В топологии и смежных областях математики совокупность всех возможных топологий на данном множестве образует частично упорядоченное множество . Это отношение порядка можно использовать для сравнения топологий .
Топологию множества можно определить как совокупность подмножеств , которые считаются «открытыми». Альтернативное определение состоит в том, что это совокупность подмножеств, которые считаются «закрытыми». Эти два способа определения топологии по существу эквивалентны, поскольку дополнение открытого множества закрыто, и наоборот. В дальнейшем не имеет значения, какое определение используется.
Пусть τ 1 и τ 2 — две топологии на множестве X такие, что τ 1 содержится в τ 2 :
То есть каждый элемент τ 1 также является элементом τ 2 . Тогда топология τ1 называется более грубой ( более слабой или меньшей ) топологией, чем τ2 , а τ2 называется более тонкой ( более сильной или большей ) топологией , чем τ1 . [номер 1]
Если дополнительно
мы говорим, что τ 1 строго грубее, чем τ 2 , а τ 2 строго тоньше , чем τ 1 . [1]
Бинарное отношение ⊆ определяет отношение частичного порядка на множестве всех возможных топологий на X .
Наилучшей топологией на X является дискретная топология ; эта топология делает все подмножества открытыми. Самая грубая топология на X — это тривиальная топология ; эта топология допускает только пустое множество и все пространство как открытые множества.
В функциональных пространствах и пространствах мер часто существует несколько возможных топологий. См. топологии множества операторов в гильбертовом пространстве, чтобы узнать о некоторых сложных отношениях.
Все возможные полярные топологии дуальной пары тоньше слабой топологии и грубее сильной топологии .
Комплексное векторное пространство Cn может быть оснащено либо своей обычной (евклидовой) топологией, либо топологией Зарисского . В последнем случае подмножество V в Cn замкнуто тогда и только тогда, когда оно состоит из всех решений некоторой системы полиномиальных уравнений . Поскольку любое такое V также является замкнутым множеством в обычном смысле, а не наоборот , то топология Зарисского строго слабее обычной.
Пусть τ 1 и τ 2 — две топологии на множестве X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(Тождественная карта id X сюръективна и, следовательно , сильно открыта тогда и только тогда, когда она относительно открыта.)
Два непосредственных следствия приведенных выше эквивалентных утверждений:
Можно также сравнивать топологии, используя базы соседства . Пусть τ 1 и τ 2 — две топологии на множестве X и пусть B i ( x ) — локальная база топологии τ i в точке x ∈ X для i = 1,2. Тогда τ 1 ⊆ τ 2 тогда и только тогда, когда для всех x ∈ X каждое открытое множество U 1 в B 1 ( x ) содержит некоторое открытое множество U 2 в B 2 ( x ). Интуитивно это имеет смысл: более тонкая топология должна иметь меньшие окрестности.
Совокупность всех топологий на множестве X вместе с отношением частичного порядка ⊆ образует полную решетку , также замкнутую относительно произвольных пересечений. [2] То есть любой набор топологий на X имеет встречу (или нижнюю границу ) и соединение (или верхнюю границу ). Встреча совокупности топологий — это пересечение этих топологий. Однако соединение обычно представляет собой не объединение этих топологий (объединение двух топологий не обязательно должно быть топологией), а скорее топологию, созданную в результате объединения.
Каждая полная решетка также является ограниченной решеткой , то есть она имеет наибольший и наименьший элемент . В случае топологий наибольшим элементом является дискретная топология , а наименьшим элементом — тривиальная топология .
Решетка топологий на множестве является решеткой с дополнениями ; то есть для данной топологии существует такая топология , что пересечение является тривиальной топологией, а топология, порожденная объединением, является дискретной топологией. [3] [4]
Если множество имеет по крайней мере три элемента, решетка топологий на не является модулярной [5] и, следовательно, не является дистрибутивной .