несколькими скоростями" (PDF) . Многомерные системы и обработка сигналов . 8 (Springer): 11–30. doi :10.1023/A:1008299221759. S2CID  18427023.
19. Хён-Джу, Пак (1995). «Вычислительная теория колец полиномов Лорана и многомерных систем FIR» (Калифорнийский университет). S2CID  116370718. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
20. Макклеллан, Джеймс (1973). "Проектирование двумерных цифровых фильтров с помощью преобразований". Труды 7-й ежегодной конференции в Принстоне. Информационные науки и системы .
21. Ковачевич, Веттерли, Елена, Мартин (1992). "Неразделимые многомерные банки фильтров идеальной реконструкции и вейвлет-базисы для R^n". Труды IEEE по теории информации (Институт инженеров по электротехнике и электронике). doi :10.1109/18.119722.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
22. Тэй, Дэвид Б. Х. и Ник Г. Кингсбери. «Гибкая конструкция многомерных идеальных реконструирующих КИХ-фильтров с двумя полосами с использованием преобразований переменных». Обработка изображений, IEEE Transactions on 2, № 4 (1993): 466-480.
23. Лалигант, Оливье и Фредерик Трушете. «Реализация дискретного вейвлет-преобразования в области Фурье для многомерного сигнала». Журнал Electronic Imaging 11.3 (2002): 338-346.
24. Woiselle, Arnaud, JL. Starck и J. Fadili. «3D curvelet transforms andastrologic data recovery». Applied and Computational Harmonic Analysis 28.2 (2010): 171-188.
25. Файлнер, Мануэла, Димитрий Ван Де Виль и Майкл Унсер. «Ортогональное семейство квинконсных вейвлетов с непрерывно регулируемым порядком». Обработка изображений, IEEE Transactions on 14.4 (2005): 499-510.
26. Nguyen, Truong T. и Soontorn Oraintara. «Проектирование многомерных банков фильтров путем прямой оптимизации» Международный симпозиум IEEE по схемам и системам, стр. 1090–1093. Май 2005 г.
27. Д. Вэй и С. Го, «Новый подход к проектированию многомерных неразделимых двухканальных ортонормальных фильтров и вейвлетов», IEEE Signal Processing Letters, т. 7, № 11, стр. 327–330, ноябрь 2000 г.
28. В.-С. Лу, А. Антониу и Х. Сюй, «Прямой метод проектирования двумерных неразделимых ромбовидных банков фильтров», IEEE Transactions on Circuits and Systems II, т. 45, № 8, стр. 1146–1150, август 1998 г.
29. Ли, Мун Хо и Джу Ён Парк. «Проектирование банка многомерных фильтров с использованием матрицы Reverse Jacket», TENCON 99. Труды конференции IEEE Region 10. Том 1, стр. 637–641, конференция 1999 г.
30. Ли, Сын-Рэ и Мун Хо Ли. «Об обратной матрице Джекета для взвешенного преобразования Адамара». Труды IEEE по схемам и системам II: Аналоговая и цифровая обработка сигналов, т. 45, выпуск 3, стр. 436–441. Март 1998 г.
31. Мун Хо Ли, «Новая обратная матрица и ее быстрый алгоритм ^{[ мертвая ссылка ]} », Accepted IEEE Trans. on CAS-II, стр. 39–47, январь 2000 г.
32. Бамбергер, Роберто Х. и Марк Дж. Т. Смит. «Банк фильтров для направленного разложения изображений: теория и проектирование». IEEE Transactions, Signal Processing 40.4 (1992): 882-893.
33. Парк, Санг-Ил; Смит, Марк Дж. Т. и Мерсеро, Рассел М. (1999). «Новый направленный банк фильтров для анализа и классификации изображений». Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов 1999 года. Труды. ICASSP99 (Кат. № 99CH36258) . стр. 1417–1420 т. 3. doi :10.1109/ICASSP.1999.756247. ISBN 0-7803-5041-3. S2CID  18149121.
34. До, Мин Н. и Мартин Веттерли. «Контурное преобразование: эффективное направленное представление изображения с несколькими разрешениями». Обработка изображений, IEEE Transactions от 14.12 (2005): 2091-2106.
35. Truc, Phan TH и др. «Фильтр улучшения сосудов с использованием направленного банка фильтров». Computer Vision and Image Understanding 113.1 (2009): 101-112.
36. С. Стефанатос и Ф. Фукалас «Архитектура приемопередатчика с фильтрующим банком для массивной агрегации несмежных несущих». Журнал IEEE по избранным областям в коммуникациях , 35(1), январь 2017 г., 215–227.

Дальнейшее чтение

• Харрис, Фредрик Дж. (2004). Многоскоростная обработка сигналов для систем связи . Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-146511-2.