Односторонний лимит

Предел функции, приближающейся к точке значения из значений ниже или выше точки значения.

Функция где обозначает знаковую функцию , имеет левый предел правого предела и значение функции в точке ${\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} (x),}$ ${\displaystyle \operatorname {sign} (x)}$ ${\displaystyle -1,}$ ${\displaystyle +1,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0.}$

В исчислении односторонний предел относится к любому из двух пределов функции действительной переменной , приближающейся к указанной точке либо слева, либо справа . ^{[1] [2]} ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Предел по мере приближения уменьшения значения ( подхода «справа» ^[3] или «сверху») можно обозначить: ^{[1] [2]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x+)}$$

Предел по мере приближения увеличения значения ( подхода «слева» ^{[4] [5]} или «снизу») можно обозначить: ^{[1] [2]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x-)}$$

Если предел приближения существует , то пределы слева и справа существуют и равны. В некоторых случаях, когда предел ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$$

^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

Из двух односторонних пределов возможно существование ровно одного (а другого не существует). Также возможно, что ни один из двух односторонних пределов не существует.

Формальное определение

Определение

Если представляет некоторый интервал , содержащийся в области определения , и если является точкой в , то правый предел при приближении может быть строго определен как значение , которое удовлетворяет: ^{[6] [ необходима проверка ]} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<x-a<\delta {\text{ then }}|f(x)-R|<\varepsilon ,}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle {\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<a-x<\delta {\text{ then }}|f(x)-L|<\varepsilon .}$$

Мы можем представить то же самое более символически следующим образом.

Пусть представляет собой интервал, где , и . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathrm {domain} (f)}$ ${\displaystyle a\in I}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=R~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<x-a<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ))}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<a-x<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ))}$$

Интуиция

По сравнению с формальным определением предела функции в точке, односторонний предел (как следует из названия) имеет дело только с входными значениями, расположенными по одну сторону от приближающегося входного значения.

Для справки, формальное определение предела функции в точке выглядит следующим образом:

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon }$$

Чтобы определить односторонний предел, мы должны изменить это неравенство. Обратите внимание, что абсолютное расстояние между и равно ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle |x-a|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(a-x)|=|(-1)||a-x|=|a-x|}$$

Для предела справа мы хотим быть справа от , что означает, что , так положительно. Сверху — расстояние между и . Мы хотим ограничить это расстояние нашим значением , давая неравенство . Сложив вместе неравенства и используя свойство транзитивности неравенств, мы получаем сложное неравенство . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a<x}$ ${\displaystyle x-a}$ ${\displaystyle x-a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x-a<\delta }$ ${\displaystyle 0<x-a}$ ${\displaystyle x-a<\delta }$ ${\displaystyle 0<x-a<\delta }$

Аналогично, для предела слева мы хотим находиться слева от , что означает, что . В данном случае оно положительно и представляет собой расстояние между и . Опять же, мы хотим ограничить это расстояние нашим значением , что приводит к сложному неравенству . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x<a}$ ${\displaystyle a-x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 0<a-x<\delta }$

Теперь, когда наше значение находится в желаемом интервале, мы ожидаем, что значение также находится в желаемом интервале. Расстояние между и , предельное значение левого предела, равно . Точно так же расстояние между и , предельное значение правого предела, равно . В обоих случаях мы хотим ограничить это расстояние величиной , поэтому мы получаем следующее: для левостороннего предела и для правостороннего предела. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle |f(x)-L|}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle |f(x)-R|}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$ ${\displaystyle |f(x)-R|<\varepsilon }$

Примеры

Пример 1. Пределы слева и справа помереприближенияравны ${\displaystyle g(x):=-{\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a:=0}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$$

^{[примечание 1]} ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\to 0^{-}}$ ${\displaystyle x\to 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle -1/x}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1/x}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}}$ ${\displaystyle -\infty .}$

График функции ${\displaystyle 1/(1+2^{-1/x}).}$

Пример 2. Одним из примеров функции с разными односторонними пределами является(см. рисунок), где предел слеваи предел справа. Чтобы вычислить эти пределы, сначала покажите, что ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}2^{-1/x}=\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}=0}$$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1}$$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty .}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}$

Связь с топологическим определением предела

Односторонний предел для точки соответствует общему определению предела с областью определения функции, ограниченной с одной стороны, либо допуская, что область определения функции является подмножеством топологического пространства, либо рассматривая одностороннее подпространство. , включая ^{[1] [ требуется проверка ]} Альтернативно можно рассмотреть область с топологией полуоткрытого интервала . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$

Теорема Абеля

Примечательной теоремой, рассматривающей односторонние пределы некоторых степенных рядов на границах их интервалов сходимости, является теорема Абеля . ^{[ нужна цитата ]}

Примечания

1. Говорят, что предел, равный , расходится , а не сходится к. То же самое верно, когда предел равен ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Рекомендации

1. «Односторонний предел - Математическая энциклопедия». энциклопедияofmath.org . Проверено 7 августа 2021 г.
2. Фриди, JA (24 января 2020 г.). Вводный анализ: теория исчисления. Профессиональное издательство Персидского залива. п. 48. ИСБН 978-0-12-267655-0. Проверено 7 августа 2021 г.
3. Хасан, Осман; Хайям, Сайед (02 января 2014 г.). «На пути к формальному линейному криптоанализу с использованием HOL4» (PDF) . Журнал универсальной информатики . 20 (2): 209. doi :10.3217/jucs-020-02-0193. ISSN  0948-6968.
4. Гасич, Андрей Г. (12 декабря 2020 г.). Фазовые явления белков в живом веществе (дипломная работа).
5. Брокейт, Мартин; Манчанда, Пэмми; Сиддики, Абул Хасан (2019), «Предел и непрерывность», Исчисление для ученых и инженеров , Промышленная и прикладная математика, Сингапур: Springer Singapore, стр. 39–53, doi : 10.1007/978-981-13-8464-6_2, ISBN 978-981-13-8463-9, S2CID  201484118 , получено 11 января 2022 г.
6. Гив, Хоссейн Хоссейни (28 сентября 2016 г.). Математический анализ и его внутренняя природа. Американское математическое соц. п. 130. ИСБН 978-1-4704-2807-5. Проверено 7 августа 2021 г.

Смотрите также

• Проективно расширенная действительная линия
• Полудифференцируемость
• Ограничьте верхнее и ограничьте худшее